4.4: El teorema del valor medio

La diferencia entre las tasas de cambio instantáneas y medias se ha discutido en secciones anteriores. Recordemos que no hay diferencia entre las dos para las funciones lineales. Para las funciones no lineales, la tasa promedio de cambio en un intervalo\(\ival{a}{b}\) de longitud positiva (es decir\(b-a>0\)) no será la misma que la velocidad instantánea de cambio en cada punto del intervalo. Sin embargo, el siguiente teorema garantiza que serán los mismos en algún momento del intervalo:

La figura [fig:mvt] a continuación muestra la interpretación geométrica del teorema:

La idea es que haya al menos un punto en la curva\(y=f(x)\) donde la línea tangente será paralela a la línea secante uniendo los puntos\((a,f(a))\) y\((b,f(b))\). Para cada uno\(c\) en\((a,b)\) la línea tangente tiene pendiente\(f'(c)\), mientras que la línea secante tiene pendiente\(\frac{f(b) - f(a)}{b - a}\). El Teorema del Valor Medio dice que estas dos pendientes serán iguales en algún lugar de\((a,b)\).

Para probar el Teorema del Valor Medio (a veces llamado Teorema de Lagrange), se necesita el siguiente resultado intermedio, y es importante por derecho propio:

La figura [fig:rolle] de la derecha muestra la interpretación geométrica del teorema. Para probar el teorema, supongamos que no\(f\) es la función constante\(f(x) = 0\) para todos\(x\) en\(\ival{a}{b}\) (si así fuera entonces el teorema de Rolle sostendría trivialmente). Entonces debe haber al menos uno\(x_0\) en\((a,b)\) tal que cualquiera\(f(x_0) > 0\) o\(f(x_0) < 0\). Si\(f(x_0) > 0\) entonces por el Teorema del Valor Extremo\(f\) alcanza un máximo global\(x=c\) en algunos en el intervalo abierto\((a,b)\), ya que\(f\) es cero en los puntos finales\(x=a\) y\(x=b\) del intervalo cerrado\(\ival{a}{b}\). Entonces\(f'(c)=0\) ya\(f\) tiene un máximo en\(x=c\). Del mismo modo si\(f(x_0) < 0\) entonces\(f\) alcanza un mínimo global en algunos\(x=c\) en\((a,b)\), y por lo tanto otra vez\(f'(c)=0\;.\quad\checkmark\)

El Teorema del Valor Medio ahora se puede probar aplicando el Teorema de Rolle a la función

\[F(x) ~=~ f(x) ~-~ f(a) ~-~ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\,(x - a)\]donde\(f\) satisface las condiciones del Teorema del Valor Medio. Básicamente,\(F\) “inclina” la gráfica\(f\) de la Figura [fig:mvt] para que se vea como la gráfica de la Figura [fig:rolle]. Es trivial comprobar eso\(F(a) = F(b) = 0\), y\(F\) es continuo\(\ival{a}{b}\) y diferenciable en\((a,b)\) ya que\(f\) es. Así, por el teorema de Rolle,\(F'(c) = 0\) para algunos\(c\) en\((a,b)\). Sin embargo,

\[F'(x) ~=~ f'(x) ~-~ \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]y así

\[F'(c) ~=~ f'(c) ~-~ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad f'(c) ~=~ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad\checkmark\]

Tenga en cuenta que tanto el Teorema del Valor Medio como el Teorema de Rolle son puramente teoremas de existencia, ellos solo le dicen que existe cierto número. La tarea de encontrar los números te queda a ti. Para el Teorema del Valor Medio esa tarea implica resolver la ecuación\(f'(x) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\) (o\(f'(x)=0\) para el Teorema de Rolle). Los métodos numéricos de búsqueda de raíces de la Sección 4.3 podrían ser útiles, ya que la obtención de soluciones de forma cerrada podría ser imposible. Por esa razón, el Teorema del Valor Medio es más útil para fines teóricos. Una de esas aplicaciones es el siguiente resultado importante:

Tenga en cuenta que\(I\) puede ser cualquier intervalo, incluso toda la línea real\((-\infty,\infty)\). Ya se sabe eso\(f=\text{constant} ~\Rightarrow~ f'=0\); el resultado anterior dice que lo contrario es cierto. La prueba es por contradicción: asumir que no\(f\) es una función constante y mostrar que esto contradice el Teorema del Valor Medio. Si no\(f\) es constante entonces existen números\(a < b\) en\(I\) tal que\(f(a) \ne f(b)\). Sin embargo, por el Teorema del Valor Medio debe existir un número\(c\) en el intervalo\((a,b)\) tal que

\[f'(c) ~=~ \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ~.\]Dado que la derivada de\(f\) es 0 en todas partes\(I\), entonces\(f'(c) = 0\) y así

\[\frac{f(b) - f(a)}{b - a} ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad f(b) ~-~ f(a) ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad f(a) ~=~ f(b) ~,\]una contradicción de\(f(a) \ne f(b)\). Así,\(f\) debe ser una función constante.

Otro resultado teórico se puede probar con el Teorema del Valor Medio:

Para probar la parte (a), asumir que\(f'(x) > 0\) para todos\(x\) en\(I\), y elegir números arbitrarios\(a\) y\(b\) en\(I\) con\(a < b\). Para demostrar que\(f\) va en aumento\(I\) basta con demostrarlo\(f(a) < f(b)\). Por el Teorema del Valor Medio hay un número\(c\) en\((a,b)\) (y por lo tanto en\(I\)) tal que

\[\begin{aligned} \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ~&=~ f'(c) \quad\text{, and so}\

\ [6pt] f (b) - f (a) ~&=~ (b-a)\, f' (c) ~>~ 0\ end {alineado}\] desde\(b-a>0\) y\(f'(c)>0\). Por lo tanto\(f(b) > f(a)\),, y así\(f\) está aumentando en\(I.\quad\checkmark\)

El comprobante de la parte (b) es similar y se deja como ejercicio. Quizás te preguntes por qué tal prueba es necesaria. Después de todo, en la Sección 1.2 se brindó una explicación intuitiva de por qué las derivadas positivas o negativas implican que una función está aumentando o disminuyendo, respectivamente. Ese conocimiento ha sido asumido y utilizado en las secciones subsiguientes. Las explicaciones intuitivas llamadas “agitadoras de manos”, de hecho, a menudo arrojan más perspicacia que una prueba “formal”, como la anterior. No obstante, es bueno saber que tal intuición tiene una base sólida y se puede probar, si es necesario. El Teorema del Valor Medio puede ayudar a probar desigualdades, a menudo utilizadas en las ciencias para establecer límites superiores o inferiores en una cantidad (por ejemplo, en el peor de los casos).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): ineq1

Agrega texto aquí.

Solución

\(\sin\,x \le x\)Demuéstralo para todos\(x \ge 0\).

Solución: La desigualdad se sostiene trivialmente para\(x=0\), ya que\(\sin\,0 = 0 \le 0\). Entonces asumamos eso\(x > 0\). Entonces por el Teorema del Valor Medio hay un número\(c\) en\((0,x)\) tal que para\(f(x)=\sin x\),

\[\begin{aligned} \frac{f(x) ~-~ f(0)}{x - 0} ~=~ f'(c) \quad&\Rightarrow\quad \frac{\sin\,x ~-~ \sin\,0}{x - 0} ~=~ \cos\,c\

\ [6pt] &\ Rightarrow\ quad\ sin\, x ~=~ x\,\ cos\, c\\ &\ Rightarrow\ quad\ sin\, x ~\ le~ x\ end {alineado}\] desde\(\cos\,c \le 1\) y\(x > 0\). Tenga en cuenta que\(\sin\,x \le x\) es una desigualdad más aguda que\(\sin\,x \le 1\) cuando\(0 < x < 1\).

Existe una forma alternativa útil del Teorema del Valor Medio. Si\(a < b\) entonces vamos\(h=b-a>0\), así que eso\(a+h=b\). Entonces cualquier número\(c\) en se\((a,b)\) puede escribir como\(c = a + \theta h\) para algún número\(\theta\) en\((0,1)\). Para ver esto,\(c\) déjese entrar\((a,b)\). Entonces\(0<c-a<b-a=h\) y así\(0<\frac{c-a}{h}<1\). Así,\(\theta = \frac{c-a}{h}\) está en\((0,1)\) y\(a + \theta h = a + (c-a)=c\). Por lo tanto:

El Teorema del Valor Medio es el caso especial de\(g(x)=x\) en la siguiente generalización:

El Teorema del Valor Medio dice que la derivada de una función diferenciable siempre alcanzará un valor particular en un intervalo cerrado: la tasa promedio de cambio de la función a lo largo del intervalo. Resulta que la derivada tomará cada valor entre sus valores en los puntos finales, similar a como se aplica el Teorema del Valor Intermedio a las funciones continuas: ¹¹

En otras palabras, si\(f'(a) < \gamma < f'(b)\) (o\(f'(b) < \gamma < f'(a)\)) entonces hay un número\(c\) en\((a,b)\) tal que\(f'(c) = \gamma\). Si\(f'\) fueran continuos\(\ival{a}{b}\) entonces el resultado seguiría trivialmente por el Teorema del Valor Intermedio para funciones continuas. Lo que quizás sea sorprendente es que el Teorema de Darboux se sostiene incluso para derivados que no son continuos. Esto significa que una derivada discontinua no puede tener el tipo de discontinuidades de salto simples que le permitan “saltarse” sobre valores intermedios —los puntos de discontinuidad deben ser de un tipo más complicado. Una interpretación aproximada del Teorema de Darboux es que aunque una derivada no sea una función continua, se comportará como si fuera.

[sec4dot4]

¿Se aplica el teorema de Rolle a la función\(f(x) = 1 - \abs{x}\) en el intervalo\(\ival{-1}{1}\)? Si es así, encuentra el número en\((-1,1)\) que el Teorema de Rolle garantiza existir. Si no, explique por qué no.

Supongamos que dos caballos corren una carrera comenzando juntos y terminando en empate. Demuestre que, en algún momento de la carrera, debieron haber tenido la misma velocidad.

Usa el Teorema del Valor Medio para mostrar eso\(\Abs{\sin\;A ~-~ \sin\;B} ~\le~ \Abs{A-B}\) para todos\(A\) y\(B\) (en radianes). Hace\(\Abs{\sin\;A ~+~ \sin\;B} ~\le~ \Abs{A+B}\) para todos\(A\) y\(B\)? Explique.

Demuéstralo\(\Abs{\cos\;A ~-~ \cos\;B} ~\le~ \Abs{A-B}\) para todos\(A\) y\(B\) (en radianes). Hace\(\Abs{\cos\;A ~+~ \cos\;B} ~\le~ \Abs{A+B}\) para todos\(A\) y\(B\)? Explique.

\(\tan\,x ~\ge~ x\)Demuéstralo para todos\(0 \le x < \frac{\pi}{2}\).

Demostrar eso\(\Abs{\tan\;A ~-~ \tan\;B} ~\ge~ \Abs{A-B}\) para todos\(A\) y\(B\) (en radianes) en\(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\). ¿Se puede extender la desigualdad a todos\(A\) y\(B\)? Explica tu respuesta. [[1.] ]

Usa el Teorema de Rolle para mostrar que para todas las constantes\(a\) y\(b\) con\(a>0\), no\(f(x) = x^3 - ax + b\) puede tener tres raíces positivas. Además, muestran que no puede tener tres raíces negativas.

Utilice el Teorema del Valor Medio para mostrar que si\(f'<0\) en un intervalo\(I\) entonces\(f\) está disminuyendo en\(I\).

Supongamos que\(f\) y\(g\) son continuos\(\ival{a}{b}\) y diferenciables en\((a,b)\), y eso\(f'(x) > g'(x)\) para todos\(a < x < b\). \(f(b) - g(b) > f(a) - g(a)\)Demuéstralo.

Demostrar el Teorema del Valor Medio Extendido, aplicando el Teorema de Rolle a la función

\[F(x) ~=~ f(x) ~-~ f(a) ~-~ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\,(g(x) - g(a)) ~.\]

[exer:exple1px]\(e^x \ge 1 + x\) Demuéstralo para todos\(x\). (Pista: Considere\(f(x)=e^x-x\).)

2

[exer:lnxltx]\(\ln\,(1+x) < x\) Demuéstralo para todos\(x > 0\).

\(\tan^{-1} x < x\)Demuéstralo para todos\(x\).

Demostrar que para\(0 < \alpha \le \beta < \frac{\pi}{2}\),

\[\frac{\beta - \alpha}{\cos^2 \alpha} ~\le~ \tan\,\beta ~-~ \tan\,\alpha ~\le~ \frac{\beta - \alpha}{\cos^2 \beta} ~.\]

Demostrar que para\(0 < a \le b\),

\[\frac{b - a}{b} ~\le~ \ln\,\frac{b}{a} ~\le~ \frac{b - a}{a} ~.\]

Demostrar que para\(n > 1\) y\(a > b\),

\[nb^{n-1}(a-b) < a^n - b^n < na^{n-1}(a-b) ~.\][[1.] ]

Demostrar que\(\sqrt{a^2 + b} \;<\; a + \dfrac{b}{2a}\) para todos los números positivos\(a\) y\(b\).

Demostrar que\(f(x) \;=\; \cos^2 x \;+\; \cos^2\left(\frac{\pi}{3}+x\right) \;-\; \cos\,x\, \cos\,\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\) es una función constante. ¿Cuál es su valor?

Supongamos que\(f(x)\) es una función diferenciable y que\(f(0)=0\) y\(f(1)=1\). Demuéstralo\(f'(x_0) = 2x_0\) para algunos\(x_0\) en el intervalo\((0,1)\).

Demostrar la desigualdad

\[\ABS{\frac{x_1 + x_2}{1 + x_1 x_2}} ~<~ 1 \quad\text{for $\;-1 ~<~ x_1, x_2 ~<~ 1$}\]de la siguiente manera:

1. Primero probar el caso especial donde\(x_1 = x_2\).

2. Para el caso\(x_1 < x_2\) definir

   \[f(x) = \frac{x+a}{1+ax}\]para\(-1 \le x \le 1\), donde\(-1 < a < 1\). Demostrar que\(f\) está aumentando en\(\ival{-1}{1}\), luego use\(a=x_2\) y\(x=x_1\).

Tenga en cuenta que probar el caso\(x_2 < x_1\) es innecesario (¿por qué?).
Esta desigualdad es una generalización de la misma desigualdad para\(0 \le x_1, x_2 < 1\) en la ley relativista de adición de velocidad a partir de la teoría de la relatividad especial: si el objeto 1 tiene velocidad\(v_1\) relativa a un marco de referencia\(F\), y si el objeto 2 tiene una velocidad\(v_2\) relativo al objeto 1, de manera que\(x_1 = v_1/c\) y\(x_2 = v_2/c\) representan las fracciones de la velocidad de la luz\(c\) a la que se mueven los objetos, entonces la fracción de la velocidad de la luz a la que se mueve el objeto 2 con respecto a\(F\) es\(x = (x_1 + x_2)/(1 + x_1 x_2)\). Entonces debería ser cierto que\(0 \le x < 1\), ya que nada puede moverse más rápido que la velocidad de la luz.