3.1: La lógica proposicional no es suficiente
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Considera la siguiente deducción:
Merlín es un mago. Todos los magos llevan sombreros graciosos.
Por lo tanto, Merlín lleva un sombrero divertido.
Para simbolizarlo en la Lógica Proposicional, definimos una clave de simbolización:
\(W\): Merlín es un mago.
\(A\): Todos los magos llevan sombreros graciosos.
\(H\): Merlín lleva un sombrero gracioso.
Ahora simbolizamos la deducción:
Hipótesis:
\(W\)
\(A\)
Conclusión:\(H\)
Esto no es válido en la Lógica Proposicional. (Si\(W\) y\(A\) son verdaderas, pero\(H\) es falsa, entonces es obvio que ambas hipótesis son verdaderas, pero la conclusión es falsa). Aquí hay algo muy mal, porque la deducción que se escribió en inglés es claramente válida.
El problema es que simbolizar esta deducción en la Lógica Proposicional deja fuera parte de la estructura importante: La aserción “Todos los magos llevan sombreros graciosos” trata tanto de magos como de usar sombreros, pero la Lógica Proposicional no es capaz de capturar esta información: pierde la conexión entre Merlín siendo un mago y Merlín lleva sombrero. Sin embargo, el problema no es que hayamos cometido un error al tiempo que simbolizamos la deducción; es la mejor simbolización que podemos dar para esta deducción en la Lógica Proposicional.
Para simbolizar adecuadamente esta deducción, necesitamos usar un lenguaje lógico más poderoso. Este lenguaje se llama Lógica de Primer Orden, y sus aserciones se construyen a partir de “predicados” y “cuantificadores”.
Un predicado es una expresión como “_______ lleva un sombrero gracioso”. Esto no es una aseveración por sí sola, porque no es ni verdadera ni falsa hasta que rellenemos el espacio en blanco, para especificar quién es que afirmamos lleva un sombrero gracioso.
Los detalles de esto se explicarán en la Sección\(3.2D\), pero aquí está la idea básica: En Lógica de Primer Orden, representaremos predicados con mayúsculas. Por ejemplo, podríamos dejar que\(H\) signifique “_______ lleva un sombrero gracioso”. Sin embargo, usaremos variables en lugar de espacios en blanco; así que “\(x\)lleva un sombrero gracioso” es un predicado, y podríamos representarlo como\(H(x)\).
Las palabras “todos” y “algunos” son cuantificadores, y tendremos símbolos que los representen. Por ejemplo, “\(\exists\)” significará “Existe algún ______, tal que”. Así, para decir que alguien lleva un sombrero gracioso, podemos escribir\(\exists x ,H(x)\); es decir: Existe alguna\(x\), tal que\(x\) está usando un sombrero gracioso. Los cuantificadores se tratarán en Capítulo\(4\), cuando se explique completamente la Lógica de Primer Orden.
Con predicados y cuantificadores, estaremos hablando de muchas personas (u otras cosas) de una a la vez, en lugar de una a la vez. Por ejemplo, tal vez deseemos hablar de “la gente que lleva sombreros”, o “los mamíferos que ponen huevos”. Estos son ejemplos de conjuntos.