6.6: Ejercicios

EJERCICIO 6.1. Dejar\(f: X \mapsto Y\) y\(g: Y \mapsto Z\). Demostrar que\[g \circ f: X \rightarrow Z\] es una bijección.

EJERCICIO 6.2. Demostrar que la equinumerosidad es una relación de equivalencia.

EJERCICIO 6.3. Demostrar que la relación en los sets\(\preceq\) es reflexiva y transitiva. EJERCICIO 6.4. En la prueba del Teorema de Schröder-Bernstein, definir una función\[G(x)=\left\{\begin{array}{clc} g^{-1}(x) & \text { if } & x \in X_{i} \\ f(x) & \text { if } & x \in X_{e} \\ g^{-1}(x) & \text { if } & X_{o} \end{array}\right.\] Demostrar eso\(G: X \mapsto Y\).

EJERCICIO 6.5. Vamos\(n \in \mathbb{N}\). Probar que\[|P(\ulcorner n\urcorner)|=2^{n} .\] EJERCICIO 6.6. Vamos\(X=\{0,1,2\}\). Anota alguna función\(f\):\(X \rightarrow P(X)\). Para este particular\(f\), ¿cuál es el conjunto\(Y\) del Teorema 6.7?

EJERCICIO 6.7. Dejar\(X\) ser un conjunto y definir una secuencia de conjuntos\(\left\langle X_{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\rangle\) por\[X_{0}=X\] y\[X_{n+1}=P\left(X_{n}\right) .\] Let\(Y=\bigcup_{n=0}^{\infty} X_{n}\). Prueba\[(\forall n \in \mathbb{N})\left|X_{n}\right|<|Y| .\] EJERCICIO 6.8. Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos finitos. Probar que\[\left|X^{Y}\right|=|X|^{|Y|} \text {. }\] EJERCICIO 6.9. Demostrar Proposición 6.8.

EJERCICIO 6.10. Let\(f: \mathbb{N} \rightarrow\ulcorner 2\urcorner^{\mathbb{N}}\) y para\(i, j \in N^{+}\)\[a_{i j}=(f(i))_{j} .\] (Es decir,\(a_{i j}\) es el\(j^{t h}\) término de la\(i^{t h}\) secuencia.) Déjese\(s\) ser la secuencia “diagonal” Eso lo\[s=\left\langle 1-a_{n n} \mid n \in N^{+}\right\rangle .\] sabemos\(s \notin f[\mathbb{N}]\). Si\(F:\ulcorner 2\urcorner^{\mathbb{N}} \mapsto P(\mathbb{N})\) es la biyección en la Proposición 6.8, entonces\(F \circ f: \mathbb{N} \rightarrow P(\mathbb{N})\). Demostrar que ese\(F(s)\) es el conjunto “diagonal” de Teorema\(6.7\) (donde\(X=\mathbb{N}\), y\(F \circ f\) es la enumeración de subconjuntos de\(\mathbb{N})\), y por lo tanto eso\(F(s) \notin(F \circ f)[\mathbb{N}]\). EJERCICIO 6.11. Demostrar que si\(X \subseteq Y\) y\(X\) es incontable, entonces\(Y\) es incontable.

EJERCICIO 6.12. Dejar\(X\) ser un conjunto incontable,\(Y\) ser un conjunto contable y\(f: X \rightarrow Y\). Demostrar que algún elemento de\(Y\) tiene una preimagen incontable.

EJERCICIO 6.13. Completar el comprobante de la Proposición 6.15.

EJERCICIO 6.14. Definir una bijección explícita de\(\mathbb{N}\) a\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 6.15. \(|\mathbb{K} \backslash \mathbb{Q}|=\aleph_{0}\)Demuéstralo.

EJERCICIO 6.16. Demostrar que\[e=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\] es irracional. (Pista: Argumentar por contradicción. ¡Asumir\(e=\frac{p}{q}\) y multiplicar ambos lados por\(q\)!. Reorganice la ecuación para obtener un entero igual a una suma infinita de números racionales que converja a un número en el intervalo abierto)\((0,1)\).

Comentario: Esto también fue el Ejercicio 3.32. ¿Ahora es más fácil?

EJERCICIO 6.17. Supongamos que\(a, b, c, d \in \mathbb{R}, a<b\) y\(c<d\). Demostrar

a) El intervalo abierto\((a, b)\) es biyectivo con el intervalo abierto\((c, d)\).

b) El intervalo cerrado\([a, b]\) es biyectiva con el intervalo cerrado\([c, d]\).

c) El intervalo abierto\((0,1)\) es biyectiva con el intervalo cerrado\([0,1]\).

d) El intervalo abierto\((a, b)\) es biyectiva con el intervalo cerrado\([c, d]\).

e)\(|[0,1]|=|\mathbb{R}|\).

EJERCICIO 6.18. Construir bijecciones explícitas para cada uno de los pares de conjuntos en el Ejercicio 6.17.

EJERCICIO 6.19. \(f(x)\)Sea un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros, y supongamos que\(\alpha \in \mathbb{R}\) es trascendental. Demostrar que\(f(\alpha)\) es trascendental. EJERCICIO 6.20. \(F: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R}\)Sea definido por: Si\(x \in \mathbb{K}, F(x)\) es el grado más bajo de un polinomio con coeficientes enteros para el cual\(x\) es una raíz. ¿Está\(F\) bien definido?

EJERCICIO\(6.21\). Dejar\(a \in \mathbb{R}\) ser una raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Demostrar que\(a\) es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros, y por lo tanto es un número algebraico.

EJERCICIO 6.22. Para cada uno de los siguientes conjuntos, indica y prueba si es biyectiva con\(\mathbb{N}, P(\mathbb{N})\) o es mayor que\(P(\mathbb{N})\) (con respecto a la relación\(\prec\)):

a) El conjunto de subconjuntos finitos de\(\mathbb{N}\)

b) El conjunto de todas las permutaciones de conjuntos finitos de números naturales

c) El conjunto de secuencias finitas de números naturales

d) El conjunto de secuencias finitas de números enteros

e) El conjunto de secuencias finitas de números algebraicos

f) El conjunto de secuencias finitas de números reales

g) El conjunto de secuencias infinitas de números naturales

h) El conjunto de secuencias infinitas de números reales

i) Subconjuntos contables de\(\mathbb{R}\).

h)\(\mathbb{N}^{\mathbb{R}}\)

k)\(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\).

Puedes usar el hecho de que\(|\mathbb{R}|=2^{\aleph_{0}}\).

EJERCICIO 6.23. \(\left|\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\right| \geq|P(\mathbb{R})|\)Demuéstralo.