2.1: Un sabor a la teoría de los números

Antes de comenzar, asegúrate de haber leído el Capítulo 1, que marca la pauta para el trabajo que comenzaremos a hacer aquí. Además, puede resultarle útil leer Apéndice A: Elementos de estilo para pruebas. Como se indica al final de la Sección 1.5, se le anima a revisar este apéndice ocasionalmente a medida que avanza en el libro ya que algunas pautas pueden no tener sentido inicialmente o parecer relevantes.

Es importante señalar que aquí estamos buceando de cabeza primero. A medida que empecemos, vamos a confiar en tu intuición y experiencia previa con pruebas. Esto es intencional. Lo que probablemente encontrarás es un sentido general de lo que implica una prueba, pero es posible que no puedas articular los detalles más finos que haces y no comprendes. Va a haber algunos temas sutiles a los que te enfrentarás y uno de nuestros objetivos será dilucidar la mayor cantidad posible de ellos. Necesitamos calibrar y desarrollar una necesidad intelectual de estructura. Se le anima a que simplemente intente escribir pruebas para los problemas de esta sección sin preocuparse demasiado por si lo está “haciendo de la manera correcta”. En la Sección 2.2, comenzaremos de nuevo y comenzaremos a desarrollar una base formal para el material en el resto del libro. Una vez que haya adquirido más experiencia y una mejor comprensión de lo que implica una prueba, debe considerar regresar a esta sección y revisar sus primeros intentos de redacción de pruebas. Mientras tanto, ¡mira lo que puedes hacer!

En esta sección, introduciremos los fundamentos de una rama de las matemáticas llamada teoría de números, la cual se dedica a estudiar las propiedades de los enteros. Los números enteros son el conjunto de números dados por\[Z:={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.\]

La colección de enteros positivos también tienen un nombre especial. El conjunto de números naturales viene dado por\[N:={1,2,3,...}.\]

Algunos matemáticos (teóricos del conjunto, en particular) incluyen 0 en N, pero esta no será nuestra convención. Si miras de cerca los dos conjuntos que definimos anteriormente, notarás que escribimos\(:=\) en lugar de =. Usamos: = para significar que el símbolo o expresión de la izquierda se define como igual a la expresión de la derecha. El símbolo R se utiliza para denotar el conjunto de todos los números reales. No definiremos formalmente los números reales, sino que confiaremos en su intuición y comprensión previas.

Debido a que estás muy familiarizado con muchas de las propiedades de los enteros y números reales, una de las cuestiones con las que nos toparemos es saber qué hechos podemos dar por sentado. Como regla general, debes intentar usar las definiciones proporcionadas sin depender demasiado de tus conocimientos previos. El orden en que desarrollamos las cosas es importante.

Es una práctica común en matemáticas usar el símbolo\(∈\) como abreviatura de la frase “es un elemento de” o a veces simplemente “en”. Por ejemplo, la expresión matemática “n ∈ Z” significa “n es un elemento de los enteros”. No obstante, se debe tener cierto cuidado en cómo se usa este símbolo. Solo usaremos el símbolo “∈” en expresiones de la forma\(a ∈ A\), donde A es un conjunto y a es un elemento de A. Escribiremos expresiones\(a,b ∈ A\) como taquigrafía para “a ∈ A y b ∈ A.” Debemos evitar escribir frases como “a es un número ∈ A” y “n ∈ enteros”.

Ahora nos encontraremos con nuestra primera definición. En matemáticas, una definición es una descripción precisa e inequívoca del significado de un término matemático. Caracteriza el significado de una palabra dando todas las propiedades y sólo aquellas propiedades que deben ser ciertas. Consulte el Apéndice B para obtener una lista de otros términos matemáticos con los que deberíamos estar familiarizados.

Definición 2.1. Un entero n es par si n = 2k para algunos k ∈ Z. Un entero n es impar si n = 2k + 1 para algunos k ∈ Z.

Observe que enmarcamos la definición de “par” en términos de multiplicación en contraposición a división. Al abordar teoremas y problemas que involucran pares o impares, asegúrese de hacer uso de nuestras definiciones formales y no algunas de las conocidas propiedades de divisibilidad. Por ahora, se deben evitar argumentos que involucren declaraciones como, “los números pares no tienen resto cuando se dividen por dos” o “el último dígito de un número par es 0, 2, 4, 6 u 8”. También observe que las nociones de par e impar se aplican a números cero y negativos. En particular, cero es par desde 0 = 2 · 0, donde vale la pena enfatizar que la ocurrencia de 0 en el lado derecho de la ecuación es un número entero. Como otro ejemplo, vemos que −1 es impar ya que −1 = 2 (−1) + 1. A pesar de que −1 = 2 (−1/2), esto no implica que −1 también sea par ya que −1/2 no es un entero. Para el resto de esta sección, puede suponer que cada entero es par o impar pero nunca ambos.

Nuestro primer teorema relativo a los enteros se expone a continuación. Un teorema es una afirmación matemática que se prueba utilizando un razonamiento matemático riguroso. Como ocurre con la mayoría de los teoremas de este libro, tu tarea es intentar probar suerte en probar el siguiente teorema. Pruébalo.

Teorema 2.2. Si n es un número entero par, entonces n ² es un número entero par.

Un quid para probar el siguiente teorema implica averiguar cómo describir un par arbitrario de enteros consecutivos.

Teorema 2.3. La suma de dos enteros consecutivos es impar.

Una habilidad que vamos a querer desarrollar es determinar si una declaración matemática dada es verdadera o falsa. Para verificar que una sentencia matemática es falsa, debemos proporcionar un ejemplo específico donde falla la sentencia. Tal ejemplo se llama contraejemplo. Observe que basta con proporcionar un solo ejemplo para verificar que una afirmación general no es cierta. Por otro lado, si queremos demostrar que una afirmación matemática general es cierta, generalmente no es suficiente proporcionar un solo ejemplo, o incluso cien ejemplos. Tales ejemplos no son más que evidencia de que la afirmación es cierta.

Problema 2.4. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si una afirmación es cierta, demuéstrala. Si una declaración es falsa, proporcione un contraejemplo.

(a) El producto de un entero impar y un entero par es impar.

(b) El producto de un entero impar y un entero impar es impar.

(c) El producto de un entero par y un entero par es par.

(d) La suma de un entero par y un entero impar es impar.

Para las afirmaciones que eran ciertas en el problema anterior, puede citarlas posteriormente en una prueba futura como si fueran teoremas.

Definición 2.5. Dado n, m ∈ Z, decimos que n divide m, escrito\(n|m\), si existe k ∈ Z tal que m = nk. Si n|m, también podemos decir que m es divisible por n o que n es un factor de m.

Problema 2.6. Para n, m ∈ Z, ¿en qué se parecen las siguientes expresiones matemáticas y en qué se diferencian? En particular, ¿cada uno es una oración o simplemente un sustantivo?

(a) n|m

b)\(\dfrac{m}{n}\)

(c) m/n

En esta sección sobre teoría de números, permitimos sumar, restar y multiplicar enteros. En general, evitamos la división ya que un entero dividido por un entero puede dar como resultado un número que no es un número entero. El resultado es que evitaremos escribir\(\dfrac{m}{n}\). Cuando sientas la necesidad de dividir, cambia a una formulación equivalente usando la multiplicación. Esto hará tu vida mucho más fácil a la hora de probar declaraciones que involucren divisibilidad

Teorema 2.7. La suma de tres enteros consecutivos cualquiera es siempre divisible por tres.

Problema 2.8. Dejar a, b, n, m ∈ Z. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si una afirmación es cierta, demuéstrala. Si una declaración es falsa, proporcione un contraejemplo.

(a) Si a|n, entonces a|mn.

(b) Si 6 divide n, entonces 2 divide n y 3 divide n.

(c) Si ab divide n, entonces a divide n y b divide n.

Un teorema que sigue casi inmediatamente de otro teorema se llama corolario. Vea si puede probar el siguiente resultado rápidamente usando un resultado anterior. Asegúrese de citar el resultado en su comprobante.

Corolario 2.9. Si a, n ∈ Z tal que a divide n, entonces a divide n ². Los siguientes dos teoremas probablemente te sean familiares.

Teorema 2.10. Si a, n ∈ Z tal que a divide n, entonces a divide −n.

Teorema 2.11. Si a, n, m ∈ Z tal que a divide m y a divide n, entonces a divide m + n.

Observe que hemos estado retozando con declaraciones de la forma “Si.., entonces.”. Las declaraciones de esta forma se denominan proposiciones condicionales, las cuales revisamos en la siguiente sección. La frase que ocurre después de “Si” pero antes de “entonces” se llama la hipótesis mientras que la frase que ocurre después de “entonces” se llama la conclusión. Por ejemplo, en el Problema 2.8 (a), “a|n” es la hipótesis mientras que “a|mn” es la conclusión. Tenga en cuenta que las proposiciones condicionales también pueden escribirse en la forma “.. si.”, donde la conclusión se escribe antes de “si” y la hipótesis posterior. Por ejemplo, podemos reescribir Problema 2.8 (a) como “a|mn si a|n”. Si bien el orden de la hipótesis y la conclusión se han invertido en la oración, sus papeles no lo han hecho.

Siempre que nos encontramos con una declaración condicional en matemáticas, queremos tener el hábito de preguntarnos qué pasa cuando intercambiamos los roles de la hipótesis y la conclusión. El enunciado que resulta de revertir los roles de la hipótesis y conclusión en un enunciado condicional se denomina lo contrario de la declaración original. Por ejemplo, lo contrario del Problema 2.8 (a) es “Si a|mn, entonces a|n”, que pasa a ser falso.El inverso del Teorema 2.2 es “Si n ² es un entero par, entonces n es un entero par”. Si bien esta afirmación es cierta no tiene el mismo significado que el Teorema 2.2.

Problema 2.12. Determinar si es cierto lo contrario de cada uno de Corolario 2.9, Teorema 2.10 y Teorema 2.11. Es decir, para a, n, m ∈ Z, determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si una afirmación es cierta, demuéstrala. Si una declaración es falsa, proporcione un contraejemplo.

(a) Si a divide n2, entonces a divide n. (Converse de Corolario 2.9)

(b) Si a divide −n, entonces a divide n. (Converse del teorema 2.10)

(c) Si a divide m + n, entonces a divide m y a divide n. (Converse of Theorema 2.11)

El siguiente teorema a menudo se conoce como la transitividad de división de números enteros.

Teorema 2.13. Si a, b, c ∈ Z tal que a divide b y b divide c, entonces a divide c.

Una vez que hayamos probado algunos teoremas, deberíamos estar atentos para ver si podemos utilizar alguno de nuestros resultados actuales para probar nuevos resultados. No tiene sentido reinventar la rueda si no tenemos que hacerlo.

Teorema 2.14. Si a, n, m ∈ Z tal que a divide m y a divide n, entonces a divide m − n.

Teorema 2.15. Si n ∈ Z tal que n es impar, entonces 8 divide n ² − 1.