3.4: Conjuntos de indexación

Supongamos que consideramos la siguiente colección de intervalos abiertos:\[(0,1), (0,1/2), (0,1/4), \ldots, (0,1/2^{n-1}), \ldots\] Esta colección tiene una manera natural para nosotros de “indexar” los conjuntos:\[I_1=(0,1), I_2=(0,1/2), \ldots, I_n=(0,1/2^{n-1}), \ldots\] En este caso los conjuntos son indexados por el conjunto\(\mathbb{N}\). Los subíndices se toman del conjunto de índices. Si quisiéramos hablar de un conjunto arbitrario de esta colección indexada, podríamos usar la notación\(I_n\).

Consideremos otro ejemplo:\[\{a\}, \{a,b\}, \{a,b,c\}, \ldots, \{a,b,c,\ldots,z\}\] Una forma obvia de indexar estos conjuntos es la siguiente:\[A_1=\{a\}, A_2=\{a,b\}, A_3=\{a,b,c\}, \ldots, A_{26}=\{a,b,c,\ldots,z\}\] En este caso, la colección de conjuntos es indexada por\(\{1,2,\ldots, 26\}\).

El uso de conjuntos de indexación en matemáticas es una herramienta de notación extremadamente útil, pero es importante mantener recta la diferencia entre los conjuntos que se están indexando, los elementos de cada conjunto que se indexan, el conjunto de indexación y los elementos del conjunto de indexación.

Cualquier conjunto (finito o infinito) se puede utilizar como un conjunto de indexación. A menudo, las letras griegas mayúsculas se utilizan para denotar conjuntos de indexación arbitrarios y pequeñas letras griegas para representar elementos de estos conjuntos. Si el conjunto de indexación es un subconjunto de\(\mathbb{R}\), entonces es común usar letras romanas como índices individuales. Por supuesto, éstas son meramente convenciones, no reglas.

• Si\(\Delta\) es un conjunto y tenemos una colección de conjuntos indexados por\(\Delta\), entonces podemos escribir\(\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in \Delta}\) para referirnos a esta colección. Leemos esto como “el conjunto de\(S\) -sub-alfas sobre alfa en Delta”.
• Si una colección de conjuntos es indexada por\(\mathbb{N}\), entonces podemos escribir\(\{U_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) o\(\{U_n\}_{n=1}^{\infty}\).
• Tomando prestada de esta idea, una colección\(\{A_1,\ldots,A_{26}\}\) puede escribirse como\(\{A_n\}_{n=1}^{26}\).

Definición 3.32. Dejar\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) ser una colección de conjuntos.

1. La unión de toda la colección se define a través de\[\bigcup_{\alpha\in\Delta} A_{\alpha}:=\{x\mid x\in A_{\alpha} \mbox{ for some }\alpha\in \Delta\}.\]
2. La intersección de toda la colección se define a través de\[\bigcap_{\alpha\in\Delta} A_{\alpha}:= \{x\mid x\in A_{\alpha} \mbox{ for all }\alpha\in \Delta\}.\]

En el caso especial que\(\Delta=\mathbb{N}\), escribimos\[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n= \{ x \mid x \in A_n \mbox{ for some } n \in \mathbb{N}\}= A_1\cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots\] y\[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n= \{ x \mid x \in A_n \mbox{ for all } n \in \mathbb{N}\} = A_1\cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots\] De igual manera, si\(\Delta=\{1,2,3,4\}\), entonces\[\bigcup_{n=1}^{4}A_n= A_1\cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \quad \text{and} \quad \bigcap_{n=1}^{4}A_n= A_1\cap A_2 \cap A_3 \cap A_4.\] Notar la diferencia entre “\(\bigcup\)" y “\(\cup\)" (respectivamente, “\(\bigcap\)" y “\(\cap\)“).

Problema 3.33. Dejar\(\{I_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) ser la colección de intervalos abiertos desde el inicio de la sección. Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle \bigcup_{n\in\mathbb{N}}I_n\)
2. \(\displaystyle \bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_n\)

Problema 3.34. Dejar\(\{A_n\}_{n=1}^{26}\) ser la colección de antes en la sección. Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{26}A_n\)
2. \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{26}A_n\)

Problema 3.35. Vamos\(S_n = \{x \in \mathbb{R} \ \mid \ n-1<x<n \}\), dónde\(n\in \mathbb{N}\). Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n\)
2. \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}S_n\)

Problema 3.36. Vamos\(T_n = \{x \in \mathbb{R} \ \mid \ -\frac{1}{n}<x< \frac{1}{n} \}\), dónde\(n\in \mathbb{N}\). Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}T_n\)
2. \(\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}T_n\)

Problema 3.37. Para cada uno\(r\in\mathbb{Q}\) (los números racionales), deja\(N_r\) ser el conjunto que contiene todos los números reales excepto\(r\). Encuentra cada uno de los siguientes.

1. \(\displaystyle \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}N_r\)
2. \(\displaystyle \bigcap_{r\in\mathbb{Q}}N_r\)

Definición 3.38. Una colección de conjuntos\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) es disjunta por pares si es\(A_{\alpha} \cap A_{\beta}=\emptyset\) para\(\alpha\neq \beta\).

Problema 3.39. Proporcione un ejemplo de una colección de conjuntos\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) que no sea disjunta por pares aunque\(\bigcap_{\alpha\in\Delta}A_{\alpha}=\emptyset\).

Problema 3.40. Para cada uno de los siguientes, proporcione un ejemplo de una colección de conjuntos con la propiedad declarada.

1. Una colección de tres subconjuntos de\(\mathbb{R}\) tal manera que la colección no es disjunta por pares, la unión es igual\(\mathbb{R}\) y la intersección de la colección está vacía.
2. Una colección de infinitamente muchos subconjuntos de\(\mathbb{R}\) tal manera que la colección no es disjunta por pares, la unión es igual\(\mathbb{R}\), y la intersección de la colección está vacía.
3. Una colección de infinitamente muchos subconjuntos de\(\mathbb{R}\) tal manera que la colección es disjunta por pares, la unión es igual\(\mathbb{R}\) y la intersección de la colección está vacía.

Problema 3.41. Dejar\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) ser una colección de conjuntos y dejar\(B\) ser cualquier conjunto. Entonces

1. \(\displaystyle B \cup \left(\bigcap_{\alpha\in\Delta}A_{\alpha}\right)=\bigcap_{\alpha\in\Delta}(B\cup A_{\alpha})\), y
2. \(\displaystyle B \cap \left(\bigcup_{\alpha\in\Delta}A_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in\Delta}(B\cap A_{\alpha})\).

Problema 3.42. Dejar\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) ser una colección de conjuntos. Entonces

1. \(\displaystyle \left(\bigcup_{\alpha\in\Delta} A_{\alpha}\right)^C=\bigcap_{\alpha\in\Delta}A_{\alpha}^{C}\), y
2. \(\displaystyle \left(\bigcap_{\alpha\in\Delta} A_{\alpha}\right)^C=\bigcup_{\alpha\in\Delta}A_{\alpha}^{C}\).

Al final de la Sección 3.2, mencionamos el Axioma de Elección. Usando el lenguaje de los conjuntos de indexación, ahora podemos afirmar este axioma con precisión.

Aciom 3.43. Por cada colección indexada\(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) de conjuntos no vacíos, existe una colección indexada\(\{a_{\alpha}\}_{\alpha\in\Delta}\) de elementos tales que\(a_{\alpha}\in A_{\alpha}\) para cada uno\(\alpha\in \Delta\).

Intuitivamente, el Axioma de Elección garantiza la existencia de objetos matemáticos que se obtienen mediante una secuencia de elecciones. Se aplica tanto al ajuste finito como al infinito. Como analogía, podemos pensar en cada uno\(A_{\alpha}\) como un cajón en una cómoda y cada uno\(a_{\alpha}\) como una prenda de vestir elegida del cajón identificado con\(A_{\alpha}\). El Axioma de Elección es sorprendentemente poderoso, a veces lleva a consecuencias inesperadas. A menudo se usa de formas sutiles con las que los matemáticos no siempre son explícitos. Requeriremos el Axioma de Elección al probar los Teoremas 9.31 y 9.47. Al probar estos teoremas, esté atento a dónde está invocando el Axioma de Elección.