8.4: Serie alterna

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una serie alterna?
• ¿Bajo qué condiciones converge una serie alterna? ¿Por qué?
• ¿Qué tan bien se aproxima la$n$ suma parcial de una serie alternante convergente a la suma real de la serie? ¿Por qué?

Hasta el momento, hemos considerado series con términos exclusivamente no negativos. A continuación, consideramos series que tienen algunos términos negativos. Por ejemplo, la serie geométrica

$$2 - \frac{4}{3} + \frac{8}{9} - \cdots + 2 \left(-\frac{2}{3} \right)^n + \cdots\text{,} \nonumber$$

tiene$a = 2$ y$r = -\frac{2}{3}\text{,}$ para que cada otro término se alterna en signo. Esta serie converge para

$$S = \frac{a}{1-r} = \frac{2}{1- \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{6}{5}\text{.} \nonumber$$

En Preview Activity 8.4.1 y en nuestra siguiente discusión, investigamos el comportamiento de series similares donde términos consecutivos tienen signos opuestos.

Vista previa de Actividad 8.4.1

Vista previa Actividad 8.3.1 mostró cómo podemos aproximar el número$e$ con aproximaciones lineales, cuadráticas y otros polinomios. Utilizamos un enfoque similar en esta actividad para obtener aproximaciones lineales y cuadráticas a En el$\ln(2)\text{.}$ camino, nos encontramos con un tipo de series que es diferente a la mayoría de las que hemos visto hasta ahora. A lo largo de esta actividad, vamos$f(x) = \ln(1+x)\text{.}$

1. Encuentra la línea tangente a$f$ at$x=0$ y usa esta linealización para aproximar Es$\ln(2)\text{.}$ decir, encuentra$L(x)\text{,}$ la aproximación de la línea tangente a$f(x)\text{,}$ y usa el hecho de que$L(1) \approx f(1)$ para estimar$\ln(2)\text{.}$
2. La linealización de$\ln(1+x)$ no proporciona una muy buena aproximación a$\ln(2)$ ya que no$1$ está tan cerca de$0\text{.}$ Para obtener una mejor aproximación, alteramos nuestro enfoque; en lugar de usar una línea recta para aproximar$\ln(2)\text{,}$ utilizamos una función cuadrática para dar cuenta de la concavidad de$\ln(1+x)$ para$x$ cerca de$0\text{.}$ Con la linealización, tanto el valor de la función como la pendiente coinciden con el valor de la linealización y la pendiente en Ahora$x=0\text{.}$ haremos una aproximación cuadrática$P_2(x)$ a$f(x) = \ln(1+x)$ centrado en$x=0$ con la propiedad que $P_2(0) = f(0)\text{,}$$P'_2(0) = f'(0)\text{,}$y$P''_2(0) = f''(0)\text{.}$
   1. Vamos$P_2(x) = x - \frac{x^2}{2}\text{.}$ Mostrar eso$P_2(0) = f(0)\text{,}$$P'_2(0) = f'(0)\text{,}$ y$P''_2(0) = f''(0)\text{.}$ Usar$P_2(x)$ para aproximar$\ln(2)$ usando el hecho de que$P_2(1) \approx f(1)\text{.}$
   2. Podemos seguir aproximando$\ln(2)$ con polinomios de mayor grado cuyas derivadas concuerdan con las de$f$ al$0\text{.}$ Esto hace que los polinomios se ajusten a la gráfica de$f$ mejor para más valores de$x$ alrededor$0\text{.}$ Por ejemplo, vamos$P_3(x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\text{.}$ Mostrar eso$P_3(0) = f(0)\text{,}$ $P'_3(0) = f'(0)\text{,}$$P''_3(0) = f''(0)\text{,}$y$P'''_3(0) = f'''(0)\text{.}$ Adoptando un enfoque similar a las preguntas anteriores, utilícelo$P_3(x)$ para aproximar$\ln(2)\text{.}$
   3. Si usáramos un$5$ polinomio grado$4$ o grado para aproximar$\ln(1+x)\text{,}$ ¿qué aproximaciones de$\ln(2)$ crees que resultarían? Utilice las preguntas anteriores para conjeturar un patrón que contiene, y establecer la$5$ aproximación de grado$4$ y grado.

8.4.1 La prueba en serie alterna

Vista previa Actividad 8.4.1 nos da varias aproximaciones a$\ln(2)\text{.}$ La aproximación lineal es$1\text{,}$ y la aproximación cuadrática es$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\text{.}$ Si continuamos con este proceso, los polinomios cúbicos, cuarticos (grados$4$$5$), quinticos (grados) y de grado superior nos dan las aproximaciones a $\ln(2)$en el Cuadro 8.4.1.

Cuadro 8.4.1.

lineal	$1$	$1$
cuadrático	$1 - \frac{1}{2}$	$0.5$
cúbico	$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$	$0.8\overline{3}$
cuártico	$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$	$0.58\overline{3}$
quintic	$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$	$0.78\overline{3}$

El patrón aquí muestra que se$\ln(2)$ puede aproximar por las sumas parciales de la serie infinita

$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k}\label{xmc}\tag{8.4.1}$$

donde los signos alternos están indicados por el factor$(-1)^{k+1}\text{.}$ Llamamos a tal serie una serie alterna.

Utilizando tecnología computacional, encontramos que la suma de los primeros 100 términos de esta serie es 0.6881721793. A modo de comparación,$\ln(2) \approx 0.6931471806\text{.}$ Esto demuestra que aunque la serie (8.4.1) converja a$\ln(2)\text{,}$ ella debe hacerlo con bastante lentitud, ya que la suma de los primeros 100 términos no es particularmente cercana a$\ln(2)\text{.}$ Investigaremos el tema de la rapidez con la que converge una serie alterna más adelante en esta sección.

Definición 8.4.2

Una serie alterna es una serie de la forma

$$\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k a_k\text{,} \nonumber$$

donde$a_k \gt 0$ para cada$k\text{.}$

Tenemos cierta flexibilidad en la forma en que escribimos una serie alterna; por ejemplo, la serie

$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k\text{,} \nonumber$$

cuyo índice comienza en también$k = 1\text{,}$ es alternante. Como veremos pronto, hay varios resultados muy agradables que se mantienen para series alternas, mientras que las series alternas también pueden demostrar algún comportamiento inusual.

Es importante recordar que la mayoría de las pruebas en serie que hemos visto en secciones anteriores se aplican únicamente a series con términos no negativos. Las series alternas requieren una prueba diferente.

Actividad 8.4.2

Recuerde que, por definición, una serie converge si y sólo si converge su correspondiente secuencia de sumas parciales.

1. Calcular las primeras sumas parciales (a 10 decimales) de las series alternas
   $$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}\text{.} \nonumber$$

   Etiquetar cada suma parcial con la notación$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}\frac{1}{k}$ para una elección apropiada de$n\text{.}$

2. Trazar la secuencia de sumas parciales de la parte (a). ¿Qué notas de esta secuencia?

La actividad 8.4.2 ilustra el comportamiento general de cualquier serie alternante convergente. Vemos que las sumas parciales de las series armónicas alternas oscilan alrededor de un número fijo que resulta ser la suma de la serie.

Recordemos que si$\lim_{k \to \infty} a_k \neq 0\text{,}$ entonces la serie$\sum a_k$ diverge por la Prueba de Divergencia. A partir de este punto en adelante, solo consideraremos series alternas

$$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k \nonumber$$

en el que la secuencia$a_k$ consiste en números positivos que disminuyen a$0\text{.}$ La$n$ ésima suma parcial$S_n$ es

$$S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k\text{.} \nonumber$$

Observe que

• $S_2 = a_1 - a_2\text{,}$y ya$a_1 \gt a_2$ que tenemos$0 \lt S_2 \lt S_1 \text{.}$
• $S_3 = S_2+a_3$y así$S_2 \lt S_3\text{.}$ Pero$a_3 \lt a_2\text{,}$ así$S_3 \lt S_1\text{.}$ Así,$0 \lt S_2 \lt S_3 \lt S_1 \text{.}$
• $S_4 = S_3-a_4$y así$S_4 \lt S_3\text{.}$ Pero$a_4 \lt a_3\text{,}$ así$S_2 \lt S_4\text{.}$ Así,$0 \lt S_2 \lt S_4 \lt S_3 \lt S_1 \text{.}$
• $S_5 = S_4+a_5$y así$S_4 \lt S_5\text{.}$ Pero$a_5 \lt a_4\text{,}$ así$S_5 \lt S_3\text{.}$ Así,$0 \lt S_2 \lt S_4 \lt S_5 \lt S_3 \lt S_1 \text{.}$

Este patrón continúa como se ilustra en la Figura 8.4.4 (con$n$ impar) de manera que cada suma parcial se encuentra entre las dos sumas parciales anteriores.

Figura 8.4.4. Sumas parciales de una serie alterna

Obsérvese además que el valor absoluto de la diferencia entre la$(n-1)$ st suma parcial$S_{n-1}$ y la$n$ ésima suma parcial$S_n$ es

$$\left\lvert S_n - S_{n-1} \right\rvert = a_n\text{.} \nonumber$$

Porque la secuencia$\{a_n\}$ converge a$0\text{,}$ la distancia entre sumas parciales sucesivas se vuelve tan cercana a cero como nos gustaría, y así converge la secuencia de sumas parciales (aunque no sepamos el valor exacto al que converge).

La discusión anterior ha demostrado la verdad de la Prueba de Serie Alternante.

La prueba en serie alterna

Dada una serie alterna$\sum (-1)^k a_k \text{,}$ si la secuencia$\{a_k\}$ de términos positivos disminuye a 0 ya que$k \to \infty\text{,}$ entonces la serie alterna converge.

Tenga en cuenta que si el límite de la secuencia no$\{a_k\}$ es 0, entonces la serie alterna diverge.

Actividad 8.4.3

¿Qué series convergen y cuáles divergen? Justifica tus respuestas.

1. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2+2}$
2. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}2k}{k+5}$
3. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln(k)}$

8.4.2 Estimación de sumas alternas

Si la serie converge, el argumento para la Prueba de Serie Alternante también nos proporciona un método para determinar qué tan cerca$S_n$ está la$n$ ésima suma parcial de la suma real de la serie. Para ver cómo funciona esto, dejemos$S$ ser la suma de una serie convergente alternante, así

$$S = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k a_k\text{.} \nonumber$$

Recordemos que la secuencia de sumas parciales oscila alrededor de la suma de$S$ manera que

$$\left|S - S_n \right| \lt \left| S_{n+1} - S_n \right| = a_{n+1}\text{.} \nonumber$$

Por lo tanto, el valor del término$a_{n+1}$ proporciona una estimación de error para qué tan bien la suma parcial$S_n$ se aproxima a la suma real$S\text{.}$ Resumimos este hecho en el enunciado del Teorema de Estimación de Series Alternativas.

Teorema de estimación de series alternas

Si la serie alterna$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}a_k$ tiene términos positivos$a_k$ que disminuyen a cero como$k \to \infty\text{,}$ y$S_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1}a_k$ es la$n$ ésima suma parcial de la serie alterna, entonces

$$\left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}a_k - S_n \right\rvert \leq a_{n+1}\text{.} \nonumber$$

Ejemplo 8.4.5

Determinar qué tan bien$100$ la suma parcial$S_{100}$ de

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \nonumber$$

aproxima la suma de la serie.

Responder

Si dejamos$S$ ser la suma de la serie$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}\text{,}$ entonces sabemos que

$$\left| S_{100} - S \right| \lt a_{101}\text{.} \nonumber$$

Ahora

$$a_{101} = \frac{1}{101} \approx 0.0099\text{,} \nonumber$$

por lo que la suma parcial número 100 está dentro de 0.0099 de la suma de la serie. Hemos discutido el hecho (y posteriormente verificaremos) que

$$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \ln(2)\text{,} \nonumber$$

y así$S \approx 0.693147$ mientras

$$S_{100} = \sum_{k=1}^{100} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \approx 0.6881721793\text{.} \nonumber$$

Vemos que la diferencia real entre$S$ y$S_{100}$ es aproximadamente$0.0049750013\text{,}$ que de hecho es menor que$0.0099\text{.}$

Actividad 8.4.4

Determinar el número de términos que se necesitan para aproximar la suma de las series alternantes convergentes

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^4} \nonumber$$

a dentro de 0.0001.

8.4.3 Convergencia Absoluta y Condicional

Una serie como

$$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots\label{fiy}\tag{8.4.2}$$

cuyos términos no son todos no negativos ni alternos es diferente de cualquier serie que hayamos considerado hasta ahora. El comportamiento de tal serie puede ser bastante complicado, pero existe una conexión importante entre una serie con algunos términos negativos y series con todos los términos positivos.

Actividad 8.4.5

1. Explicar por qué la serie
   $$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \nonumber$$

   debe tener una suma que sea menor que la serie

   $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\text{.} \nonumber$$
2. Explicar por qué la serie
   $$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \nonumber$$

   debe tener una suma que sea mayor que la serie

   $$\sum_{k=1}^{\infty} -\frac{1}{k^2}\text{.} \nonumber$$
3. Dado que los términos de la serie
   $$1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \frac{1}{36} - \frac{1}{49} - \frac{1}{64} - \frac{1}{81} - \frac{1}{100} + \cdots \nonumber$$

   convergen a 0, ¿qué opinas que nos dicen los dos resultados anteriores sobre el estado de convergencia de esta serie?

Como sugiere el ejemplo de la Actividad 8.4.5, si una serie$\sum a_k$ tiene algunos términos negativos pero$\sum |a_k|$ converge, entonces la serie original, también$\sum a_k\text{,}$ debe converger. Es decir, si$\sum | a_k |$ converge, entonces también debe$\sum a_k\text{.}$

Como acabamos de observar, este es el caso de la serie (8.4.2), porque la serie correspondiente de los valores absolutos de sus términos es la convergente$p$ -serie$\sum \frac{1}{k^2}\text{.}$ Pero hay series, como las series armónicas alternas$\sum (-1)^{k+1} \frac{1}{k}\text{,}$ que convergen mientras que la serie correspondiente de absoluta valores,$\sum \frac{1}{k}\text{,}$ diverge. Distinguimos entre estos comportamientos introduciendo el siguiente lenguaje.

Definición 8.4.6

Considera una serie$\sum a_k\text{.}$

1. La serie$\sum a_k$ converge absolutamente (o es absolutamente convergente) siempre que$\sum | a_k |$ converja.
2. La serie$\sum a_k$ converge condicionalmente (o es condicionalmente convergente) siempre que$\sum | a_k |$ diverja y$\sum a_k$ converja.

En esta terminología, la serie (8.4.2) converge absolutamente mientras que la serie armónica alterna es condicionalmente convergente.

Actividad 8.4.6

1. Considera la serie$\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k}\text{.}$
   1. ¿Converge esta serie? Explique.
   2. ¿Esta serie converge absolutamente? Explica qué prueba usas para determinar tu respuesta.
2. Considera la serie$\sum (-1)^k \frac{\ln(k)}{k^2}\text{.}$
   1. ¿Converge esta serie? Explique.
   2. ¿Esta serie converge absolutamente? Pista: Use el hecho de que$\ln(k) \lt \sqrt{k}$ para valores grandes de$k$ y luego compare con una$p$ serie -apropiada.

Las series condicionalmente convergentes resultan ser muy interesantes. Si la secuencia$\{a_n\}$ disminuye a 0, pero la serie$\sum a_k$ diverge, la serie condicionalmente convergente$\sum (-1)^k a_k$ está justo en el límite de ser una serie divergente. Como resultado, cualquier serie condicionalmente convergente convergente converge muy lentamente. Además, algunas cosas muy extrañas pueden suceder con series condicionalmente convergentes, como se ilustra en algunos de los ejercicios.

8.4.4 Resumen de Pruebas para Convergencia de Series

Hemos discutido varias pruebas de convergencia/divergencia de series en nuestras secciones y en ejercicios. Cerramos esta sección del texto con un resumen de todas las pruebas que hemos encontrado, seguido de una actividad que te reta a decidir qué prueba de convergencia aplicar a varias series diferentes.

Serie Geométrica

La serie geométrica$\sum ar^k$ con relación$r$ converge$-1 \lt r \lt 1$ y diverge para$|r| \geq 1\text{.}$

La suma de la serie geométrica convergente$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} ar^k$ es$\frac{a}{1-r}\text{.}$

Prueba de divergencia

Si la secuencia$a_n$ no converge a 0, entonces la serie$\sum a_k$ diverge.

Esta es la primera prueba a aplicar porque la conclusión es sencilla. No obstante, si$\lim_{n \to \infty} a_n = 0\text{,}$ no se puede sacar ninguna conclusión.

Prueba Integral

Dejar$f$ ser una función positiva, decreciente en un intervalo$[c,\infty)$ y dejar$a_k = f(k)$ para cada entero positivo$k \geq c\text{.}$

• Si$\int_c^{\infty} f(t) \ dt$ converge, entonces$\sum a_k$ converge.
• Si$\int_c^{\infty} f(t) \ dt$ diverge, entonces$\sum a_k$ diverge.

Utilice esta prueba cuando$f(x)$ sea fácil de integrar.

Comp. Directo Test

(ver Ex 4 en la Sección 8.3)

Let$0 \leq a_k \leq b_k$ para cada entero positivo$k\text{.}$

• Si$\sum b_k$ converge, entonces$\sum a_k$ converge.
• Si$\sum a_k$ diverge, entonces$\sum b_k$ diverge.

Use esta prueba cuando tenga una serie con un comportamiento conocido con el que pueda compararse; esta prueba puede ser difícil de aplicar.

Límite Comp. Test

Dejar$a_n$ y$b_n$ ser secuencias de términos positivos. Si

$$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = L \nonumber$$

para algún número finito positivo$L\text{,}$ entonces las dos series$\sum a_k$ y$\sum b_k$ ambas convergen o ambas divergen.

Más fácil de aplicar en general que la prueba de comparación, pero debes tener una serie con comportamiento conocido para comparar. Útil para aplicar a series de funciones racionales.

Prueba de relación

Vamos$a_k \neq 0$ para cada uno$k$ y supongamos

$$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|} = r\text{.} \nonumber$$

• Si$r \lt 1\text{,}$ entonces la serie$\sum a_k$ converge absolutamente.
• Si$r \gt 1\text{,}$ entonces la serie$\sum a_k$ diverge.
• Si$r=1\text{,}$ entonces la prueba no es concluyente.

Esta prueba es útil cuando una serie involucra factoriales y poderes.

Prueba de Raíz

(ver Ejercicio 2 en la Sección 8.3)

Vamos$a_k \geq 0$ para cada uno$k$ y supongamos

$$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} = r\text{.} \nonumber$$

• Si$r \lt 1\text{,}$ entonces la serie$\sum a_k$ converge.
• Si$r \gt 1\text{,}$ entonces la serie$\sum a_k$ diverge.
• Si$r=1\text{,}$ entonces la prueba no es concluyente.

En general, la Prueba de Relación se puede utilizar generalmente en lugar de la Prueba Raíz. Sin embargo, la prueba raíz puede ser rápida de usar cuando$a_k$ involucra$k$ th powers.

Alt. Prueba en serie

Si$a_n$ es una secuencia positiva, decreciente para que$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\text{,}$ luego$\sum (-1)^{k+1} a_k$ converja la serie alternante.

Esta prueba se aplica únicamente a series alternas —asumimos que los términos$a_n$ son todos positivos y que la secuencia$\{a_n\}$ está disminuyendo.

Alt. Serie Est.

Let$S_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} a_k$ be la$n$ ésima suma parcial de la serie alternante$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} a_k\text{.}$ Supongamos$a_n \gt 0$ por cada entero positivo$n\text{,}$ la secuencia$a_n$ disminuye a 0 y$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = S\text{.}$ Luego se deduce que$|S - S_n| \lt a_{n+1}\text{.}$

Este límite puede ser utilizado para determinar la precisión de la suma parcial$S_n$ como una aproximación de la suma de una serie alternante convergente.

Actividad 8.4.7

Para (a) - (j), utilizar pruebas apropiadas para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series. A lo largo de todo, si una serie es una serie geométrica convergente, encuentra su suma.

1. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=3}^{\infty} \ \frac{2}{\sqrt{k-2}}$
2. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{k}{1+2k}$
3. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \ \frac{2k^2+1}{k^3+k+1}$
4. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \ \frac{100^k}{k!}$
5. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{2^k}{5^k}$
6. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{k^3-1}{k^5+1}$
7. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{3^{k-1}}{7^k}$
8. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{1}{k^k}$
9. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \ \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k+1}}$
10. $\displaystyle \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \ \frac{1}{k \ln(k)}$
11. Determine un valor de de$n$ manera que la$n$ ésima suma parcial$S_n$ de las series alternas$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln(n)}$ se aproxime a la suma dentro de 0.001.

8.4.5 Resumen

• Una serie alterna es una serie cuyos términos se alternan en signo. Tiene la forma
  $$\sum (-1)^ka_k \nonumber$$

  donde$a_k$ es un número real positivo para cada$k\text{.}$

• La secuencia de sumas parciales de una serie alternante convergente oscila alrededor de la suma de la serie si la secuencia de términos$n$ th converge a 0. Es por ello que la Prueba de Serie Alternante muestra que las series alternas$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k$ convergen cada vez que la secuencia$\{a_n\}$ de términos$n$ th disminuye a 0.
• La diferencia entre la$n-1$ st suma parcial$S_{n-1}$ y la$n$ ésima suma parcial$S_n$ de una serie alternante convergente$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k$ es$|S_n - S_{n-1}| = a_n\text{.}$ Dado que las sumas parciales oscilan alrededor de la suma$S$ de la serie, se deduce que
  $$|S - S_n| \lt a_n\text{.} \nonumber$$

  Entonces,$n$ la suma parcial de una serie alternante convergente$\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^ka_k$ se aproxima a la suma real de la serie dentro$a_n\text{.}$