7.5: Funciones hiperbólicas

En algunos libros de texto se pueden ver las funciones seno y coseno llamadas funciones circulares, ya que cualquier punto del círculo unitario se\(x^2+y^2=1\) puede definir en términos de esas funciones (ver Figura [fig:cirangle]). Esas definiciones motivan una idea similar para la hipérbola unitaria\(x^2-y^2=1\), cuyos puntos pueden definirse en términos de funciones hiperbólicas.

Para un punto\(P=(x,y)\) en la hipérbola unitaria\(x^2-y^2=1\), el ángulo hiperbólico\(a\) es el doble del área del sector hiperbólico sombreado en la Figura [fig:hipángulo]). ¹¹\(\frac{a}{2}\) Por lo tanto, el área es igual al área del triángulo rectángulo con hipotenusa\(OP\) y patas de longitud\(x\) y\(y\) (para que el área del triángulo sea\(\frac{1}{2}xy\)) menos el área debajo de la hipérbola sobre el intervalo\(\ival{1}{x}\). Entonces como la mitad superior de la hipérbola\(x^2-y^2=1\) es la función\(y=\sqrt{x^2-1}\),

\[\begin{aligned} \frac{a}{2} ~&=~ \text{(area of triangle)} ~-~ \text{(area under the hyperbola from $1$ to $x$)}\\ &=~ \frac{1}{2}xy ~-~ \int_1^x \sqrt{u^2-1}~\du\

\ [4pt]\ frac {a} {2} ~&=~\ frac {1} {2} x\ sqrt {x^2-1} ~-~\ izquierda (\ frac {1} {2} x\ sqrt {x^2-1} ~-~\ frac {1} {2}\ ln\,\ izquierda (x +\ sqrt {x^2-1}\,\ derecha)\ derecha)\ quad\ texto {(por fórmula (\ ref {eqn:sqrtu2a2sec}))}\

\ [2pt] a ~&=~\ ln\,\ izquierda (x +\ sqrt {x^2-1}\,\ derecha)\\ e^a ~&=~ x +\ sqrt {x^2-1}\\ (e^a - x) ^2 ~&=~\ izquierda (\ sqrt {x^2-1}\,\ derecha) ^2\\ e^ {2a} - 2xe^ ^a +\ cancel {x^2} ~&=~\ cancel {x^2} - 1\\ x ~&=~\ frac {e^ {2a} + 1} {2e^a} ~=~\ frac {e^a + e^ {-a}} {2} ~=~\ cosh\, a\ end {alineado}\] donde\(\cosh\,a\) esta el coseno hiperbólico de\(a\). La\(y\) coordenada de entonces se\(P\) puede encontrar:

\[\begin{aligned} y ~&=~ \sqrt{x^2 - 1} ~=~ \sqrt{\left(\frac{e^a + e^{-a}}{2}\right)^2 - 1} ~=~ \sqrt{\frac{e^{2a} + 2 + e^{-2a}}{4} - \frac{4}{4}}\

\ [4pt] &=~\ sqrt {\ frac {e^ {2a} - 2 + e^ {-2a}} {4}} ~=~\ sqrt {\ left (\ frac {e^a - e^ {-a}} {2}\ derecha) ^2}\ text {, así desde $a\ ge 0$}\

\ [4pt] y ~&=~\ frac {e^a - e^ {-a}} {2} ~=~\ sinh\, a\ end {alineado}\] donde\(\sinh\,a\) está el seno hiperbólico de\(a\). Las seis funciones hiperbólicas ahora se pueden definir en general, análogas a las funciones trigonométricas (circulares):

A continuación se muestran las gráficas de las funciones hiperbólicas:

El gráfico de\(y=\cosh\,x\) la Figura [fig:hiperfcns] (a) puede parecer familiar: una catenaria —un cable uniforme que cuelga de dos puntos fijos— tiene la forma de una función coseno hiperbólica. Las funciones hiperbólicas satisfacen las siguientes identidades:

La identidad\(\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\) se comprobó al derivar las coordenadas de puntos en la hipérbola unitaria\(x^2-y^2=1\) en términos del ángulo hiperbólico (ya que tal punto\((x,y) = (\cosh\,a,\sinh\,a)\) debe satisfacer\(x^2-y^2=1\)). Las identidades de adición pueden probarse de manera similar usando ángulos hiperbólicos (es decir, áreas). ¹² Sin embargo, es más sencillo utilizar las definiciones de\(\sinh\) y\(\cosh\) en términos de funciones exponenciales. Por ejemplo:

\[\begin{aligned} \sinh\,u\;\cosh\,v + \cosh\,u\;\sinh\,v \;&=\; \frac{e^u - e^{-u}}{2} \cdot \frac{e^v + e^{-v}}{2} ~+~ \frac{e^u + e^{-u}}{2} \cdot \frac{e^v - e^{-v}}{2}\

\ [4pt] &=\;\ frac {e^ {u+v} +e^ {u-v} -e^ {-u+v} -e^ {-u-v} +e^ {u+v} -e^ {u-v} +e^ {-u+v} -e^ {-u-v}} {4}\\ &=\;\ frac {2e^ {u+v} - 2e^ {-u-v}} {4}\

\ [4pt] &=\;\ frac {e^ {u+v} - e^ {- (u+v)}} {2}\

\ [2pt] &=\;\ sinh\, (u+v)\ quad\ checkmark\ end {aligned}\] La identidad para\(\sinh\,2x\) es entonces fácil de probar dejando\(u=v=x\) entrar la identidad anterior:

\[\sinh\,2x ~=~ \sinh\,(x+x) ~=~ \sinh\,x\;\cosh\,x + \cosh\,x\;\sinh\,x ~=~ 2\,\sinh\,x\;\cosh\,x \quad\checkmark\]Tenga en cuenta que las identidades\(\cosh\,(-x) = \cosh\,x\) y\(\sinh\,(-x) = -\sinh\,x\) media que\(\cosh\) es una función par y\(\sinh\) es una función impar. Esas dos funciones así (algo así como) sirven como versiones pares e impares de la función exponencial (que no es ni par ni impar). Ambos\(\cosh\,x\) y\(\sinh\,x\) crecen exponencialmente (el\(e^{-x}\) término para ambas funciones se vuelve insignificante como\(x \to \infty\)), mientras que\(\sinh\,x\) disminuye exponencialmente a\(-\infty\) as\(x \to -\infty\). Las derivadas de las funciones hiperbólicas y sus equivalentes integrales son:

Por ejemplo, por definición de\(\cosh\,x\):

\[\ddx\,(\cosh\,x) ~=~ \ddx\,\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) ~=~ \frac{e^x - e^{-x}}{2} ~=~ \sinh\,x \quad\checkmark\]

Encuentra la derivada de\(y=\sinh\,x^3\).

Solución: Por la regla de la cadena,\(\Dydx = 3x^2\,\cosh\,x^3\).

Evaluar\(\displaystyle\int\tanh\,x~\dx\).

Solución: Utilice la definición de\(\tanh\,x\) y las sustituciones\(u=\cosh\,x\),\(\du=\sinh\,x\;\dx\):

\[\int\,\tanh\,x~\dx ~=~ \int\,\frac{\sinh\,x}{\cosh\,x}~\dx ~=~ \int\,\frac{\du}{u} ~=~ \ln\,\abs{u} ~+~ C ~=~ \ln\,(\cosh\,x) ~+~ C\]

Para cualquier constante\(a>0\), ambos\(y=\cosh\,at\) y\(y=\sinh\,at\) satisfacer la ecuación diferencial

\[y''(t) ~=~ a^2y(t) ~,\]que modela el movimiento rectilíneo de una partícula bajo una fuerza repulsiva proporcional al desplazamiento. Esta es solo una de las muchas razones por las que aparecen funciones hiperbólicas en tantas aplicaciones físicas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): paramag

Agrega texto aquí.

Solución

En la teoría clásica del paramagnetismo, el número total\(n\) de moléculas en un gas sujeto a un campo magnético de fuerza\(H\) es

\[n ~=~ 2\pi N\,\int_0^{\pi} e^{\frac{\mu H}{kT}\cos\,\theta}\sin\,\theta~\dtheta ~,\]donde\(N\) es el número de moléculas por unidad de ángulo sólido que tiene cero energía potencial,\(\mu\) es el momento magnético,\(k\) es la constante de Boltzmann, y\(T\) es la temperatura del gas. Demostrar que

\[n ~=~ \frac{4\pi NkT}{\mu H}\,\sinh\,\left(\frac{\mu H}{kT}\right) ~.\]

Solución: Dejar\(a=\frac{\mu H}{kT}\), y dejar que\(u=\cos\,\theta\) así\(\du=-\sin\,\theta\;\dtheta\):

\[\begin{aligned} n ~&=~ -2\pi N\,\int_1^{-1} e^{au}~\du ~=~ 2\pi N\,\int_{-1}^{1} e^{au}~\du ~=~ \frac{2\pi N}{a}\,e^{au}~\Biggr|_{-1}^1 ~=~ \frac{2\pi N}{a}\,\left(2 \cdot \frac{e^a - e^{-a}}{2}\right)\\ &=~ \frac{4\pi NkT}{\mu H}\,\sinh\,\left(\frac{\mu H}{kT}\right)\end{aligned}\]

Ya que\(\ddx\,(\sinh\,x) = \cosh\,x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} > 0\) para todos\(x\), entonces\(y=\sinh\,x\) es una función creciente y así\(x=\sinh^{-1}y\) se define su función inversa. Las funciones hiperbólicas inversas restantes se pueden definir de manera similar, con los siguientes dominios y rangos (cambiando los roles de\(x\) y\(y\), como de costumbre) más sus gráficas:

función	\(\sinh^{-1} x\)	\(\cosh^{-1} x\)	\(\tanh^{-1} x\)	\(\csch^{-1} x\)	\(\sech^{-1} x\)	\(\coth^{-1} x\)
dominio	todos\(x\)	\(x \ge 1\)	\(\abs{x} < 1\)	todos\(x \ne 0\)	\(0 < x \le 1\)	\(\abs{x} > 1\)
gama	todos\(y\)	\(y \ge 0\)	todos\(y\)	todos\(y \ne 0\)	\(y \ge 0\)	todos\(y \ne 0\)

Las funciones hiperbólicas inversas se pueden expresar en términos del logaritmo natural:

Observe que la fórmula anterior para\(\cosh^{-1} x\) fue efectivamente probada al inicio de esta sección. La fórmula para\(\sinh^{-1} x\) se desprende de la definición de una función inversa:

\[\begin{aligned} y ~=~ \sinh^{-1} x \quad&\Rightarrow\quad x ~=~ \sinh\,y ~=~ \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\

\ [2pt] &\ Rightarrow\ quad e^y - 2x - e^ {-y} ~=~ 0\\ &\ Rightarrow\ quad e^ {2y} - 2xe^y - 1 ~=~ 0\ &\ Rightarrow\ quad u^2 - 2xu - 1 ~=~ 0\ quad\ text {para $u=e^y$}\ &\ Derecha tarrow\ quad u ~=~\ frac {2x\ pm\ sqrt {4x^2 - 4 (1) (-1)}} {2} ~=~ x\ pm\ sqrt {x^2 + 1}\

\ [4pt] &\ Rightarrow\ quad e^y ~=~ u ~=~ x +\ sqrt {x^2 + 1}\ quad\ text {desde $e^y > 0$}\

\ [2pt] &\ Rightarrow\ quad y ~=~\ ln\, (x +\ sqrt {x^2 + 1}\,)\ quad\ checkmark\ end {aligned}\] Las fórmulas restantes se pueden probar de manera similar.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): hyperangleacosh

Agrega texto aquí.

Solución

Mostrar que para el ángulo hiperbólico\(a\) de un punto\(P=(x,y)\) en la hipérbola unitaria\(x^2-y^2=1\), el área\(\frac{a}{2}\) del sector hiperbólico\(\hypsector\; OAP\) (la región sombreada en la figura de la derecha) es

\[\frac{a}{2} ~=~ \frac{1}{2}\,\cosh^{-1} x ~.\]

Solución: Se demostró anteriormente que el área de\(\hypsector\; OAP\) es

\[\frac{a}{2} ~=~ \frac{1}{2}\,\ln\,(x + \sqrt{x^2 - 1}\,)\]por lo que por la fórmula\(\cosh^{-1} x ~=~ \ln\,(x + \sqrt{x^2 - 1}\,)\) el resultado sigue.

Esto tiene sentido, desde\(x=\cosh\,a\) y así\(\cosh^{-1} x = \cosh^{-1} (\cosh\,a) = a\), por definición de una inversa.

Puede usar la fórmula general para la derivada de una función inversa o las fórmulas anteriores para encontrar las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas: Por ejemplo, aquí hay una forma de encontrar la derivada de\(\tanh^{-1} x\):

\[\begin{aligned} \ddx\,(\tanh^{-1} x) ~&=~ \ddx\,\left(\frac{1}{2}\,\ln\,\frac{1+x}{1-x}\right) ~=~ \frac{1}{2}\,\ddx\,(\ln\,(1+x) ~-~ \ln\,(1-x))\

\ [6pt] &=~\ frac {1} {2}\,\ izquierda (\ frac {1} {1+x} -\ frac {-1} {1-x}\ derecha) ~=~ ~=~\ frac {1-x + (1+x)} {2 (1+x) (1-x)} ~=~\ frac {1} {1-x^2}\ comprobación cuádruple\ marca\ end {alineado}\]

[sec7dot5]

Demostrar las identidades para\(\sinh\,(-x)\)\(\cosh\,(-x)\)\(\tanh\,(-x)\),,\(\coth\,(-x)\),\(\sech\,(-x)\), y\(\csch\,(-x)\) en p.232.

Demostrar las identidades para\(\cosh\,(u \pm v)\)\(\tanh\,(u \pm v)\),, y\(\tanh\,2x\) en p.232. Para los Ejercicios 3-15 acreditar la identidad dada. Tus pruebas pueden usar otras identidades. [[1.] ]

2

\((\cosh\,x + \sinh\,x)^r = \cosh\,rx + \sinh\,rx\)para todos\(r\)

\(\sinh\,3x ~=~ 3\,\sinh\,x + 4\,\sinh^{3} x\)

\(\sinh\,A\;\cosh\,B ~=~ \frac{1}{2}\left(\sinh\,(A+B) \;+\; \sinh\,(A-B)\right)\)	\(\tanh^2 x + \sech^2 x ~=~ 1\)
[-4pt] \(\sinh\,A\;\sinh\,B ~=~ \frac{1}{2}\left(\cosh\,(A+B) \;-\; \cosh\,(A-B)\right)\)	\(\coth^2 x - \csch^2 x ~=~ 1\)
[-4pt] \(\cosh\,A\;\cosh\,B ~=~ \frac{1}{2}\left(\cosh\,(A+B) \;+\; \cosh\,(A-B)\right)\)	[exer:coth1overx]\(\coth^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) ~=~ \tanh^{-1} x\)

\(\cosh\,2x ~=~ \cosh^2 x + \sinh^2 x ~=~ 2\,\cosh^2 x - 1 ~=~ 1 + 2\,\sinh^2 x\vphantom{\dfrac{\cosh\,x-1}{2}}\)

\(\sinh^2 \frac{x}{2} ~=~ \dfrac{\cosh\,x \;-\; 1}{2}\)

\(\cosh^2 \frac{x}{2} ~=~ \dfrac{\cosh\,x \;+\; 1}{2}\)

\(\tanh^2 \frac{x}{2} ~=~ \dfrac{\cosh\,x \;-\; 1}{\cosh\,x \;+\; 1}\)

\(\tanh\,\frac{x}{2} ~=~ \dfrac{\cosh\,x \;-\; 1}{\sinh\,x} ~=~ \dfrac{\sinh\,x}{\cosh\,x \;+\; 1}\)

Demostrar las identidades para\(\tanh^{-1} x\)\(\coth^{-1} x\),\(\sech^{-1} x\),, y\(\csch^{-1} x\) en p.235.

Probar las fórmulas derivadas para\(\sinh\,x\)\(\tanh\,x\),\(\coth\,x\),\(\sech\,x\), y\(\csch\,x\) en p.233.

Probar las fórmulas derivadas para\(\sinh^{-1} x\)\(\cosh^{-1} x\),\(\coth^{-1} x\),\(\sech^{-1} x\), y\(\csch^{-1} x\) en p.236.

2

Demuestre eso\(\cosh\,x = O(e^x)\) y\(\sinh\,x = O(e^x)\vphantom{\Ddx}\).

\(\Ddx\,(\tan^{-1} (\sinh\,x)) ~=~ \sech\,x~\)Demuéstralo.

Verificar que la curva\(y=\tanh\,x\) tenga asíntotas\(y=\pm 1\).

[exer:hypdx] Mostrar eso\(\sinh\,\dx = \dx\) y\(\cosh\,\dx=1\) para cualquier infinitesimal\(\dx\). (Sugerencia: Usar\(\tfrac{1}{1+\dx} = 1 - \dx\) desde Ejercicio [exer:1over1plusdx] en la Sección 1.3 junto con\(e^{\dx}=1+\dx\) desde Ejercicio [exer:expdx] en la Sección 2.3.)

Usa Ejercicio [exer:hypdx] y la fórmula de adición\(\sinh\,x\) para mostrar eso\(\ddx\,(\sinh\,x) = \cosh\,x\).

Esbozar la gráfica de\(f(x)=e^{-2x} \sinh\,x\). Encuentra todos los máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y asíntotas verticales u horizontales.

Denotando la velocidad de la luz por\(c\), las transformaciones de Lorentz para dos cuadros inerciales\(S\) y\(S'\) son

\[x' ~=~ \frac{x \;-\; vt}{\sqrt{1 \;-\; (v/c)^2}} \quad\text{and}\quad t' ~=~ \frac{t \;-\; vx/c^2}{\sqrt{1 \;-\; (v/c)^2}}\]donde\(S'\) se mueve con velocidad\(v>0\) paralela al\(x\) -eje de\(S\). Vamos\(v/c = \tanh\,\xi\). Demostrar que

\[x' ~=~ -ct\,\sinh\,\xi ~+~ x\,\cosh\,\xi \quad\text{and}\quad t' ~=~ t\,\cosh\,\xi ~-~ (x/c)\,\sinh\,\xi ~.\]

Evaluar la integral\(I=\int_2^3 \frac{\dx}{1-x^2}\) de dos maneras diferentes:

1. \(\abs{x} > 1\)Utilízalo\(\ddx\,(\coth^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}\) para mostrar eso\(I = \coth^{-1} 3 \;-\; \coth^{-1} 2\).

2. Usa la sustitución\(u = \frac{1}{x}\) en la integral, luego usa\(\ddx\,(\tanh^{-1} x) = \frac{1}{1-x^2}\) for\(\abs{x} < 1\) para mostrar eso\(I = \tanh^{-1} \frac{1}{3} \;-\; \tanh^{-1} \frac{1}{2}\). ¿Esta respuesta es equivalente a la respuesta de la parte (a)? Explique.

[[1.] ]

La solución general de la ecuación diferencial\(y''=a^2y\) es\(y(t) = y_1(t) = c_1e^{at} + c_2e^{-at}\), donde\(a\) es una constante positiva, y\(c_1\) y\(c_2\) son constantes arbitrarias.

1. Verificar que también\(y(t) = y_2(t) = k_1\cosh\,at + k_2\sinh\,at\) sea una solución de\(y''=a^2y\).

2. Demostrar que para cualquiera\(c_1\) y\(c_2\), se\(y_1(t) = c_1e^{at} + c_2e^{-at}\) puede escribir como\(y_1(t) = k_1\cosh\,at + k_2\sinh\,at\) para algunas constantes\(k_1\) y\(k_2\) en términos de\(c_1\) y\(c_2\).

Verificarlo para constantes positivas\(\beta\)\(p\),\(l\) y\(c\) la función

\[\eta(x) ~=~ \frac{\beta x}{p} ~-~ \frac{\beta c\,\sinh\,(px/c)}{p^2 \,\cosh\,(pl/c)}\]es una solución de la ecuación diferencial (relacionada con el desplazamiento de agua en un canal de longitud\(2l\))

\[\frac{d^2 \eta}{\dx^2} ~-~ \frac{p^2}{c^2}\,\eta ~=~ -\frac{\beta xp}{c^2} ~.\]

Para cualquier constante\(a\) y para\(s > \abs{a}\) la transformación\(\mathcal{L}(s)\) de Laplace de la función\(f(t) = \sinh\,at\) es

\[\mathcal{L}(s) ~=~ \int_0^{\infty} e^{-st} \sinh\,at~\dt ~.\]\(\mathcal{L}(s) = \frac{a}{s^2 - a^2}\)Demuéstralo. [[1.] ]

En mecánica cuántica el factor\(e^{\pi/s_0}\) de escalado del trímero Efimov de tres partículas es la solución\(s=s_0 > 0\) de la ecuación

\[s\,\cosh\,\left(\tfrac{\pi s}{2}\right) ~=~ \frac{8\,\sinh\,\left(\tfrac{\pi s}{6}\right)}{\sqrt{3}} ~,\]Use un método numérico para aproximar\(s_0\), luego calcular\(e^{\pi/s_0}\).

Ejemplo Continuando

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): paramag

Agrega texto aquí.

Solución

, el momento magnético total\(M\) se define como

\[M ~=~ 2\pi N\mu\,\int_0^{\pi} e^{\frac{\mu H}{kT}\cos\,\theta}\sin\,\theta\;\cos\,\theta~\dtheta ~.\]

1. Usar el valor de\(n\) de Ejemplo

   Ejemplo\(\PageIndex{1}\): paramag

   Agrega texto aquí.

   Solución

   para mostrar eso\(\frac{M}{n\mu} ~=~ L(a)\), donde\(L(a) = \coth\,a - \frac{1}{a}\) esta la función Langevin y\(a=\frac{\mu H}{kT}\).

2. Demostrar que para\(a=\frac{\mu H}{kT}\)\(\mu_{\text{max}} > 0\),, y\(x = \frac{\mu_{\text{max}} H}{kT}\),

   \[\int_0^{\mu_{\text{max}}} L(a)~d\!\mu ~=~ \frac{1}{x}\,\ln\,\left(\frac{\sinh\,x}{x}\right) ~.\]

La edad\(t_0\) del universo (en años) viene dada por

\[t_0 ~=~ \tau_0 \bigintss_{\,0}^1 \frac{\dx}{\sqrt{\frac{2q_0}{x} + 1 - 2q_0}} ~,\]donde\(\tau_0 = 2 \times 10^{10}\) años es el tiempo del Hubble y\(q_0 \ge 0\) es el parámetro de desaceleración. Para el modelo cosmológico con\(0 < q_0 < \frac{1}{2}\), utilice la sustitución\(x = \frac{2q_0}{1-2q_0}\,\sinh\,\theta\) para mostrar que

\[t_0 ~=~ \tau_0\,\left(\frac{1}{1-2q_0} ~-~ \frac{2q_0}{(1-2q_0)^{3/2}}\,\cosh^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2q_0}}\right)\right) ~.\]¿Qué fracción de\(\tau_0\) es\(t_0\) (es decir, qué es\(\frac{t_0}{\tau_0}\,\)) cuándo\(q_0=\frac{1}{4}\)? (Pista: Usa el Ejercicio 11 o 12.)

Las rotaciones circulares preservan el área de sectores circulares (ver Figura [fig:hyprotate] (a)). Para cualquier constante\(c>0\) la rotación hiperbólica\(\phi: (x,y) \mapsto (cx,y/c)\) mueve puntos a lo largo de la hipérbola\(xy=k\) (for\(k>0\)), como se muestra en la Figura [fig:hiprotato] (b) para\(c>1\). Esta rotación hiperbólica preserva el área de sectores hiperbólicos.

Como ejemplo de por qué esto es cierto, vamos\(a>0\) y consideremos la hipérbola unitaria en la Figura [fig:hyprotate] (c). Entonces:

1. Vamos\(c>0\). Cuando\(c \ne 1\) el mapeo\(\phi: (x,y) \mapsto (cx,y/c)\) no mueve puntos a lo largo de la hipérbola unitaria. Encuentre la fórmula para\(\phi\) en la hipérbola unitaria de la siguiente manera: use las ecuaciones de rotación de la Sección 7.4 para rotar la hipérbola unitaria\(45\Degrees\) a una hipérbola de la forma\(xy=k\), aplique\(\phi\) a un punto genérico en esa hipérbola, luego gire esa hipérbola de\(-45\Degrees\) vuelta a la unidad hipérbola.

2. Utilice la parte (a) para encontrar el valor de\(c\) tal que se\(\phi\) mapee\(A=(1,0)\) a\(P=(\cosh a,\sinh a)\).

3. Deja\(P'\) ser el punto\(P\) al que se\(\phi\) mapea, y deja\(A'=P\). Utilice la parte (b) para encontrar las coordenadas de\(P'\), luego mostrar que los sectores hiperbólicos\(\;\hypsector\;OAP\) y\(\;\hypsector\;OA'P'\) tienen la misma área\(a/2\).