2.5: Estrategias de prueba

Estrategias de prueba

Encontrar una prueba es lo mismo que resolver un rompecabezas que te dice una posición inicial y una meta, y da reglas específicas sobre exactamente qué pasos puedes tomar para completar la tarea. En cada paso (de una prueba o un rompecabezas) hay varias opciones de qué hacer, y debes elegir la correcta. No hay una receta sencilla que siempre te diga qué hacer; tener éxito requiere las mismas habilidades que necesitas para resolver un laberinto.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra un camino a través de cada laberinto desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha.

No hay sustituto para la práctica, pero aquí hay algunas sugerencias y estrategias a tener en cuenta a la hora de hacer pruebas.

Trabaja hacia adelante desde lo que tienes. Mira las hipótesis (y cualquier otra afirmación que hayas derivado hasta ahora). Piense en las reglas de eliminación para los principales operadores en estas aseveraciones. Estos te dirán cuáles son tus opciones. Por ejemplo:

• Si tiene\(P \& Q\), puede obtener inmediatamente ambos\(P\) y\(Q\).
• Si tienes ambos\(P\) y\(P \Rightarrow Q\), puedes usar\(\Rightarrow\) -eliminación para obtener\(Q\).
• Si tienes\(P \lor Q\), deberías considerar usar una prueba por casos.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dar un comprobante de dos columnas de la deducción\[\text{$A \Rightarrow (B \& C)$, $A$, \ $\therefore C$}\]

Trabaja hacia atrás desde lo que quieras. El objetivo final es derivar la conclusión. Mira la conclusión y pregunta cuál es la regla de introducción para su principal operador lógico. Esto te da una idea de dónde quieres estar justo antes de la última línea de la prueba. Entonces puedes tratar esta línea como si fuera tu meta; la llamamos subleta porque representa un progreso parcial hacia la meta verdadera. Pregunta qué podrías hacer para derivar la subleta. Por ejemplo:

• Si tu conclusión es\(A\&B\), entonces necesitas encontrar una manera de probar\(A\) y una manera de probar\(B\).
• Si tu conclusión es condicional\(A\Rightarrow B\), planea usar la regla\(\Rightarrow\) -intro. Esto requiere iniciar una subprueba en la que asumas. En la subprueba, se quiere derivar.
• El último de los cuatro laberintos del Ejercicio 2.5.1 es fácil si trabajas hacia atrás desde el final, en lugar de hacia adelante desde el inicio.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dar un comprobante de dos columnas de la deducción\[\text{$(P \lor Q) \Rightarrow (R \& S)$, $(R \lor S) \Rightarrow (P \& Q)$, $\therefore P \Rightarrow Q$}\]

Intente descomponer la prueba en casos. Si parece que necesitas una hipótesis adicional (\(A\)) para probar lo que quieres, intenta considerar dos casos: ya que\(A \lor \lnot A\) es una tautología (“Ley del Medio Excluido”), basta con probarlo\(A\) y\(\lnot A\) cada uno arroja lo deseado conclusión.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

[Pr.basicProofargPQRS-S] Dar un comprobante de dos columnas de la deducción\[\text{$P \Rightarrow Q$, $\lnot P \Rightarrow R$, $(Q \lor R) \Rightarrow S$, $\therefore S$}\]

Busque subobjetivos útiles. Trabajar al revés es una forma de identificar un subobjetivo que valga la pena, pero hay otros. Por ejemplo, si tienes\(A \Rightarrow B\), debes pensar en si puedes obtener de\(A\) alguna manera, para que puedas aplicar\(\Rightarrow\) -eliminación.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

P" label="pr.basicproofargPQRS-R->P">[Pr.basicproofargPQRS-R->P] Dar un comprobante de dos columnas de la deducción\[\text{$(R \lor S) \Rightarrow (P \lor Q)$, $\lnot Q$, \ $\therefore R \Rightarrow P$}\]

Cambia lo que estás viendo. Las reglas de reemplazo a menudo pueden hacerte la vida más fácil; si una prueba parece imposible, prueba algunas sustituciones diferentes. Por ejemplo:

• las Reglas de la Negación deben convertirse en una segunda naturaleza; a menudo pueden transformar una afirmación en una forma más útil.
• Recuerda que cada implicación es lógicamente equivalente a su contrapositiva. El contrapositivo puede ser más fácil de probar como conclusión, y podría ser más útil como hipótesis.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dar un comprobante de dos columnas de la deducción\[\text{$P$, $\lnot (P \& Q)$, $Q \lor R$, \ $\therefore R$ }\]

No olvidemos pruebas por contradicción. Si no encuentras la manera de mostrar algo directamente, intenta asumir su negación, y luego busca una contradicción. Por ejemplo, en lugar de probar\(A \lor B\) directamente, se pueden asumir ambos\(\lnot A\) y\(\lnot B\), lo que es probable que facilite el trabajo.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dar un comprobante de dos columnas de la deducción\[\text{$P \Rightarrow Q$, $Q \Rightarrow \lnot P$, \ $\therefore \lnot P$ }\]

Repita según sea necesario. Después de haber logrado algunos avances, ya sea derivando algunas nuevas aseveraciones o decidiendo una nueva meta que representaría un avance sustancial, vea lo que sugieren las estrategias anteriores en su nueva situación.

Perist. Prueba cosas diferentes. Si un enfoque falla, intente otra cosa. Al resolver un laberinto difícil, debes esperar tener que retroceder varias veces, y lo mismo ocurre al hacer pruebas.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Dar un comprobante de dos columnas de cada una de estas deducciones.

1. \((P \& \lnot Q) \Rightarrow (Q \lor R)\),\(\therefore (P \& \lnot Q) \Rightarrow (R \lor S)\)
2. \(P \Rightarrow (Q \lor R)\),\(Q \Rightarrow \lnot P\),\(R \Rightarrow S\),\(\therefore P \Rightarrow S\)