2.6: ¿Qué es una prueba?

No lo sé — una prueba es una prueba. ¿Qué clase de prueba? Es una prueba. Una prueba es una prueba, y cuando se tiene una buena prueba, es porque está probada.

Jean Chr'etien (n. 1934), Primer Ministro de Canadá

El objetivo de una prueba matemática es proporcionar una explicación completamente convincente de que una deducción es válida. Tiene que escribirse tan cuidadosamente que aguantaría en la corte para siempre, incluso contra tu peor enemigo, en cualquier país del mundo, y sin que se requiera más explicación. Afortunadamente, las reglas de la lógica son aceptadas a nivel mundial, por lo que, si se aplican correctamente, crean un caso irrefutable.

En las secciones anteriores de este capítulo, escribimos nuestras pruebas en formato de dos columnas. Ahora iniciaremos la transición a escribir pruebas en prosa inglesa; nuestras ideas se expresarán en oraciones y párrafos, utilizando la gramática correcta, combinando palabras con la notación matemática apropiada. Una prueba escrita en prosa necesita transmitir la misma información que se encontraría en una prueba de dos columnas, por lo que esencialmente seguirán aplicándose las mismas reglas y estrategias, pero escribir en inglés ordinario brinda más libertad, y a menudo conduce a pruebas más cortas que son más fáciles de leer.

Remarcar\(2.6.1\).

La gran ventaja de las pruebas de dos columnas es que las reglas son muy claras, por lo que no hay ambigüedades que requieran buen juicio para resolverlas. Esto los hace más fáciles para los principiantes que pueden tener dificultades para decidir qué se les permite hacer. La desventaja es que al ser requerido registrar cada detalle de cada paso hace que las pruebas sean muy verbosas, por lo que no pueden ser utilizadas razonablemente en las complicadas situaciones que surgen en el estudio de las matemáticas avanzadas.

Así como al usar el formato de dos columnas, nuestras pruebas serán una secuencia de aseveraciones que conducirán desde las hipótesis hasta la conclusión deseada. Cada aseveración debe tener una justificación lógica basada en aseveraciones que fueron señaladas anteriormente en la prueba. Cualquier subprueba (para\(\Rightarrow\) -introducción o Prueba por Contradicción) formará un párrafo propio dentro de la prueba.

Antes de que comience la prueba, siempre brindamos una declaración del teorema que se probará.

• El enunciado va precedido por la etiqueta “Teorema” (o un sustituto adecuado).
• El enunciado del resultado comienza con una lista de todas las hipótesis. Para dejar claro que son suposiciones, no conclusiones, esta lista de aseveraciones se introduce mediante una palabra o frase apropiada como “Asumir...” o “Supongamos que...”, o “Si...”, o “Dejar...”
• El enunciado del resultado termina con una declaración de la conclusión deseada, introducida por una palabra o frase apropiada como “Entonces...”, o “Por lo tanto,...”

A raíz de la declaración del resultado, iniciamos nuestra prueba en un nuevo párrafo.

• La prueba está etiquetada con la sola palabra: “Prueba”.
• Luego procedemos a dar una serie bien organizada de aseveraciones que lógicamente llevan de nuestras hipótesis a la conclusión deseada.
• Se dibuja un pequeño cuadrado en el margen derecho al final de la prueba para indicar que la prueba está completa.

Por ejemplo, así es como se podría tratar la primera deducción de la misma:

Teorema

Asumir:

1. si el Papa está aquí, entonces la Reina y el Registrador están ambos aquí, y
2. el Papa está aquí.

Entonces el Registrador está aquí.

Prueba

Desde la Asunción 2, sabemos que el Papa está aquí. Por lo tanto, Asunción nos dice que la Reina y el Registrador están ambos aquí. En particular, está aquí el Registrador.

Aquí hay otro ejemplo:

Ejemplo\(2.6.2\).

Hipótesis:

1. Si el Papa está aquí, y la Reina no está aquí, entonces el Registrador está aquí.

Conclusión: Si el Papa está aquí, entonces ya sea la Reina o el Registrador también está aquí.

Solución

Prueba por Contradicción.

Supongamos que la conclusión es falsa. (Esto conducirá a una contradicción.) Esto quiere decir que el Papa está aquí, pero ni la Reina ni el Registrador están aquí. En particular, el Papa está aquí y la Reina no está aquí, por lo que Hipótesis nos dice que el Registrador está aquí. No obstante, ya que ni la Reina ni el Registrador están aquí, sabemos también que el Registrador no está aquí. Por lo tanto, el Registrador está aquí y no aquí. Esto es una contradicción.

Prueba alternativa.

Supongamos que el Papa está aquí. (Deseamos demostrar que ya sea la Reina o el Registrador también están aquí.) De la Ley del Medio Excluido, sabemos que la Reina está aquí o no aquí, y consideramos estas dos posibilidades como casos separados.

Caso 1.
Supongamos que la Reina está aquí. Entonces es cierto que ya sea la Reina o el Registrador están aquí, como se desee.

Caso 2.
Supongamos que la Reina no está aquí. Entonces el Papa está aquí, y la Reina no está aquí. De Hipótesis, concluimos que el Registrador está aquí. Por lo tanto, ya sea la Reina o el Registrador están aquí, según se desee.

Remarcar\(2.6.3\).

Tenga en cuenta que algunas de las reglas del formato de dos columnas están relajadas para las pruebas escritas en prosa:

1. Ya no enumeraremos todas las hipótesis al inicio de nuestra prueba. En cambio, nos referimos a la lista que está en el enunciado del teorema.
2. Ya no haremos una práctica de numerar todas las aseveraciones en nuestras pruebas. Sin embargo, si hay una aseveración particular que se utilizará repetidamente, podemos etiquetarla con un número para facilitar la referencia.
3. Por lo general, no citaremos las reglas básicas de por nombre cada vez que se utilicen. No obstante, deberíamos poder justificar cualquier aseveración con una regla, si así se nos llama a hacerlo.

Ejercicio\(2.6.4\).

Traducir ambas pruebas de Ejemplo\(2.6.2\). en formato de dos columnas (usando nuestra clave de simbolización habitual).

Ejercicio\(2.6.5\).

Escribir una prueba de cada uno de estos teoremas en prosa inglesa.

Registrar" label="1stPfInEnglish-Pope->Registrar">1. Registrar">Hipótesis:

1. Si el Papa está aquí, entonces la Reina está aquí.
2. Si la Reina está aquí, entonces el Registrador está aquí.

Conclusión: Si el Papa está aquí, entonces el Registrador está aquí.

2.

Teorema.

Asumir:

1. Si el Papa está aquí, entonces el Registrador está aquí.
2. Si la Reina está aquí, entonces el Espía está aquí.
3. El Papa y la Reina están ambos aquí.

Entonces el Registrador y el Espía están ambos aquí.

3.

Teorema.

Asumir:

1. Si Adam está aquí, entonces Betty está aquí.
2. Si Betty no está aquí, entonces Charlie está aquí.
3. O Adam está aquí, o Charlie no está aquí.

Entonces Betty está aquí.

4.

Teorema.

Asumir:

1. Si Jack y Jill subieron la colina, entonces algo saldrá mal.
2. Si Jack subió la colina, entonces Jill subió la colina.
3. Nada saldrá mal.

Entonces Jack no subió la colina.