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8.8: Serie Taylor

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En la Sección 8.6, mostramos cómo ciertas funciones pueden ser representadas por una función de serie de potencia. En 8.7, mostramos cómo podemos aproximar funciones con polinomios, dado que se dispone de suficiente información derivada. En esta sección combinamos estos conceptos: si una funciónf(x) es infinitamente diferenciable, mostramos cómo representarla con una función de series de potencia.

Definición 39 series taylor y maclaurin

Dejarf(x) tener derivados de todos los pedidos enx=c.

  1. La serie Taylor def(x), centrado enc esn=0f(n)(c)n!(xc)n.
  2. El ajustec=0 le da a la Serie Maclaurin def(x):n=0f(n)(0)n!xn.

La diferencia entre un polinomio de Taylor y una serie de Taylor es que la primera es un polinomio, que contiene sólo un número finito de términos, mientras que el segundo es una serie, una suma de un conjunto infinito de términos. Al crear el polinomio Taylor de gradon para una funciónf(x) enx=c, necesitábamos evaluarf, y las primerasn derivadas def, atx=c .Al crear la serie Taylor def, ayuda a encontrar un patrón que describa elnth derivado def atx=c .Demostramos esto en los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo8.8.1: The Maclaurin series of f(x)=cosx

Encuentra la serie Maclaurin def(x)=cosx.

Solución
En el Ejemplo 8.7.4 encontramos el8th grado Maclaurin polinomio de.Al hacerlo, creamos la tabla que se muestra en la Figura 8.29.cosx

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Figura 8.29: Una tabla de los derivados def(x)=cosx evaluados atx=0.

Observe cómof(n)(0)=0 cuándon es impar,f(n)(0)=1 cuándon es divisible por4, yf(n)(0)=1 cuándon es par pero no divisible por 4. Así, la serie Maclaurin decosx es

1x22+x44!x66!+x88!

Podemos ir más allá y escribir esto como una suma. Como solo necesitamos los términos donde el poder dex es par, escribimos la serie power en términos dex2n:

n=0(1)nx2n(2n)!.

Ejemplo8.8.2: The Taylor series of f(x)=lnx at x=1

Encuentra la serie Taylor def(x)=lnx centrado enx=1.

Solución
La Figura 8.30 muestra lanth derivada delnx evaluada ax=1 forn=0,,5, junto con una expresión para elnth término:\[f\,^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n-1)!\quad \text{for n1.}\] Recuerde que esto es lo que distingue a las series Taylor de los polinomios Taylor; estamos muy interesados en encontrar un patrón para elnth término, no solo encontrar un conjunto finito de coeficientes para un polinomio.

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Figura 8.30: Derivados delnx evaluados enx=1.

Ya quef(1)=ln1=0, nos saltamos el primer trimestre y comenzamos la suma conn=1, dando la serie Taylor paralnx, centrado enx=1, como

n=1(1)n+1(n1)!1n!(x1)n=n=1(1)n+1(x1)nn.

Es importante señalar que la Definición 39 define una serie de Taylor dada una funciónf(x); sin embargo, aún no podemos afirmar quef(x) sea igual a su serie Taylor. Encontraremos que “la mayoría de las veces” son iguales, pero hay que considerar las condiciones que nos permitan concluir esto.

El teorema 76 afirma que el error entre una funciónf(x) ynth su polinomio de Taylor de gradopn(x) esRn(x), donde

|Rn(x)|max|f(n+1)(z)|(n+1)!|(xc)(n+1)|.

SiRn(x) va a 0 para cada unox en un intervalo aI medida quen se acerca al infinito, concluimos que la función es igual a su expansión de la serie Taylor.

teorema 77 función y taylor series igualdad

Dejarf(x) tener derivados de todos los órdenes enx=c, dejarRn(x) ser como se afirma en el Teorema 76, y dejar queI sea un intervalo en el quef(x) converja la serie Taylor de.

SilimnRn(x)=0 para todosx enI, entonces\[f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f\,^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\ \text{ on I.}\]

Demostramos el uso de este teorema en un ejemplo.

Ejemplo8.8.3: Establishing equality of a function and its Taylor series

Mostrar quef(x)=cosx es igual a su serie Maclaurin, como se encuentra en el Ejemplo 8.8.1, para todosx.

Solución

Dado un valorx, la magnitud del término de errorRn(x) está limitada por

|Rn(x)|max|f(n+1)(z)|(n+1)!|xn+1|.

Ya que todas las derivadas decosx son±sinx o±cosx, cuyas magnitudes están delimitadas por1, podemos afirmar

|Rn(x)|1(n+1)!|xn+1|

lo que implica

|xn+1|(n+1)!Rn(x)|xn+1|(n+1)!.

Para cualquierx,limnxn+1(n+1)!=0. Aplicando el Teorema de Squeeze a la Ecuación\ ref {eq:coseqtaylor}, concluimos quelimnRn(x)=0 para todosx, y por lo tanto

\[\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\quad \text{for all x}.\]

Es natural suponer que una función es igual a su serie Taylor en el intervalo de convergencia de la serie, pero este no es el caso. Para establecer adecuadamente la igualdad, se debe utilizar el Teorema 77. Esto es un poco decepcionante, ya que desarrollamos bellas técnicas para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias, y demostrar queRn(x)0 puede ser engorroso ya que trata de derivadas de alto orden de la función.

Hay buenas noticias. Una funciónf(x) que es igual a su serie Taylor, centrada en cualquier punto del dominio def(x), se dice que es una función analítica, y la mayoría, si no todas, las funciones que encontramos dentro de este curso son funciones analíticas. En términos generales, cualquier función que se cree con funciones elementales (polinomios, exponenciales, funciones trigonométricas, etc.) que no esté definida por partes es probablemente analítica. Para la mayoría de las funciones, asumimos que la función es igual a su serie Taylor en el intervalo de convergencia de la serie y solo usamos el Teorema 77 cuando sospechamos que algo puede no funcionar como se esperaba.

Desarrollamos la serie Taylor para una función más importante, luego damos una tabla de la serie Taylor para una serie de funciones comunes.

Ejemplo8.8.4: The Binomial Series

Encuentra la serie Maclaurin def(x)=(1+x)k,k0.

Solución

Cuandok es un entero positivo, la serie Maclaurin es finita. Por ejemplo, cuandok=4, tenemos

f(x)=(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4.

Los coeficientes dex cuandok es un entero positivo se conocen como los coeficientes binomiales, dando su nombre a la serie que estamos desarrollando.

Cuandok=1/2, tenemosf(x)=1+x .Conocer una representación en serie de esta función daría una manera útil de aproximarse1.3, por ejemplo.

Para desarrollar la serie Maclaurinf(x)=(1+x)k para cualquier valor dek0, consideramos los derivados def evaluados enx=0:

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Así la serie Maclaurin paraf(x)=(1+x)k es

1+k+k(k1)2!+k(k1)(k2)3!++k(k1)(k(n1))n!+

Es importante determinar el intervalo de convergencia de esta serie. Con

an=k(k1)(k(n1))n!xn,

aplicamos la Prueba de Ratio:

\ [\ begin {alinear*}
\ lim\ límites_ {n\ a\ infty}\ frac {|a_ {n+1} |} {|a_n|} &=\ lim\ limits_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {k (k-1)\ cdots (k-n)} {(n+1)!} x^ {n+1}\ derecha|\ Big/\ izquierda|\ frac {k (k-1)\ cdots\ grande (k- (n-1)\ grande)} {n!} x^n\ derecha|\\
&=\ lim\ límites_ {n\ a\ infty}\ izquierda|\ frac {k-n} {n} x\ derecha|\\
&= |x|.
\ end {alinear*}\]

La serie converge absolutamente cuando el límite de la Prueba de Relación es menor a 1; por lo tanto, tenemos convergencia absoluta cuando|x|<1.

Mientras que fuera del alcance de este texto, el intervalo de convergencia depende del valor dek .Cuandok>0, el intervalo de convergencia es[1,1] .Cuando1<k<0, el intervalo de convergencia es[1,1) .Sik1, el intervalo de convergencia es(1,1).

Aprendimos que los polinomios de Taylor ofrecen una manera de aproximar una función “difícil de calcular” con un polinomio. Las series Taylor ofrecen una manera de representar exactamente una función con una serie. Probablemente se pueda ver el uso de una buena aproximación; ¿hay algún uso de representar una función exactamente como una serie?

Si bien no debemos pasar por alto la belleza matemática de la serie Taylor (que es razón suficiente para estudiarlas), también hay usos prácticos. Proporcionan una valiosa herramienta para resolver una variedad de problemas, incluyendo problemas relacionados con la integración y ecuaciones diferenciales.

En Key Idea 32 (en la siguiente página) damos una tabla de la serie Taylor de una serie de funciones comunes. Luego damos un teorema sobre el “álgebra de series de poder”, es decir, cómo podemos combinar series de potencia para crear series de poder de nuevas funciones. Esto nos permite encontrar la serie Taylor de funciones comof(x)=excosx conociendo la serie Taylor deex ycosx.

Antes de investigar la combinación de funciones, considere la serie Taylor para la función arcangente (ver Idea clave 32). Sabiendo esotan1(1)=π/4, podemos utilizar esta serie para aproximar el valor deπ:

\ [\ begin {align}
\ frac {\ pi} 4 &=\ tan^ {-1} (1) = 1-\ frac13+\ frac15-\ frac17+\ frac19-\ cdots\\
\ pi &= 4\ izquierda (1-\ frac13+\ frac15-\ frac17+\ frac19-\ cdots\ derecha)
\ end align {}\]

Desafortunadamente, esta expansión particular deπ converge muy lentamente. Los primeros 100 términosπ se aproximan como3.13159, lo cual no es particularmente bueno.

CLAVE IDEA 32 IMPORTANTES EXPASIONES SERIE

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TEORAMA 78 ALGEBRA DE PODER SERIE

Dejarf(x)=n=0anxn yg(x)=n=0bnxn converger absolutamente para|x|<R, y dejar queh(x) sea continuo.

  1. f(x)±g(x)=n=0(an±bn)xn\ quad para|x|<R.
  2. f(x)g(x)=(n=0anxn)(n=0bnxn)=n=0(a0bn+a1bn1+anb0)xn for |x|<R.
  3. f(h(x))=n=0an(h(x))n for |h(x)|<R.

Ejemplo8.8.5: Combining Taylor series

Escribe los primeros 3 términos de la Serie Taylor paraf(x)=excosx usar Key Idea 32 y Teorema 78.

Solución

Key Idea 32 nos informa que

ex=1+x+x22!+x33!+andcosx=1x22!+x44!+.

Aplicando el Teorema 78, encontramos que

\ (\ begin {align}
e^x\ cos x &=\ left (1+x+\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^3} {3!} +\ cdots\ derecha)\ izquierda (1-\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^4} {4!} +\ cdots\ derecha). \\
\ text {Distribuir} &\ text {la expresión de la mano derecha a través de la izquierda:}\\
&= 1\ left (1-\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^4} {4!} +\ cdots\ derecha) +x\ izquierda (1-\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^4} {4!} +\ cdots\ derecha) +\ frac {x^2} {2!} \ left (1-\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^4} {4!} +\ cdots\ derecha)\\
&+\ frac {x^3} {3!} \ left (1-\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^4} {4!} +\ cdots\ derecha) +\ frac {x^4} {4!} \ left (1-\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^4} {4!} +\ cdots\ right) +\ cdots\\
&\ text {Distribuir de nuevo y recopilar términos similares.} \\
&= 1 + x -\ frac {x^3} {3} -\ frac {x^4} {6} -\ frac {x^5} {30} +\ frac {x^7} {630} +\ cdots
\ end {align}\)

Si bien este proceso es un poco tedioso, es mucho más rápido que evaluar todas las derivadas necesariasexcosx y calcular directamente la serie Taylor.

Debido a que la serie paraex ycosx ambas convergen(,), también lo hace la expansión de la serie paraexcosx.

Ejemplo8.8.6: Creating new Taylor series

Utilice el Teorema 78 para crear series paray=sin(x2) yy=ln(x).

Solución
Dado que

sinx=n=0(1)nx2n+1(2n+1)!=xx33!+x55!x77!+,

simplementex2 sustituimosx en la serie, dando

sin(x2)=n=0(1)n(x2)2n+1(2n+1)!=x2x63!+x105!x147!.

Dado que la serie Taylor parasinx tiene un radio infinito de convergencia, también lo hace la serie Taylor parasin(x2).

La expansión de Taylor paralnx dado en Key Idea 32 se centra enx=1, así que centraremos la serie paraln(x) atx=1 también.
Con

lnx=n=1(1)n+1(x1)nn=(x1)(x1)22+(x1)33,

sustituimosxx para obtener

ln(x)=n=1(1)n+1(x1)nn=(x1)(x1)22+(x1)33.

Si bien esto no es estrictamente una serie de potencias, es una serie que nos permite estudiar laln(x) función.Dado que el intervalo de convergencia delnx es(0,2], y el rango dex on(0,4] es(0,2], el intervalo de convergencia de esta serie de expansión deln(x) es(0,4].

Nota: En el Ejemplo 8.8.6, se podría crear una serie para simplemente reconociéndololn(x)=ln(x1/2)=1/2lnx, yln(x) por lo tanto multiplicando la serie Taylorlnx por por1/2 .Este ejemplo se eligió para demostrar otros aspectos de las series, como el hecho de que el intervalo de convergencia cambia.

Ejemplo8.8.7: Using Taylor series to evaluate definite integrals

Utilice la serie Taylor deex2 para evaluar10ex2 dx.

Solución

Aprendimos, al estudiar Integración Numérica, queex2 no tiene un antiderivado expresable en términos de funciones elementales. Esto significa que cualquier integral definida de esta función debe tener su valor aproximado, y no computado exactamente.

Podemos escribir rápidamente la serie Taylor porex2 usar la serie Taylor deex:

\ [\ begin {alinear*}
e^x &=\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^n} {n!} = 1+x+\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^3} {3!} +\ cdots\\
\ texto {y así} &\\
e^ {-x^2} &=\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {(-x^2) ^n} {n!} \\
&=\ suma_ {n=0} ^\ infty (-1) ^n\ frac {x^ {2n}} {n!} \\
&= 1-x^2+\ frac {x^4} {2!} -\ frac {x^6} {3!} +\ cdots.
\ end {alinear*}\]

Utilizamos el Teorema 75 para integrar:

ex2 dx=C+xx33+x552!x773!++(1)nx2n+1(2n+1)n!+

Esta es la antiderivada deex2; si bien podemos escribirla como una serie, no podemos escribirla en términos de funciones elementales. Podemos evaluar la integral definida10ex2 dx usando este antiderivado; sustituyendo 1 y 0 porx y restando da

10ex2 dx=113+152!173!+194!.

Sumando los 5 términos mostrados anteriormente dan la aproximación de0.74749. Dado que se trata de una serie alterna, podemos utilizar el Teorema de Aproximación de Serie Alternante, (Teorema 71), para determinar qué tan precisa es esta aproximación. El siguiente término de la serie es1/(115!)0.00075758 .Así sabemos que nuestra aproximación está dentro0.00075758 del valor real de la integral. Esto es posiblemente mucho menos trabajo que usar la Regla de Simpson para aproximar el valor de la integral.

Ejemplo8.8.8: Using Taylor series to solve differential equations

Resolver la ecuación diferencialy=2y en términos de una serie de potencias, y utilizar la teoría de la serie Taylor para reconocer la solución en términos de una función elemental.

Solución

Encontramos los primeros 5 términos de la solución de series de potencia a esta ecuación diferencial en el Ejemplo 8.6.5 en la Sección 8.6. Estos son:

a0=1,a1=2,a2=42=2,a3=823=43,a4=16234=23.

Incluimos las expresiones “no simplificadas” para los coeficientes que se encuentran en el Ejemplo 8.6.5 ya que estamos buscando un patrón. Se puede demostrar quean=2n/n! .Así, la solución, escrita como una serie de potencia, es

y=n=02nn!xn=n=0(2x)nn!.

Usando la Idea Clave 32 y el Teorema 78, reconocemosf(x)=e2x:

ex=n=0xnn!e2x=n=0(2x)nn!.

Encontrar un patrón en los coeficientes que coincidan con la expansión en serie de una función conocida, como los mostrados en la Idea Clave 32, puede ser difícil. ¿Y si los coeficientes del ejemplo anterior se dieran en su forma reducida? ¿Cómo podríamos recuperar aún la funcióny=e2x?

Supongamos que todo lo que sabemos es que

a0=1,a1=2,a2=2,a3=43,a4=23.

La definición 39 establece que cada término de la expansión Taylor de una función incluye una.n! Esto nos permite decir que

a2=2=b22!,a3=43=b33!,anda4=23=b44!

para algunos valoresb2,b3 yb4.

Resolviendo por estos valores, vemos esob2=4,b3=8 yb4=16 .Es decir, estamos recuperando el patrón que habíamos visto anteriormente, permitiéndonos escribir

\ [\ comenzar {alinear*}
f (x) =\ suma_ {n=0} ^\ infty a_nx^n &=\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {b_n} {n!} x^n\\
&= 1+2x+\ frac {4} {2!} x^2 +\ frac {8} {3!} x^3+\ frac {16} {4!} x^4 +\ cdots
\ final {alinear*}\]

A partir de aquí es más fácil reconocer que la serie está describiendo una función exponencial.

Hay formas más simples y directas de resolver la ecuación diferencial.y=2y Aplicamos técnicas de series de potencia a esta ecuación para demostrar su utilidad, y pasamos a mostrar cómo a veces somos capaces de recuperar la solución en términos de funciones elementales usando la teoría de Taylor serie. La mayoría de las ecuaciones diferenciales que se enfrentan en situaciones científicas y de ingeniería reales son mucho más complicadas que esta, pero las series de potencia pueden ofrecer una valiosa herramienta para encontrar, o al menos aproximar, la solución.

Este capítulo introdujo secuencias, que son listas ordenadas de números, seguidas de series, en las que sumamos los términos de una secuencia. Rápidamente vimos que tales sumas no siempre suman “infinito”, sino que convergen. Estudiamos pruebas de convergencia, luego terminamos el capítulo con una forma formal de definir funciones a partir de series. Estas “funciones definidas en serie” son una herramienta valiosa para resolver una serie de problemas diferentes a lo largo de la ciencia y la ingeniería.

En los próximos capítulos hay nuevas formas de definir curvas en el plano además de usar funciones de la formay=f(x). Las curvas creadas por estos nuevos métodos pueden ser hermosas, útiles e importantes.

Colaboradores y Atribuciones


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