3.5: Productos Cartesianos de Sets

Dada una colección de conjuntos, podemos formar nuevos conjuntos tomando sindicatos, intersecciones, complementos y diferencias de conjuntos. En esta sección, introducimos un tipo de “producto” de conjuntos. Ya te has encontrado con este concepto cuando aprendiste a trazar puntos en el plano. También te cruzaste con esta noción si has tomado un curso de álgebra lineal.

Definición 3.44. Para cada uno\(n\in \mathbb{N}\), definimos una \(n\)-tupla para ser una lista ordenada de\(n\) elementos del formulario\((a_1, a_2,\ldots,a_n)\). Nos referimos\(a_i\) como el\(i\) th componente (o coordenada) de\((a_1, a_2,\ldots,a_n)\). Dos\(n\) -tuplas\((a_1, a_2,\ldots,a_n)\) y\((b_1, b_2,\ldots,b_n)\) son iguales si\(a_i=b_i\) para todos\(1\leq i\leq n\). Una\(2\) -tupla\((a,b)\) se conoce más comúnmente como un par ordenado, mientras que una\(3\) -tupla a menudo\((a,b,c)\) se llama triple ordenado.

Ocasionalmente, se utilizan otros símbolos para rodear los componentes de una\(n\) -tupla, como corchetes “\([\ ]\)" o corchetes angulares “\(\langle\ \rangle\)”. En algunos lenguajes de programación, las llaves “\(\{\ \}\)" se utilizan para especificar matrices. Sin embargo, evitamos esta convención en matemáticas ya que las llaves son la notación estándar para los conjuntos. El término “tupla” también puede ocurrir cuando se discuten otros objetos matemáticos, como los vectores.

Podemos usar la noción de\(n\) -tuplas para construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes.

Definición 3.45. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, el producto cartesiano (o producto directo) de\(A\) y\(B\), denotado\(A\times B\) (leído como “\(A\)veces\(B\)" o” \(A\)cross\(B\) “), es el conjunto de todos los pares ordenados de donde procede el primer componente\(A\) y el segundo componente es de\(B\). En notación set-builder, tenemos Nosotros\[A\times B := \{(a,b)|a\in A, b\in B\}.\] definimos de manera similar el producto cartesiano de\(n\) conjuntos\(A_1, \ldots, A_n\), digamos, por\[\prod_{i=1}^{n}A_i := A_1 \times \cdots \times A_n := \{a_1, \ldots , a_n \mid a_j\in A_j \mbox{ for all } 1\leq j\leq n\},\] donde\(A_i\) se conoce como el factor\(i\) th del producto cartesiano. Como caso especial, el conjunto a menudo\[\underbrace{A\times \cdots \times A}_{n\text{ factors}}\] se abrevía como\(A^n\).

Los productos cartesianos llevan el nombre del filósofo y matemático francés René Descartes (1596—1650). Los productos cartesianos jugarán un papel destacado en el Capítulo 7.

Ejemplo 3.46. Si\(A=\{a,b,c\}\) y\(B=\{smiley,frownie\}\), entonces\[A\times B=\{(a,smiley), (a,frownie),(b,smiley),(b,frownie), (c,smiley),(c,frownie)\}.\]

Ejemplo 3.47. El plano bidimensional estándar\(\mathbb{R}^2\) y el espacio estándar de tres\(\mathbb{R}^{3}\) son ejemplos familiares de productos cartesianos. En particular, tenemos\[\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb{R}\}\] y\[\mathbb{R}^3=\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb{R}\}.\]

Ejemplo 3.48. Considera los conjuntos\(A\) y\(B\) del Ejemplo 3.46.

1. Encuentra\(B\times A\).
2. Encuentra\(B\times B\).

Problema 3.49. Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, ¿por qué crees que eso\(A\times B\) se conoce como un tipo de “producto”? Piense en el modelo de área para la multiplicación de números naturales.

Problema 3.50. Si\(A\) y\(B\) son ambos conjuntos finitos, entonces ¿cuántos elementos\(A\times B\) tendrán?

Problema 3.51. Vamos\(A=\{1, 2, 3\}\),\(B=\{1,2\}\), y\(C=\{1,3\}\). Encuentra\(A \times B\times C\).

Problema 3.52. Dejar\(X=[0,1]\) y\(Y=\{1\}\). Escribe cada uno de los siguientes usando la notación set-builder y luego describe el conjunto geométricamente (por ejemplo, dibuja una imagen).

1. \(X\times Y\)
2. \(Y\times X\)
3. \(X\times X\)
4. \(Y\times Y\)

Problema 3.53. Si\(A\) es un conjunto, entonces ¿a qué es\(A\times \emptyset\) igual?

Problema 3.54. Dados conjuntos\(A\) y\(B\), ¿cuándo\(A\times B\) será igual a\(B\times A\)?

Problema 3.55. Escriba\(\mathbb{N}\times \mathbb{R}\) usando la notación set-builder y luego describa este conjunto geométricamente interpretándolo como un subconjunto de\(\mathbb{R}^2\).

Ahora dirigimos nuestra atención a subconjuntos de productos cartesianos.

Teorema 3.56. Dejar\(A\),\(B\),\(C\), y\(D\) ser conjuntos. Si\(A\subseteq C\) y\(B\subseteq D\), entonces\(A\times B\subseteq C\times D\).

Problema 3.57. ¿Es cierto que si\(A\times B\subseteq C\times D\), entonces\(A\subseteq C\) y\(B\subseteq D\)? No olvides pensar en casos que involucran el conjunto vacío.

Problema 3.58. ¿Cada subconjunto\(C\times D\) de la forma\(A\times B\), dónde\(A\subseteq C\) y\(B\subseteq D\)? Si es así, demuéstralo. Si no, encuentra un contraejemplo.

Problema 3.59. Si\(A\),\(B\), y\(C\) son conjuntos no vacíos, ¿es\(A\times B\) un subconjunto de\(A\times B\times C\)?

Problema 3.60. Vamos\(A=[2,5]\),\(B=[3,7]\),\(C=[1,3]\), y\(D=[2,4]\). Calcular cada uno de los siguientes.

1. \((A\cap B)\times (C\cap D)\)
2. \((A\times C)\cap (B\times D)\)
3. \((A\cup B)\times (C\cup D)\)
4. \((A\times C)\cup (B\times D)\)
5. \(A\times (B\cap C)\)
6. \((A\times B)\cap (A\times C)\)
7. \(A\times (B\cup C)\)
8. \((A\times B)\cup (A\times C)\)

Problema 3.63. Dejar\(A\),\(B\),\(C\), y\(D\) ser conjuntos. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si una afirmación es cierta, demuéstrala. De lo contrario, proporcione un contraejemplo.

1. \((A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)\)
2. \((A\cup B)\times (C\cup D)=(A\times C)\cup (B\times D)\)
3. \(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\)
4. \(A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)\)
5. \(A\times (B\setminus C) = (A\times B)\setminus (A\times C)\)

Problema 3.62 Si\(A\) y\(B\) son conjuntos, conjetura una manera de reescribir de una\((A\times B)^C\) manera que implique\(A^C\)\(B^C\) y luego probar tu conjetura.