8.11: Ejercicios

EJERCICIO 8.1. Dejar\(S\) ser la función sucesora en la Definición 8.1. Demostrar que\[S(\emptyset) \neq \emptyset .\] Probarlo para cualquier conjunto\(X\),\[S(X) \neq X .\] EJERCICIO 8.2. Demostrar que ningún subconjunto apropiado de\(\mathbf{N}\) (ver ecuación 8.1) es inductivo.

EJERCICIO 8.3. Dejar\(\mathcal{F}=\left\{X_{\alpha} \mid \alpha \in Y\right\}\) ser una familia de conjuntos inductivos indexados por\(Y\). Demostrar que\[\bigcap_{\alpha \in Y} X_{\alpha}\] es inductivo.

EJERCICIO 8.4. Demostrar que la suma y multiplicación en\(\mathbb{N}\) (como se define formalmente en la Sección 8.1) son asociativas, conmutativas y distributivas.

EJERCICIO 8.5. Demostrar que la relación\(\leq\) definida\(\mathbb{N}\) en Sección\(8.1\) es un ordenamiento lineal de\(\mathbb{N}\).

EJERCICIO 8.6. Demostrar que la suma y multiplicación en\(\mathbb{Z}\) (como se define formalmente en la Sección 8.2) son asociativas, conmutativas y distributivas.

EJERCICIO 8.7. Demostrar que la relación\(\leq\) definida\(\mathbb{Z}\) en Sección\(8.2\) es un ordenamiento lineal de\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 8.8. Demostrar que\(\leq\) es un buen ordenamiento de\(\mathbb{N}\) pero no de\(\mathbb{Z}\) (utilizando la definición formal de la relación).

EJERCICIO 8.9. Demostrar que la suma y multiplicación en\(\mathbb{Z}\) y la relación\(\leq\) sobre\(\mathbb{Z}\) extiende las operaciones y la relación sobre\(\mathbb{N}\). Dejar\(I: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}\) ser definido por\[I(n)=[\langle n, 0\rangle] .\] Probar que\(I\) es una inyección y eso para todos\(m, n \in \mathbb{N}\),\[I(m+n)=I(m)+I(n),\]\[I(m \cdot n)=I(m) \cdot I(n)\] y\[m \leq n \Rightarrow I(m) \leq I(n)\] Tenga en cuenta que las operaciones en los lados izquierdos de las ecuaciones \(8.24\)y\(8.25\) se definen en\(\mathbb{N}\) y en el lado derecho se definen en\(\mathbb{Z}\). De igual manera, el antecedente de enunciado\(8.26\) se define en\(\mathbb{N}\) y la consecuencia se define en\(\mathbb{Z}\).

EJERCICIO 8.10. Demostrar que la suma y la multiplicación\(\mathbb{Q}\) (como se define formalmente en la Sección 8.3) son asociativas, conmutativas y distributivas.

EJERCICIO 8.11. Demostrar que la relación\(\leq\) definida\(\mathbb{Q}\) en Sección\(8.3\) es un ordenamiento lineal de\(\mathbb{Q}\).

EJERCICIO 8.12. Demostrar que la suma y multiplicación\(\mathbb{Q}\) y la relación\(\leq\) sobre\(\mathbb{Q}\) extiende las operaciones y la relación sobre\(\mathbb{Q}\). Dejar\(I: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q}\) ser definido por\[I(a)=[\langle a, 1\rangle] .\] Probar que\(I\) es una inyección y eso para todos\(a, b \in \mathbb{Z}\),\[\begin{gathered} I(a+b)=I(a)+I(b) \\ I(a \cdot b)=I(a) \cdot I(b) \end{gathered}\] y\[a \leq b \Rightarrow I(a) \leq I(b)\] Tenga en cuenta que las operaciones en los lados izquierdos de las ecuaciones\(8.27\) y \(8.28\)se definen en\(\mathbb{Z}\) y en el lado derecho se definen en\(\mathbb{Q}\). De igual manera, el antecedente de enunciado\(8.29\) se define en\(\mathbb{Z}\) y la consecuencia se define en\(\mathbb{Q}\).

EJERCICIO 8.13. Demostrar que cada elemento distinto de cero de\(\mathbb{Q}\) tiene un inverso multiplicativo en\(\mathbb{Q}\). EJERCICIO 8.14. Demostrar declaraciones (1), (2) y (3) en la Sección 8.4.

EJERCICIO 8.15. Demostrar Teorema 8.2.

EJERCICIO 8.16. Dejar\(X \subseteq \mathbb{R}, Y \subseteq \mathbb{R}\) y dejar que cada elemento de\(X\) ser menos que cada elemento de\(Y\). Demostrar que hay\[(\forall x \in X)(\forall y \in Y) x \leq a \leq y .\] EJERCICIO\(a \in \mathbb{R}\) satisfactorio 8.17. \(X \subseteq \mathbb{R}\)Déjese acotar arriba. Demostrar que el límite inferior superior de\(X\) es único.

EJERCICIO 8.18. \(X \subseteq \mathbb{R}\)Déjese acotar a continuación. Demostrar que\(X\) tiene un mayor límite inferior.

EJERCICIO 8.19. Sólo se probó el caso especial del Teorema de Bolzano-Weierstrass (Teorema 8.6) (donde\([b, c]\) está el intervalo unitario cerrado,\([0,1])\). Generalizar la prueba a\(b, c \in \mathbb{R}\) donde arbitraria\(b \leq c\).

EJERCICIO 8.20. Vamos\(X \subseteq \mathbb{R}\). Decimos que\(X\) es denso en\(\mathbb{R}\) si se da alguno\(a, b \in \mathbb{R}\) con\(a<b\), hay\(x \in X\) tal que\[a \leq x \leq b .\] a) Demostrar que\(\mathbb{Q}\) es denso en\(\mathbb{R}\).

b) Demostrar que\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) es denso en\(\mathbb{R}\).

EJERCICIO 8.21. Dejar\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) ser una secuencia de inyección. ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todas las subsecuencias de\(\left\langle a_{n}\right\rangle\)? ¿Qué se puede decir sobre el conjunto de subsecuencias de una secuencia no inyectora?

EJERCICIO 8.22. Dejar\(s\) ser una expansión decimal infinita, y para cualquiera\(n \in \mathbb{N}^{+}\), dejar\(s_{n}\) ser el truncamiento de\(s\) a la posición\(n^{t h}\) decimal. Demostrar que la secuencia\(\left\langle s_{n}\right\rangle\) es una secuencia de Cauchy.

EJERCICIO 8.23. Dejar\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) ser una secuencia convergente y\(\left\langle a_{f(n)}\right\rangle\) ser una subsecuencia de\(\left\langle a_{n}\right\rangle\). Demostrar que\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{f(n)} .\] Exercise 8.24. Demostrar la siguiente generalización de la desigualdad triangular: si la serie\(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\) converge, entonces\[\left|\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\right| \leq \sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right| .\] EJERCICIO 8.25. Dejar\(f\) ser una función real continua en\(a\), y dejar\(\left\langle a_{n}\right\rangle\) ser una secuencia convergente a\(a\). Demostrar que\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f(a) .\] Exercise 8.26. Dar un ejemplo de una función continua en un intervalo abierto que logre sus valores extremos en el intervalo. Dar un ejemplo de una función continua definida en un intervalo abierto que no alcanza sus valores extremos en el intervalo.

EJERCICIO 8.27. Completar la prueba del Teorema\(8.12\) - es decir, probar el resultado por\(f(c)\) un valor mínimo de\(f\) on\((a, b)\).

EJERCICIO 8.28. Demostrar Corolario 8.15.

EJERCICIO 8.29. Demostrar que cualquier función real de inyección continua en un intervalo es monótona en ese intervalo.

EJERCICIO 8.30. Demostrar que no hay bijección continua de\((0,1)\) a\([0,1]\).

EJERCICIO 8.31. Demostrar que cada polinomio\(\mathbb{R}[x]\) de grado impar tiene al menos una raíz real.

EJERCICIO 8.32. Demuestra que si tienes una mesa cuadrada, con patas de igual longitud, y un piso continuo, siempre puedes rotar la mesa para que las 4 patas estén simultáneamente en contacto con el piso. (Pista: Aplicar el teorema del valor Intermedio a una función elegida apropiadamente). Esta es una de las primeras aplicaciones de las matemáticas a las cafeteras.

EJERCICIO 8.33. La prueba de la Proposición 8.16 requiere que los números reales no nulos tengan recíprocos (y de ahí que los cocientes de los números reales estén bien definidos). Demostrar que los números reales distintos de cero tienen recíprocos. EJERCICIO 8.34. Demostrar que hay exactamente 4 extensiones de orden completo de\(\mathbb{Q}\) en las que\(\mathbb{Q}\) es denso.