9.4: Hotel Infinity y la Cardinalidad de los Conjuntos Infinitos

La discusión anterior sobre la cardinalidad incluyó el siguiente dato importante que apareció en la Proposición\(9.1.9\):

Dos conjuntos finitos\(A\) y\(B\) tienen la misma cardinalidad si y sólo si hay una biyección de\(A\) a\(B\).

Extender esta propiedad a todos los conjuntos (no solo a los finitos) es la definición de cardinalidad para conjuntos infinitos:

Definición\(9.4.1\).

Dos conjuntos\(A\) y\(B\) tienen la misma cardinalidad si existe una biyección de\(A\) a\(B\).

En lo que resta de este capítulo se desarrollarán dos ideas principales:

1. Muchos conjuntos tienen la misma cardinalidad que\(\mathbb{N}^{+}\). Estos son los conjuntos infinitos más pequeños, y se dice que son contablemente infinitos.
2. No todos los conjuntos son contablemente infinitos: ¡algunos son más infinitos que otros! Se dice que estos conjuntos son incontables.

Comencemos con una discusión informal de algunas de las ideas que están involucradas en la contabilidad, en lugar de mirar la definición oficial de inmediato. Primero, un ejemplo sencillo que involucra conjuntos finitos.

Ejemplo\(9.4.2\).

Supongamos que un hotel tiene n habitaciones, numeradas\(1,2,3, \ldots, n\).

1. Si\(A\) es un grupo turístico de\(n\) personas\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\), entonces el empleado del hotel obviamente no tendrá problemas para asignarle a cada una de las personas una habitación: se\(a_{i}\) puede poner en la habitación\(i\). No quedarán habitaciones vacías.
   
2. Ahora bien, si\(b\) llega otra persona que quiere una habitación, entonces la situación es desesperada. No hay manera de darle una habitación a cada una de estas\(n+ 1\) personas, sin hacer que dos de ellas compartan habitación. En general:
   Si hay más huéspedes que habitaciones de hotel, entonces no todos pueden tener una habitación.
   Esta es una reformulación del Principio Pigeonhole\((9.2.1)\) SS.

Ejemplo\(9.4.3\) (Hotel Infinity).

Consideremos ahora un hotel con infinitamente muchas habitaciones, numeradas\(1,2,3, \ldots\). (Hay una habitación para cada uno\(i \in \mathbb{N}^{+}\).)

1. Si\(A\) es un grupo turístico de\(n\) personas\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\), entonces el empleado del hotel obviamente no tendrá problemas para darle una habitación a cada una de las personas: se\(a_{i}\) puede poner en la habitación\(i\). Quedarán muchas habitaciones vacías.
   
2. Aunque\(A\) sea infinito, en lugar de finito, con personas\(a_{1}, a_{2}, \ldots\), el empleado del hotel puede acomodar a todos ellos, poniendo\(a_{i}\) en habitación\(i\). No quedarán habitaciones vacías.
   
3. Ahora supongamos que, además de este grupo turístico, hay otra persona\(b\) que también quiere una habitación. A pesar de que el hotel ya está lleno, el empleado del hotel puede manejar esta situación con bastante facilidad, desplazando a todos a la habitación contigua, para hacer espacio\(b\). Es decir, el empleado puede poner\[b \text { into room } 1 \text { and } a_{i} \text { in room } i+1 \text {. }\]
   Todos tendrán su propia habitación.
   
4. La misma idea funciona, aunque, en lugar de una sola persona, hay todo un grupo\(B\) de\(n\) personas\(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\) que quieren habitaciones. El empleado puede poner\[b_{j} \text { in room } j, \quad \text { and } \quad a_{i} \text { in room } i+n \text {. }\]
   
5. Puede parecer que habría un problema si el segundo grupo se\(B\) compone de infinitamente muchas personas\(b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots\), pero un empleado de hotel inteligente puede acomodar incluso esta situación. Tenga en cuenta que hay infinitamente muchas habitaciones impares, por lo que todas se\(A\) pueden poner en esas habitaciones, y también hay infinitamente muchas habitaciones pares, por lo que todas se\(B\) pueden poner ahí. Más precisamente, el empleado puede poner\[a_{i} \text { in room } 2 i-1, \quad \text { and } \quad b_{j} \text { in room } 2 j \text {. }\]
   
6. Incluso si hay varios de estos grupos turísticos contablemente infinitos, no solo 2 de ellos, todos pueden ser acomodados. Es decir, supongamos que hay grupos\(n\) turísticos\(A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots, A_{n}\), y hacer una tabla (o matriz) con filas\(n\) infinitamente largas que enumere los elementos de\(A_{i}\) en la fila\(i\) th. Es decir, si\(a_{i, 1}, a_{i, 2}, a_{i, 3}, \ldots\) es una lista de las personas en\(A_{i}\), entonces la tabla se ve como:
   \ begin {array} {ccccccc}
   A_ {1}: & a_ {1,1} & a_ {1,2} & a_ {1,3} & a_ {1,4} & a_ {1,5} &\ cdots\\
   A_ {2}: & a_ {2,1} & a_ {2,2} & a_ {2,3} & a_ {2,4} & a_ {2,5} &\ cdots\\
   A_ {3}: & a_ {3,1} & a_ {3,2} & a_ {3,3} & a_ {3,4} & a_ {3,5} &\ cdots\\ vdots &
   \ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
   A_ {n}: & a_ {n, 1} & a _ {n, 2} & a_ {n, 3} & a_ {n, 4} & a_ {n, 5} &\ cdots
   \ end {array}

Podemos asignar habitaciones\(1,2,3, \ldots\) a las entradas de esta tabla contando hacia atrás la 1ª columna (de 1 a\(n\)), luego la 2da columna (comenzando en\(n + 1\)), luego la 3ª columna (continuando desde donde la dejamos después de la 2da columna), etc., como se indica aquí:\ [\ begin {array} {cccccc}
1 & n+1 y 2 n+1 y 3 n+1 y 4 n+1 &\ cdots\\
a_ {1,1} & a_ {1,2} & a_ {1,3} & a_ {1,4} & a_ {1,5} &\
\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ cdots\\
2 & n+2 y 2 n+2 y 3 n+2 y 4 n +2 &\ cdots\\
a_ {2,1} & a_ {2,2} & a_ {2,3} & a_ {2,4} & a_ {2,5} &\\
\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ cdots\\
3 & n+3 & 2 n+3 & 3 n+3 & 4 n+3 &\ cdots\
a _ {3,1} & a_ {3,2} & a_ {3,3} & a_ {3,4} & a_ {3,5} &\\\ flecha abajo &
\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ cdots\\ vdots &\ vdots &
\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\ vdots\
\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ cdots\\
n & 2 n & 3 n & 4 n & 5 n &\ cdots\\
a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & a_ {n, 3} & a_ {n, 4} & a_ {n, 5} &
\ end {array}\]

Esto asigna un número de habitación diferente a cada una de las personas, por lo que cada uno tiene su propia habitación.

Observaciones.

1. Otra forma para que el empleado del hotel encuentre esta solución es señalar que hay infinitamente muchos números que son congruentes al\(i\) módulo\(n\), por lo que todos se\(A_{i}\) pueden poner en esas habitaciones.
2. Se puede ver que el huésped\(a_{i,j}\) está asignado a habitación\(i+ (j −1)n\), pero no tenemos necesidad de esta fórmula.

7. Yendo más allá, aunque hubiera infinitamente muchos grupos turísticos infinitos\(A_{1}, A_{2}, \ldots\), todos podrían acomodarse. (Suponemos que cada grupo turístico es contablemente infinito, y que el número de grupos es contablemente infinito). Para ver esto, comience por considerar una tabla (o matriz) infinitamente grande que enumere los elementos de\(A_{i}\) en la fila\(i\) th:\ [\ begin {array} {ccccccc}
   A_ {1}: & a_ {1,1} & a_ {1,2} & a_ {1,3} & a_ {1,4} & a_ {1,5} &\ cdots\\
   A_ {2}: & a_ {2,1} & a_ {2,2} & a_ {2,3} & a_ {2,4} & a_ {2,5} &\ cdots\\
   A_ {3}: & a_ {3,1} & a_ {3,2} & a_ {3,3} & a_ {3,4} & a_ {3,5} &\ cdots\\
   A_ {4}: & a_ {4,1} & a_ {4,2} & a_ {4,3} y a_ {4,4} y a_ {4,5} y\ cdots\\
   A_ {5}: & a_ {5,1} & a_ {5,2} & a_ {5,3} & a_ {5,4} & a_ {5,5} &\ cdots\\ vdots &
   \ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ ddots &\ ddots
   \ end {array}\]
   Podemos asignar habitaciones\(1,2,3, \ldots\) a las entradas de esta tabla de la siguiente manera:
   • Comienza con 1 en la esquina superior izquierda.
   • Después coloca 2 en la parte superior de la segunda columna y mueve diagonalmente (hacia abajo y hacia la izquierda) para colocar 3.
   • Después coloca 4 en la parte superior de la tercera columna, y mueve diagonalmente (hacia abajo y hacia la izquierda) para colocar 5 y 6.
   • Luego coloque el siguiente número (es decir, 7) en el primer punto abierto de la fila superior (es decir, en la parte superior de la cuarta columna), y muévase diagonalmente (hacia abajo y hacia la izquierda) para colocar los siguientes números (es decir, 8, 9 y 10), hasta que se coloque un número (a saber, 10) en la primera columna.
   • Continúa moviéndote al primer punto abierto en la fila superior, y repitiendo infinitamente.
     

No se omiten entradas de la tabla de la numeración, y no se repiten los números de habitación, por lo que cada huésped tiene su propia habitación.

OBSERVACIÓN

Se puede demostrar que el huésped\(a_{i,j}\) se pone en habitación (i+j−1 2) + i, pero no tenemos necesidad de esta fórmula.

Podría parecer que Hotel Infinity podría dar cabida a cada grupo de turistas, pero ese no es el caso. Por ejemplo, veremos en Sección\(9.6\) que si todos los números reales quieren habitaciones en el hotel, entonces algunos de ellos tendrán que compartir. En otras palabras, el conjunto\(\mathbb{R}\) de números reales es incontable.

OTRA TERMINOLOGÍA.

A Hotel Infinity se le suele llamar “Hilbert's Hotel”, en honor al matemático alemán David Hilbert (1862-1943), quien aparentemente fue el primero en hablar de tal hotel (en conferencias en Alemania en 1924).