1.1: La paradoja de la flecha

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En su famosa paradoja de la flecha, Zeno sostiene que una flecha no puede moverse ya que en cada instante del tiempo está en reposo. Hay al menos dos problemas lógicos ocultos en esta afirmación.

Cero dividido por cero

En una interpretación, Zenón parece estar diciendo que, dado que en cada instante del tiempo la flecha tiene una posición definida, y por lo tanto no recorre ninguna distancia durante ese instante de tiempo, la velocidad de la flecha es\(0 .\) La pregunta es, si un objeto recorre una distancia 0 en tiempo de duración\(0,\) es la velocidad del objeto\(0 ?\)

Es decir, es

\[\frac{0}{0}=0 ?\]

Para responder a esta pregunta, necesitamos examinar el significado de dividir un número por otro. Si\(a\) y\(b\) son números reales, con\(b \neq 0\), entonces

\[\frac{a}{b}=c\]

significa que

\[ a=b \times c .\]

En particular, para cualquier número real\(b \neq 0\),

\[ \frac{0}{b}=0\]

desde\(b \times 0=0 .\) Tenga en cuenta que si\(a \neq 0,\) entonces

\[ \frac{a}{0}\]

está indefinido ya que no existe un número real\(c\) para el que\(0 \times c\) sea igual a a. decimos que la división de un número distinto de cero por cero no tiene sentido. Por otra parte,

\[ \frac{0}{0}\]

es indefinido porque\(0 \times c=0\) para todos los números\(c .\) reales Por esta razón, decimos que la división de cero por cero es indeterminada.

El primer problema lógico expuesto por la paradoja de la flecha de Zenón es el problema de dar significado determinado a proporciones de cantidades con magnitud cero. Veremos que los infinitesimales nos dan una forma de dar significados definidos a proporciones de cantidades con magnitudes cero, y estas relaciones proporcionarán la base de lo que llamamos el cálculo diferencial.

Sumando ceros

Otra posible interpretación de la paradoja de la flecha es que si en cada instante de tiempo la flecha no se mueve distancia, entonces la distancia total recorrida por la flecha es igual a 0 sumada a sí misma un número grande, o incluso infinito, de veces. Ahora bien, si\(n\) hay algún entero positivo, entonces, por supuesto,

\[ n \times 0=0 .\]

Es decir, cero sumado a sí mismo un número finito de veces es cero. Sin embargo, si un intervalo de tiempo está compuesto por un número infinito de instantes, entonces estamos pidiendo el producto de infinito y cero, es decir,

\[ \infty \times 0 .\]

Al principio se podría pensar que este resultado también debería ser cero; sin embargo, se necesita un razonamiento más cuidadoso.

Tenga en cuenta que un intervalo de tiempo, digamos el intervalo\([0,1]\), está compuesto por una infinidad de instantes sin duración. De ahí que en este caso, el producto de infinito y 0 debe ser\(1,\) la longitud del intervalo. No obstante, el mismo razonamiento aplicado al intervalo nos\([0,2]\) llevaría a pensar que infinito veces 0 es\(2 .\) Efectivamente, como con el problema de cero dividido por\(0,\) infinito veces 0 es indeterminado.

Así, el segundo problema lógico expuesto por la paradoja de la flecha de Zenón es el problema de dar un significado determinado a sumas infinitas de magnitudes cero, o, en los casos más simples, a productos de números infinitesimales e infinitos.

Dado que la división es la operación inversa de multiplicación debemos esperar una estrecha conexión entre estas preguntas. Este es, de hecho, el caso, como veremos cuando discutamos el teorema fundamental del cálculo.