3.2: Conjuntos, subconjuntos y predicados

3.2A. Conjuntos y sus elementos

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de la colección se denominan “elementos” (o “miembros”) del conjunto. Si alguien tiene un conjunto particular en mente, tal vez desee decirle a otras personas cuál es el conjunto. Una buena manera de hacerlo es enumerar sus elementos. La lista necesita estar rodeada con llaves (“\(\{\ \ \}\)”) para indicar que representa un conjunto, en lugar de algún otro tipo de objeto.

Otra Terminología.

En matemáticas, el término colección es sinónimo de “conjunto”.

Ejemplo\(3.2.1\).

1. \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)es el conjunto de números naturales de\(1\) a\(5\).
2. \(\{1,2,3,\ldots,100\}\)es el conjunto de números naturales de\(1\) a\(100\).
3. \(\{\)♣, ♦, ♥, ♠\(\}\)es el conjunto de trajes en una baraja estándar de cartas.

4. El conjunto de provincias en Canadá es\ [\ left\ {\ begin {array} {c}
   \ text {Columbia Británica, Alberta, Saskatchewan, Manitoba,}\\
   \ text {Ontario, Quebec, Terranova y Labrador,}\\
   \ text {Nuevo Brunswick, Isla del Príncipe Eduardo, Nueva Escocia}
   \ end {array}\ derecho\}.\]

Comentario\(3.2.2\).

En la vida cotidiana, cuando tienes un montón de cosas que quieres mantener juntas, podrías buscar una caja para meterlas. (La caja en sí probablemente no tiene valor — sólo te interesan las cosas que hay en la caja.) En matemáticas, debes poner las cosas en un set, no en una caja. Si piensas en un conjunto como una caja de cosas, entonces los elementos del conjunto son las cosas que ves cuando abres la caja.

Ejemplo\(3.2.3\).

1. Si\(A = \{1,2,3\}\), entonces los elementos de\(A\) son los números\(1\),\(2\), y\(3\).
2. Si\(B=\{1,\{2,3\}\}\), entonces los elementos de\(B\) son el número\(1\) y el conjunto\(\{2,3\}\). Es importante señalar que los números\(2\) y no\(3\) son elementos de\(B\).

   1. Para entender esto, puede ayudar considerar la analogía con las casillas: si abrimos la caja\(B\), veremos el número\(1\) y una caja, pero no veremos el número\(2\) ni el número\(3\).
      Contenido de la Caja\(B\) (2 artículos):
      el número “1"
      una caja de números surtidos
      Tendríamos que abrir la caja que está dentro para poder ver esos números extra.\(B\) Entonces\(2\) y no\(3\) son elementos del conjunto\(B\) —son elementos de un conjunto que es un elemento de\(B\).

   2. Como otra ilustración de este mismo fenómeno, supongamos que hacemos una lista de los equipos en un torneo de ajedrez. La lista podría ser:
      1. U de Lethbridge,
      2. U de Alberta,
      3. U de Calgary.

      Y a lo mejor los miembros del equipo de Lethbridge son Alice, Bob y Cindy. Entonces Alice no está en la lista de equipos; es miembro de uno de los equipos de la lista.

Notación\(3.2.4\).

Utilizamos

• “\(\in\)” como abreviatura de “es un elemento de”, y
• “\(\notin\)” como abreviatura de “no es un elemento de”.

Por ejemplo, si\(A = \{1,2,3,4,5\}\), entonces tenemos\(3 \in A\) y\(7 \notin A\), porque\(3\) es un elemento de\(A\), pero no\(7\) es un elemento de\(A\).

Definición\(3.2.5\).

Se puede denotar el conjunto sin elementos\(\{\ \}\). (Es como una caja vacía.) Se llama el conjunto vacío, y aparece tan a menudo que es nombrado por un símbolo especial:\[\varnothing \text { denotes the empty set. }\]

Comentario\(3.2.6\).

Debido a que el conjunto vacío no tiene elementos,\[\text { for all } x \text {, we have } x \notin \varnothing \text {. }\]

Ejercicio\(3.2.7\).

Rellene cada pieza en blanco con\(\in\) o\(\notin\).

1. \(\mathrm{t}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
2. \(\mathrm{i}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
3. \(\mathrm{m}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
4. \(\{\mathrm{t}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
5. \(\{\mathrm{i}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
6. \(\{\mathrm{m}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
7. \(\{\mathrm{t, i}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
8. \(\{\mathrm{m, e}\}_{-}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}\)
9. \(\mathrm{t}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
10. \(\mathrm{i}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
11. \(\mathrm{m}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
12. \(\{\mathrm{t}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
13. \(\{\mathrm{i}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
14. \(\{\mathrm{m}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
15. \(\{\mathrm{t, i}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
16. \(\{\mathrm{m, e}\}_{-}\{\mathrm{t},\{\mathrm{i}\},\{\mathrm{m}, \mathrm{e}\}\}\)
17. \(\varnothing_{-}\varnothing\)
18. \(\varnothing_{-}\{\varnothing\}\)
19. \(\{\varnothing\}_{-}\varnothing\)
20. \(\{\varnothing\}_{-}\{\varnothing\}\)
21. \(\{\varnothing\}_{-}\{\{\varnothing\}\}\)

Dijimos que un conjunto es una colección de objetos, pero esto necesita un poco de elaboración:

1. Un conjunto está determinado por sus elementos. Esto significa que no puede haber dos conjuntos diferentes que tengan exactamente los mismos elementos. (O, en otras palabras, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces los dos conjuntos son iguales). Por ejemplo, supongamos:
   1. \(H\)es el conjunto de estudiantes que obtuvieron una puntuación perfecta en el cuestionario de historia de la semana pasada,
   2. \(M\)es el conjunto de estudiantes que obtuvieron una puntuación perfecta en el cuestionario de matemáticas de la semana pasada.
   3. \(\text { Alice and Bob }\)son los únicos dos estudiantes que obtuvieron una puntuación perfecta en el cuestionario de historia de la semana pasada, y
   4. \(\text { Alice and Bob }\)son también los dos únicos estudiantes que obtuvieron una puntuación perfecta en el cuestionario de matemáticas de la semana pasada.
      Entonces\(H\) y\(M\) tienen exactamente los mismos elementos, así\(H\) y\(M\) son solo nombres diferentes para el mismo conjunto: es decir, ambos representan\(\{\text { Alice, Bob \} }\). Entonces los conjuntos son iguales: tenemos\(H = M\).

Supongamos\(A\) y\(B\) son dos conjuntos.
Nosotros ahve\(A = B\) si y sólo si
por cada\(x\),\(((x \in A) \Leftrightarrow(x \in B)) .\)

2. Un conjunto es una colección desordenada. Esto significa que enumerar los elementos de un conjunto en un orden diferente no da un conjunto diferente. Por ejemplo,\(\{1,2,3\}\) y\(\{1,3,2\}\) son el mismo conjunto. Escribimos\(\{1,2,3\}=\{1,3,2\}\). Ambos son el conjunto cuyos elementos son\(1\),\(2\), y\(3\).
3. Un conjunto es una colección sin repetición. Esto significa que repetir algo en la lista de elementos no cambia el conjunto. Por ejemplo,\(\{1,2,2,3,3\}\) es el mismo conjunto que\(\{1,2,3\}\). Escribimos\(\{1,2,2,3,3\}=\{1,2,3\}\).

Ejercicio\(3.2.8\).

Rellene el espacio en blanco con\(=\) o\(\neq\).

1. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}, \mathrm{e}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{e}\}\)
2. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{e}\}\)
3. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}\)
4. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}\}\)
5. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{m}, \mathrm{i}, \mathrm{i}\}\)
6. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{t}, \mathrm{t}, \mathrm{i}, \mathrm{i}, \mathrm{m}\}\)
7. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{t}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}\}\)
8. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{t}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{i}, \mathrm{i}\}\)
9. \(\{\mathrm{t}, \mathrm{t}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{t}, \mathrm{i}\}\)

Ejercicio\(3.2.9\).

Proporcionar un comprobante de 2 columnas de cada deducción.

1. \((a \in A) \Rightarrow(a \notin B), \quad(b \in B) \Rightarrow(a \in B), \quad \therefore(b \in B) \Rightarrow(a \notin A)\)
2. \((p \in X) \&(q \in X), \quad(p \in X) \Rightarrow((q \notin X) \vee(Y=\varnothing)), \quad \therefore Y=\varnothing .\)

Ejercicio\(3.2.10\).

Escribe tus pruebas en inglés.

1. Asumir:
   1. Si\(p \in H\) y\(q \in H\), entonces\(r \in H\).
   2. \(q \in H\).
      Demuéstralo si\(p \in H\), entonces\(r \in H\).
2. Asumir:
   1. Si\(X \neq \varnothing\), entonces\(a \in Y\).
   2. Si\(X = \varnothing\), entonces\(b \in Y\).
   3. Si cualquiera\(a \in Y\) o\(b \in Y\), entonces\(Y \neq \varnothing\).
      Espectáculo\(Y \neq \varnothing\).

Notación\(3.2.11\).

Es tradicional utilizar:

• letras mayúsculas (como\(A,B,C, X,Y,Z\)) para representar conjuntos, y
• letras minúsculas (como\(a,b,c,x,y,z\)) para representar números y otros objetos que son elementos individuales (o “átomos”), en lugar de conjuntos.

Además, es una buena idea mantener una correspondencia entre las letras mayúsculas y minúsculas: cuando sea factible, utilizar\(a\) para representar un elemento de\(A\) y\(b\) para representar un elemento de\(B\), por ejemplo.

Notación\(3.2.12\).

A algunos conjuntos de números particularmente importantes se les han dado nombres que todo matemático necesita saber:

• \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ... \}\)es el conjunto de números naturales.
  (Advertencia: Algunos libros de texto no consideran\(0\) un número natural.)

• \(\mathbb{N}^{+} = \{1, 2, ... \}\)es el conjunto de números naturales positivos.
• \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -3,-2,-1, 0, 1, 2,3,\ldots \}\)es el conjunto de números enteros. Un número es un número entero si y sólo si es un número natural o el negativo de un número natural.

• \ (\ mathbb {Q} =\ left\ {\ begin {array} {c|c}
  p & p, q\ in\ mathbb {Z}\\
  q\ neq 0
  \ end {array}\ right\}\) es el conjunto de números racionales. (Esta notación significa que un número\(x\) es un elemento de\(\mathbb{Q}\) si y sólo si existen enteros\(p\) y\(q\), con\(q \neq 0\), tal que\(x = p/q\).) Por ejemplo,\(1/2\),\(7/5\), y\(-32/9\) son elementos de\(\mathbb{Q}\).

• \(\mathbb{R}\)es el conjunto de todos los números reales. (Es decir, el conjunto de todos los números que sean positivos o negativos o\(0\). A menos que hayas aprendido sobre “números complejos” o “números imaginarios”, probablemente sea el caso de que todos los números que conoces sean números reales). Por ejemplo,\(\root 3 \of n\) es un número real cuando sea\(n \in \mathbb{Z}\); y\(\sqrt[3]{n}\) es un número real cuando sea\(n \in \mathbb{R}\). (“No se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo”.)

Comentario\(3.2.13\).

Los sets son los objetos más fundamentales en matemáticas. En efecto, los matemáticos modernos consideran que cada objeto en todas partes es un conjunto, pero no vamos a ser tan extremos. A saber, además de conjuntos, consideraremos dos tipos adicionales de objetos: números y pares ordenados. (Se supone que ya tienes mucha experiencia con los números, y sabes cómo lidiar con ellos. Probablemente también hayas visto pares ordenados\((x,y)\), pero sus propiedades básicas serán revisadas en Notación\(6.1.1\).) Las funciones son otra clase muy importante de objetos matemáticos, pero, como se verá en la Sección\(6.2\), podemos pensar en ellas como un tipo particular de conjunto.

3.2B. Cardinalidad

Notación\(3.2.14\).

Usamos\(\#A\) para denotar el número de elementos en el conjunto\(A\). (Así, por ejemplo,\(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{e}, \mathrm{i}, \mathrm{o}, \mathrm{u}\}=5\).) Los matemáticos llaman a\(\#A\) la cardinalidad de\(A\). Esta noción aparentemente simple en realidad tiene algunas implicaciones complicadas, y se discutirá con más detalle en el Capítulo\(9\).

Otra Notación.

Muchos matemáticos usan la notación\(|A|\) en lugar de\(\# A\).

Comentario\(3.2.15\).

Probablemente ya sepas que algunos conjuntos son finitos y algunos (como\(\mathbb{N}\)) son infinitos. Esto lo discutiremos con más detalle en el Capítulo 9. Por ahora, te recordamos que un conjunto\(A\) es finito si se\(A\) pueden contar los elementos de (y la respuesta es algún número\(n\)); es decir, si\(\#A = n\), para algunos\(n \in \mathbb{N}\).

Ejercicio\(3.2.16\).

¿Cuál es la cardinalidad de cada conjunto? (No es necesario que muestres tu trabajo.)

1. \(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}=\)
2. \(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}=\)
3. \(\#\{\mathrm{a},\{\mathrm{b}, \mathrm{c}\}\}=\)
4. \(\#\{\mathrm{a}, \mathrm{a},\{\mathrm{b}, \mathrm{c}\},\{\mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\}\}=\)
5. \(\# \varnothing=\)
6. \(\#\{\varnothing\}=\)

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3.2C. Subconjuntos.

A los estudiantes de geometría se les enseña que cada cuadrado es un rectángulo. Traduciendo esto a los términos de la teoría de conjuntos, podemos decir que si

• \(S\)es el conjunto de todos los cuadrados, y
• \(R\)es el conjunto de todos los rectángulos,

entonces cada elemento del conjunto\(S\) es también un elemento de\(R\). Para abreviar, decimos que\(S\) es un subconjunto de\(R\), y podemos escribir\(S \subset R\).

Definición\(3.2.17\).

Supongamos\(A\) y\(B\) son dos conjuntos. Decimos que\(B\) es un subconjunto de\(A\) iff cada elemento de\(B\) es un elemento de\(A\).

Cuando\(B\) es un subconjunto de\(A\):

• En símbolos, escribimos\(B \subset A\).
• Podemos decir que\(B\) está contenido en\(A\) o que\(A\) contiene\(B\).
• También podemos escribir\(A \supset B\) (y llamar a\(A\) un superconjunto de\(B\)).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

1. \(\{1,2,3\}\)es un subconjunto de\(\{1,2,3,4\}\), porque los elementos de\(\{1,2,3\}\) son\(1\),\(2\), y\(3\), y cada uno de esos números es un elemento de\(\{1,2,3,4\}\).
2. \(\{1,3,5\}\)no es un subconjunto de\(\{1,2,3,4\}\), porque hay un elemento de\(\{1,3,5\}\) (es decir,\(5\)) que no es un elemento de\(\{1,2,3,4\}\).
3. Nosotros tenemos\(\mathbb{N}^{+} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).

Comentario\(3.2.19\).

1. Escribimos\(B \not \subset A\) para denotar que no\(B\) es un subconjunto de\(A\).
2. Tenemos\(B \not \subset A\) iff hay al menos un elemento de\(B\) que no es un elemento de\(A\).

Comentario\(3.2.20\).

1. En el lenguaje de la vida cotidiana, supongamos que alguien te da una caja\(A\) que tiene algunas cosas en ella. Se te permite sacar algunas de las cosas de la caja y ponerlas en una caja nueva\(B\). Pero no se le permite poner nada en\(B\) si no estaba en caja\(A\). Entonces\(B\) será un subconjunto de\(A\).
2. Si decides tomar todas las cosas que estaban en caja\(A\), entonces box\(B\) terminará siendo exactamente lo mismo que\(A\); es decir\(B = A\). Esto ilustra el hecho de que cada conjunto es un subconjunto de sí mismo. \[\text { For every set } A \text {, we have } A \subset A \text {. }\]
3. Si decides no tomar nada de caja\(A\), entonces la caja\(B\) estará vacía. Esto ilustra el hecho importante de que el conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto. \[\text { For every set } A \text {, we have } \varnothing \subset A \text {. }\]

Definición\(3.2.21\).

Supongamos\(A\) y\(B\) son conjuntos. Decimos que\(B\) es un subconjunto apropiado de\(A\) iff\(B \subset A\) y\(B \neq A\).

Otra Notación.

Muchos matemáticos utilizan una notación ligeramente diferente: definen\(A \subset B\) que significa que\(A\) es un subconjunto apropiado de\(B\). Entonces, para decir que\(A\) es un subconjunto de\(B\), escriben\(A \subseteq B\).

Ejercicio\(3.2.22\).

Llene cada pieza en blanco con\(\subset\) o\(\notsubset\), según corresponda.

1. \(\{\mathrm{s}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
2. \(\{\mathrm{o, r}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
3. \(\{\mathrm{n, o, r}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
4. \(\{\mathrm{p, r, o, n, g}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
5. \(\{\mathrm{s, h, o, r, n}\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
6. \(\varnothing_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
7. \(\{\varnothing\}_{\underline{ }}\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}\)
8. \(\{\mathrm{h}, \mathrm{o}, \mathrm{r}, \mathrm{n}, \mathrm{s}\}_{\underline{ }}\varnothing\)

Es intuitivamente claro que un subconjunto de un conjunto no puede tener más elementos que el conjunto original. Es decir:\[\text { If } B \subset A, \text { then } \# B \leq \# A .\]
Vamos a probar este hecho en Ejercicio\(9.1.15(2)\).

En Ejemplo\(4.5.1\), probaremos que dos conjuntos son iguales si y sólo si son subconjuntos el uno del otro. Este es un principio básico que será muy importante en capítulos posteriores cuando estemos haciendo pruebas con sets:\[\text { To show two sets } A \text { and } B \text { are equal, prove } A \subset B \text { and } B \subset A \text {. }\]

Ejercicio\(3.2.23\).

Escriba una prueba de dos columnas para justificar cada afirmación.

1. \(X \subset Y \Rightarrow X \subset Z, X \subset Z \Rightarrow x \in Z, x \notin Z, \quad \therefore X \not \subset Y .\)
2. \((x \in Y) \Rightarrow(X \subset Y),(x \in Y) \vee(Y \subset X), \quad \therefore(X \subset Y) \vee(Y \subset X) .\)

3.2D. Predicados.

Los predicados más simples son cosas que puedes decir sobre un solo objeto; son propiedades de los individuos. Por ejemplo, “\(x\)es un perro” y “\(x\)es un fan de Harry Potter” son ambos predicados. En Lógica de primer orden, simbolizamos predicados con mayúsculas\(A\) a través\(Z\) (con o sin subíndices). Por lo tanto, nuestra clave de simbolización podría incluir:

\(D(x)\):\(x\) es un perro.
\(H(x)\):\(x\) es fan de Harry Potter.

Predicados como estos se llaman de un solo lugar o unario, porque solo hay una variable. Al asignar un valor a esta variable se obtiene una aserción. Por ejemplo, dejar\(x\) = “Lassie” en el primer predicado produce la aserción “Lassie es un perro”. Tenga en cuenta que al traducir aserciones en inglés, la variable no siempre vendrá al inicio de la aserción: “el Louvre posee al menos una acuarela pintada por\(x\)” también es un predicado.

Otros predicados son sobre la relación entre dos cosas. Por ejemplo, en álgebra, tenemos las relaciones “\(x\)es igual a”\(y\), simbolizadas como\(x = y\), y “\(x\)es mayor que”\(y\), simbolizadas como\(x > y\). Se trata de predicados binarios o de dos lugares, porque los valores necesitan ser asignados a dos variables para poder hacer una aserción. Nuestra clave de simbolización podría incluir:

\(x\) \(F\) \(y\): \(x\)es amigo de\(y\).
\(x\) \(L\) \(y\): \(x\)está a la izquierda de\(y\).
\(x\) \(M\) \(y\): \(x\)le debe dinero a\(y\).

En general, podemos tener predicados con tantas variables como necesitemos. Los predicados con\(n\) variables, para algún número\(n\), se denominan\(n\) -place o\(n\) -ary. Sin embargo, en la práctica, los predicados casi siempre tienen solo una o dos variables.

Una clave de simbolización también puede incluir constantes (es decir, los nombres de objetos específicos). Por ejemplo, podríamos tener una clave de simbolización que se vea así:

\(H(x)\):\(x\) to es feliz.
\(S(x)\):\(x\) to es cantar.
\(x\)\(T\)\(y\):\(x\) es enseñar\(y\).
\(g\): Greg
\(m\): Mary
\(v\): Vikki

Esto nos permite simbolizar aseveraciones que utilizan cualquier combinación de estos predicados y términos. Por ejemplo:

aserción	simbolización
Greg está feliz.	\(H(g)\)
Si Mary está cantando, entonces Vikki está feliz.	\(S(m) \Rightarrow H(v)\)
Greg y Mary están cantando.	\(S(g) \& S(m)\)
Si ya sea Greg o Mary están cantando, entonces Vikki no está feliz.	\((S(g) \vee S(m)) \Rightarrow \neg H(v)\)
Mary está enseñando a Greg.	\(m \mathrel{T} g\)
María no está enseñando a Vikki.	\(\neg( m \mathrel{T} v)\)
Vikki está enseñando a Mary o Greg.	\((v \mathrel{T} m) \vee (v \mathrel{T} g)\)
Si Mary está enseñando a Greg, entonces Mary y Vikki están felices.	\((m \mathrel{T} g) \Rightarrow \bigl( H(m) \& H(v) \bigr)\)
O Vikki no está cantando, o no le está enseñando a María.	\(\bigl( \neg S(v) \bigr) \vee \neg (v \mathrel{T} m)\)
Si Mary está cantando, entonces Greg no está enseñando a Vikki.	\(S(m) \Rightarrow \neg (g \mathrel{T} v )\)

Advertencia.

Siempre que se tenga un predicado con dos (o más) variables, es importante tener cuidado con el orden en que ocurren las variables. (Por ejemplo, decir ciertamente no\(x < y\) es lo mismo que decir\(y < x\).) Algunas opciones especiales de predicados son “simétricas”, lo que significa que si el predicado es verdadero con variables en un orden, entonces es cierto para las mismas variables en un orden diferente, pero esto nunca debe asumirse. El orden de las variables siempre debe representar exactamente lo que sabemos.

Ejercicio\(3.2.24\).

Usando la misma clave de simbolización, escribe estas aserciones en inglés usando predicados y conectivos lógicos.

\(x\)\(O\)\(y\):\(x\) es mayor que\(y\).
\(x\)\(F\)\(y\):\(x\) es amigo de\(y\).
\(S\): el conjunto de todos los alumnos.
\(r\): Roger
\(s\): Sam
\(t\): Tess

1. \(r\)\(O\)\(s\)
2. \(t\)\(O\)\(s\)
3. (\(r\)\(F\)\(t\))\(\Rightarrow(t \in S)\)
4. \(((s \in S) \&(r \in S)) \Rightarrow\)(\(s\)\(F\)\(r\))
5. \((t \in S) \vee\)(\(r\)\(O\)\(t\))
6. (\(r\)\(F\)\(s\))\(\Leftrightarrow(t \notin S)\)

Ejercicio\(3.2.25\).

Usando la misma clave de simbolizaiton, escribe estas aserciones en inglés usando predicados y conectivos lógicos.

1. Tess es mayor que Roger.
2. Roger es amigo de Sam.
3. Si Tess es estudiante entonces Tess es amiga de Sam.
4. O Sam es un estudiante, o Roger no es un estudiante.
5. Si Roger es amigo de Sam, entonces Sam es estudiante.
6. Sam es mayor que Roger si y sólo si Roger es estudiante.
7. Si Sam y Roger son estudiantes, entonces Sam no es amigo de Roger.

Ejercicio\(3.2.26\).

Usando la misma clave de simbolización, escriba una prueba de dos columnas para justificar cada una de las siguientes deducciones.

1. \((r \in S) \Rightarrow((r O s) \vee(r \notin S)), \quad \therefore((t \in S) \& \neg(r O s)) \Rightarrow(r \notin S)\)
2. Si o Roger es estudiante, o Tess no es estudiante, entonces Sam es mayor que Tess.
   Si Tess es estudiante, entonces Roger también es estudiante.
   \(\therefore\)Sam es mayor que Tess.

3.2E. Uso de Predicados para Especificar Subconjuntos.

Los subconjuntos surgen en la vida cotidiana cuando solo quieres parte de algo. Por ejemplo, supongamos que estás en una cocina con muchos platos. Si estás lavando platos, entonces no quieres que te den todos los platos, sino solo los que están sucios. En términos matemáticos, no quieres el conjunto de todas las placas, sino solo quieres un subconjunto, las que están sucias. Es decir, si\(P\) representa el conjunto de todas las placas, y\(D\) representa el conjunto de todas las placas sucias, entonces\(D \subset P\).

Este tipo de situación es manejada por la siguiente notación útil:

Supongamos que\(A\) es un conjunto y\(P(x)\) es un predicado.
Entonces\(\{a \in A \mid P(a)\}\) denota
el conjunto de todos los elementos\(a\) de\(A\), tal que\(P(a)\) es cierto.
Es un subconjunto de\(A\).

En el ejemplo anterior, te interesa el subconjunto\[\{p \in P \mid p \text { is dirty }\} ,\]
porque este es el conjunto de placas que están sucias. La notación nos dice que miremos a través de todas las placas adentro\(P\), y verifiquemos cada una para ver si está sucia. Si lo es, lo ponemos en el subconjunto. Si no está sucio, entonces no lo ponemos en el subconjunto.

Ejemplo\(3.2.27\).

1. Supongamos\(B=\{1,2,3, \ldots, 10\}\). Entonces:
   1. \(\{b \in B \mid b \text { is odd }\}=\{1,3,5,7,9\}\).
   2. \(\{b \in B \mid b \text { is even }\}=\{2,4,6,8,10\}\).
   3. \(\{b \in B \mid b \text { is prime }\}=\{2,3,5,7\}\).
   4. \(\left\{b \in B \mid b^{2}-1 \text { is divisible by } 3\right\}=\{1,2,4,5,7,8,10\} \text {. }\)
   5. \(\left\{b \in B \mid(b-5)^{2}>4\right\}=\{1,2,8,9,10\}\).
   6. \(\{b \in B \mid 3 \leq b \leq 8 \text { and } b \text { is even }\}=\{4,6,8\} \text {. }\).
2. Para cualquiera\(n \in \mathbb{N}\), tenemos\(\{i \in \mathbb{N} \mid 1 \leq i \leq n\}=\{1,2,3, \ldots, n\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(A = \{1,2,3,4,5\}\) y\(B = \{1,3,5,7,9\}\). Especifique cada conjunto enumerando sus elementos.

1. \(\{a \in A \mid a \text { is even }\}=\)
2. \(\{b \in B \mid b \text { is even }\}=\)
3. \(\{a \in A \mid a \text { is odd }\}=\)
4. \(\{b \in B \mid b \text { is odd }\}=\)
5. \(\{a \in A \mid a<4\}=\)
6. \(\{b \in B \mid b<4\}=\)
7. \(\left\{a \in A \mid(a-3)^{2}=9\right\}=\)
8. \(\left\{b \in B \mid(b-3)^{2}=9\right\}=\)
9. \(\{a \in A \mid a \in B\}=\)
10. \(\{b \in B \mid b \in A\}=\)
11. \(\{a \in A \mid a \notin B\}=\)
12. \(\{b \in B \mid b \notin A\}=\)
13. \(\{a \in A \mid 2 a \in B\}=\)
14. \(\{b \in B \mid 2 b \in A\}=\)
15. \(\left\{a \in A \mid a^{2} \in B\right\}=\)
16. \(\left\{a \in A \mid a^{2}<0\right\}=\)

Se espera que los estudiantes de matemáticas puedan probar aseveraciones sobre conjuntos y sus subconjuntos. Antes de dar un ejemplo de esto, señalemos que si\(A\) es un conjunto,\(P(x)\) es un predicado, y\[B = \{\, a \in A \mid P(a) \,\} ,\]
entonces la aserción “\(b \in B\)” es lógicamente equivalente a la aserción “”\((b \in A) \& P(b)\). Así, en una prueba:

• si\(b \in B\) se sabe que la aseveración es cierta, entonces también sabemos eso\(b \in A\) y también lo\(P(b)\) somos; y
• si se sabe que las aseveraciones\(b \in A\) y ambas\(P(b)\) son ciertas, entonces también sabemos que eso\(b \in B\) es verdad.

En una prueba\(2\) -columna, la justificación de estas aseveraciones es “definición de\(B\)” o “porque”\(B = \{\, a \in A \mid P(a) \,\}\).

Por supuesto, no todos los conjuntos son llamados\(A\) y\(B\), pero los mismos principios se mantienen para conjuntos nombrados con otras letras.

Ejemplo\(3.2.29\).

Supongamos\(X\) y\(Y\) son conjuntos, y vamos\(Z = \{\, y \in Y \mid y \notin X \,\}\). Demuéstralo si\(z \in Z\), entonces\(z \notin X\).

Solución

Asumir\(z \in Z\). Entonces, a partir de la definición de\(Z\), sabemos\(z \in Y\) y\(z \notin X\). En particular,\(z \notin X\), según se desee.

Ejercicio\(3.2.30\).

1. Asumir\(A=\{d \in D \mid d \text { is hungry }\} .\)
   1. Si eso lo sabemos\(p \in A\), ¿entonces qué sabemos\(p\)?
   2. Si queremos probarlo\(q \in A\), entonces ¿qué necesitamos mostrar?
2. Asumir\(f(x) = x^{2}\) y\(K=\{y \in \mathbb{R} \mid f(y)>2\}\).
   1. Si eso lo sabemos\(s \in K\), ¿entonces qué sabemos\(s\)?
   2. Si queremos probarlo\(t \in K\), entonces ¿qué necesitamos mostrar?
3. Supongamos\(G=\{i \in I \mid M(i)\}\), donde\(M(x)\) es un predicado.
   1. Si eso lo sabemos\(v \in G\), ¿entonces qué sabemos\(v\)?
   2. Si queremos probarlo\(w \in G\), entonces ¿qué necesitamos mostrar?

Ejercicio\(3.2.31\).

Escribe tus pruebas en inglés.

1. Asumir\(A\) y\(B\) son conjuntos, y dejar\(C = \{\, a \in A \mid a \in B\,\}\). Demuéstralo si\(c \in C\), entonces\(c \in B\).
2. Vamos\(A = \{\, x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x = 14\,\}\). Demuéstralo si\(a \in A\), entonces\(a < 10\).

Notación\(3.2.32\).

Al hablar de conjuntos o usar predicados, solemos suponer que se\(\mathcal{U}\) ha acordado un “verso uni del discurso”. Esto significa que se asume que todos los elementos de todos los conjuntos en discusión son miembros de\(\mathcal{U}\). Entonces se\[\{x \mid P(x)\}\]
puede utilizar como abreviatura de\(\{\, x \in \mathcal{U} \mid P(x) \,\}\).

A veces se supone que el universo del discurso se entiende desde el contexto, pero es un concepto importante, y lo mejor es especificarlo para que no haya espacio para la confusión. Por ejemplo, si decimos “Todos son felices”, ¿quién está incluido en esto todos? Por lo general no nos referimos a todos los que están vivos ahora en la Tierra. Ciertamente no nos referimos a todos los que alguna vez estuvieron vivos o que alguna vez vivirán. Nos referimos a algo más modesto: tal vez nos referimos a todos en el edificio, o a todos en la clase, o tal vez nos referimos a todos en la sala.

Especificar un universo de discurso elimina esta ambigüedad. El\(\mathcal{U}\) es el conjunto de cosas de las que estamos hablando. Entonces, si queremos hablar de gente en Lethbridge, definimos como el conjunto de todas las personas en Lethbridge. Escribimos esto al inicio de nuestra clave de simbolización, así:

\(\mathcal{U}\): el conjunto de todas las personas en Lethbridge

Todo lo que sigue abarca el universo del discurso. Ante esto\(\mathcal{U}\), “todos” significa “todos en Lethbridge” y “alguien” significa “alguien en Lethbridge”.

Cada constante nombra a algún miembro de\(\mathcal{U}\), entonces, si\(\mathcal{U}\) es el conjunto de personas en Lethbridge, entonces las constantes Donald, Greg y Mary solo pueden usarse si estas tres personas están todas en Lethbridge. Si queremos hablar de personas en lugares además de Lethbridge, entonces necesitamos especificar un universo de discurso diferente.

Ejemplo\(3.2.33\).

Si\(\mathcal{U}\) es el conjunto de todas las provincias canadienses, entonces\[\{x \mid \text { the English name of } x \text { has three syllables }\}=\{\text { Alberta, New Brunswick }\} \text {. }\]

Comentario\(3.2.34\).

Existe una relación muy estrecha entre conjuntos y predicados unarios. En general:

• A partir de cualquier predicado unario\(P(x)\), podemos definir el conjunto\[\{x \mid P(x)\} .\]
• Por el contrario, a partir de cualquier conjunto\(A\), podemos definir un predicado unario\(P(x)\) para que sea “\(x\)es miembro de”\(A\).

Debido a esto, los conjuntos son más o menos intercambiables con predicados unarios. Por ejemplo, el predicado “\(x\)es un perro” se puede simbolizar de dos maneras muy diferentes:

• Nuestra clave de simbolización podría afirmar que\(D(x)\) significa “\(x\)es un perro”.
• Alternativamente, nuestra clave de simbolización podría dejar\(D\) ser el conjunto de todos los perros. Entonces “\(x\)es un perro” se traduciría como “”\(x \in D\).

Los matemáticos usan conjuntos con mucha más frecuencia que predicados unarios. Veremos en Observación\(4.2.1.\) que esto tiende a facilitar la traducción de declaraciones del inglés a la lógica de primer orden cuando se trata de cuantificadores.