3.1: Matemáticas y pruebas

La actividad principal de los matemáticos de investigación es probar afirmaciones matemáticas. Dependiendo de la profundidad de la reivindicación, la relación de la reivindicación con otras reivindicaciones matemáticas, y varios otros factores, una afirmación matemática que ha sido probada generalmente se denomina teorema, proposición, corolario o lema. Una afirmación matemática que no ha sido probada, pero que se espera que sea cierta, comúnmente se llama conjetura. Una afirmación que es aceptada como punto de partida para argumentos sin ser probada se llama axioma.

Algunos resultados matemáticos son tan fundamentales, profundos, difíciles, sorprendentes o de otra manera dignos de mención que se les nombra. Parte de su iniciación como miembro de la comunidad de matemáticos es familiarizarse con algunas de estas declaraciones nombradas -y probaremos algunas de ellas en este libro-.

Es probable que la mayor parte de las matemáticas que has estudiado haya sido la aplicación de teoremas para derivar soluciones de problemas relativamente concretos. Aquí comenzamos a aprender a probar teoremas. La mayoría de los estudiantes encuentran muy desafiante la transición de las matemáticas computacionales a las pruebas matemáticas.

¿Qué es una prueba matemática?

La naturaleza de una prueba matemática depende del contexto. Existe una noción formal de prueba matemática:

Una secuencia finita de declaraciones matemáticas formales tal que cada declaración

• es un axioma o suposición, o

• sigue por reglas formales de deducción lógica de declaraciones anteriores en la secuencia.

La mayoría de los matemáticos no piensan en las pruebas matemáticas como pruebas matemáticas formales, y prácticamente ningún matemático escribe pruebas matemáticas formales. Esto se debe a que una prueba formal es algo irremediablemente engorroso, y generalmente está fuera del alcance de la capacidad humana, incluso para los enunciados matemáticos más elementales. Más bien, los matemáticos escriben pruebas que son secuencias de declaraciones en una combinación de lenguaje natural y símbolos matemáticos formales (intercalados con diagramas, preguntas, referencias y otros dispositivos que están destinados a ayudar al lector a comprender la prueba) que se puede considerar como representando un argumento puramente formal. Una buena definición práctica de una prueba matemática es:

Un argumento a favor de una afirmación matemática que convencerá a la preponderancia de matemáticos conocedores de la verdad de la afirmación matemática.

Esta definición es algo imprecisa, y los matemáticos pueden estar en desacuerdo sobre si un argumento es una prueba, particularmente para argumentos extremadamente difíciles o profundos. No obstante, para prácticamente todos los argumentos matemáticos, después de algún tiempo para una cuidadosa consideración, la comunidad matemática llega a un consenso unánime sobre si es una prueba.

La noción de prueba matemática para el estudiante es similar a la idea general de una prueba matemática. Las diferencias se deben al tipo de declaración que el estudiante está demostrando, y las razones para solicitar que el estudiante acredite la declaración. Las declaraciones que estarás demostrando son conocidas por los matemáticos profesionales o pueden ser probadas con relativamente poco esfuerzo por tus instructores. Claramente las declaraciones que estarás demostrando requieren condiciones diferentes para una prueba satisfactoria a las señaladas anteriormente para el matemático profesional. Definamos un argumento exitoso por parte del alumno de la siguiente manera: Un argumento para una afirmación matemática que

• el instructor puede entender

• el instructor no puede refutar

• utiliza únicamente supuestos que el instructor considere admisibles.

Obsérvese que refutar un argumento no es lo mismo que refutar la pretensión original. La frase “El cuadrado de cada número real no es negativo porque todos los números reales no son negativos”. es una prueba falsa de una afirmación verdadera. La frase “El cuadrado de cada número real no es negativo porque todos los triángulos tienen tres lados”. falla la primera prueba: si bien ambas afirmaciones son verdaderas, su instructor no verá cómo la primera se desprende de la segunda.

En este libro, las soluciones a los problemas serán una exposición en lenguaje natural potenciada por expresiones matemáticas. Se espera que el alumno aprenda las convenciones de gramática y argumentación matemática, y las use. Como la mayoría de las convenciones, éstas suelen estar determinadas por la tradición o el precedente. Puede ser bastante difícil, inicialmente, determinar si tu exposición matemática cumple con los estándares de tu instructor. La práctica, con la retroalimentación de un lector con experiencia en lectura matemática, es la mejor manera de desarrollar buenas habilidades de escritura de prueba. Recuerde, los lectores de matemáticas están bastante impacientes por tratar de descifrar lo que quiere decir el autor; las matemáticas son lo suficientemente desafiantes cuando el autor escribe precisamente lo que pretende. La mayor parte de la carga de la comunicación recae en el autor de una prueba matemática, no en el lector. Una prueba puede ser lógicamente correcta, pero tan difícil de seguir que es inaceptable para tu instructor.

¿Por qué pruebas?

¿Por qué las pruebas son el medio primario de las matemáticas? Los matemáticos dependen de las pruebas para la certeza y la explicación. Una vez que una prueba es aceptada por la comunidad matemática, es prácticamente inaudito que el resultado sea posteriormente refutado. Esto no siempre fue así: en el\(19^{\text {th }}\) siglo hubo serias disputas sobre si los resultados realmente se habían probado o no (ver Sección\(5.3\) para un ejemplo, y el libro [4] para un tratamiento muy extenso del desarrollo del rigor en el razonamiento matemático). Esto llevó a nuestra noción moderna de un argumento matemático “riguroso”. Si bien se podría argumentar que es posible que en el\(21^{\text {st }}\) siglo un nuevo estándar de rigor rechace lo que actualmente consideramos como pruebas, nuestras ideas actuales se han mantenido estables durante más de un siglo, y la mayoría de los matemáticos (incluidos los autores de este libro) no esperan que haya un cambio filosófico.

Para resultados muy complicados, escribir una prueba detallada ayuda al autor a convencerse a sí mismo de la verdad de la afirmación. Después de que un matemático se haya topado con la idea clave detrás de un argumento, queda mucho trabajo para desarrollar los detalles del argumento. Muchas ideas prometedoras fracasan ya que el autor intenta escribir un argumento detallado basado en la idea. Finalmente, las pruebas a menudo proporcionan una visión más profunda del resultado y los objetos matemáticos que son objeto de la prueba. En efecto, incluso pruebas muy inteligentes que no proporcionan conocimientos matemáticos se mantienen en menor consideración, por algunos, que los argumentos que dilucidan el tema.

Las pruebas matemáticas están fuertemente relacionadas con las pruebas formales en un sentido puramente lógico. Se supone que la existencia de una prueba matemática informal es evidencia abrumadora de la existencia de una prueba matemática formal. Si no está claro que la prueba informal pueda concebiblemente interpretarse en un argumento formal, es dudoso que el argumento informal sea aceptado por la comunidad matemática. En consecuencia, los argumentos matemáticos tienen una estructura lógica subyacente transparente.

Por esta razón comenzaremos nuestra discusión sobre las pruebas matemáticas con una breve discusión de la lógica proposicional. A pesar de su abstracción, el tema es sencillo, y la mayoría de las afirmaciones de esta sección pueden confirmarse con un pensamiento cuidadoso y paciente.