4.1: TMS IX #3

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19 Superficie, largo y ancho He colmado, 1 la superficie. 3 longitudes, 4 anchuras colmadas,

20 su 17 al ancho unido,\(30^{\prime}\).

21 Tú,\(30^{\prime}\) a 17 ve:\(8^{\circ} 30^{\prime}\) ya ves.

22 A 17 anchuras 4 anchuras se unen, 21 ya ves.

23 21 tanto como de anchuras postulan. 3, de tres longitudes,

24 3, tanto como de longitudes postular. \(8^{\circ} 30^{\prime}\), ¿cuál es su nombre?

25 3 longitudes y 21 anchuras colmadas.

26\(8^{\circ} 30^{\prime}\) ya ves,

27 3 longitudes y 21 anchuras colmadas.

28 Ya que 1 a la longitud se une y 1 a la anchura se une, haga sujeción:

29 1 al montón de unión de superficie, longitud y ancho, 2 ya ves,

30 2 la superficie. Dado que la longitud y el ancho de 2 la superficie,

31\(1^{\circ} 30^{\prime}\), la longitud, junto con\(1^{\circ} 20^{\prime}\), el ancho, se hacen sostener,

32 1 el unido de la longitud y 1 el unido de la anchura,

33 hacen bodega, ^¿1 ya ves. ^?1 y 1, las diversas (cosas), montón, 2 ya ves.

34 3..., 21..., y\(8^{\circ} 30^{\prime}\) montón,\(32^{\circ} 30^{\prime}\) ya ves;

35 así que usted pregunta.

36... de anchuras, a 21, ese montón:

37... a 3, longitudes, subir,

38\(1^{\prime} 3\) ya ves. \(1^{\prime} 3\)a 2, la superficie, elevar:

39\(2^{\prime} 6\) ya ves, ^¿\(2^{\prime} 6\)la superficie^?. \(32^{\circ} 30^{\prime}\)el montón se rompe,\(16^{\circ} 15^{\prime}\) ya alt ves alt .

40 {...}. \(16^{\circ} 15^{\prime}\)la contraparte postular, hacer bodega,

41\(4` 24^{\circ} 3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) ya ves. \(2^{\prime} 6\)^¿borrado^?

42 de\(4` 24^{\circ} 3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) arrancar,\(2` 18^{\circ} 3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) ya ves.

43 ¿Qué es igual? \(11^{\circ} 45^{\prime}\)es igual,\(11^{\circ} 45^{\prime}\)\(16^{\circ} 15^{\prime}\) unirse,

44 28 ya ves. A partir de la 2da lágrima,\(4^{\circ} 30^{\prime}\) ya ves.

45 igi 3, de los largos, despegar,\(20^{\prime}\) ya ves. \(20^{\prime}\)a\(4^{\circ} 30^{\prime}\)

46 {...} elevar:\(1^{\circ} 30^{\prime}\) ya ves,

47\(1^{\circ} 30^{\prime}\) la longitud de 2 la superficie. Qué 21, las anchuras, puedo postular

48 que 28 me da? \(1^{\circ} 20^{\prime}\)posit,\(1^{\circ} 20^{\prime}\) el ancho

49 de 2 la superficie. Dé la vuelta. 1 de\(1^{\circ} 30^{\prime}\) arrancar,

50\(30^{\prime}\) ya ves. 1 de\(1^{\circ} 20^{\prime}\) arrancar,

51\(20^{\prime}\) ya ves.

Las líneas 19 y 20 presentan un sistema de dos ecuaciones alrededor de un rectángulo, una de primero y otra de segundo grado. El primero es del mismo tipo que el explicado en TMS XVI #1 (ver página 27). El segundo coincide con el que se examinó en la sección #2 del presente texto (ver página 54). En la traducción simbólica, el sistema de ecuaciones se puede escribir

\(\frac{1}{17}(3 \ell+4 w)+w=30^{\prime}\), alt \((\ell, w)+\ell+w=1\).

De acuerdo con lo que hemos visto en otra parte, el texto multiplica la ecuación de primer grado por 17 (usando el verbo acadio “ir”, ver página 19), obteniendo así coeficientes enteros (tanto como):

\(3 \ell+(4+17) w=3 \ell+21 w=17 \cdot 30^{\prime}=8^{\circ} 30^{\prime}\).

Esto se hace en las líneas 21—25, mientras que las líneas 26 y 27 resumen el resultado.

Las líneas 28—30 repiten el truco utilizado en la sección #2 del texto (Figura 3.10): el largo y el ancho se prolongan en 1, y el cuadrado que se produce cuando aquello que los dos “unieron” ¹ “hold” está “unido” al “montón” alt \((\ell, w)+\ell+w\); de esto sale una “superficie 2", cuyo significado se explica nuevamente en las líneas 30-33.

Las líneas 34-37 están muy dañadas, demasiado dañadas para ser reconstruidas con seguridad en lo que a sus palabras se refiere. No obstante, los números bastan para ver cómo proceden los cálculos. Introduzcamos las magnitudes\(\lambda=\ell+1\) y\(\phi=w+1\). El texto se refiere a ellos como el largo y ancho “de la superficie 2"—en otras palabras, alt \((\lambda, \phi)=2\). Además,

\ (\ begin {alineado}
3\ lambda+21\ phi &=3\ cdot (\ ell+1) +21\ cdot (w+1)\\
&=3+21+3 t+21 w\\
&=3+21+8^ {\ circ} 30^ {\ prime}\\
&=32^ {\ circ} 30^ {\ prime}
\ end {alineado}\).

Con el fin de facilitar la comprensión de lo que ahora sigue, podemos introducir más las variables

\(L=3 \lambda \quad, \quad W=21 \phi\)

(pero debemos recordar que el texto no tiene nombres particulares para estos, en contraste con\(\lambda\) y\(\phi\) que sí tienen nombres; ahora hablamos de, no\(with\) del autor babilónico). Las líneas 36-39 encuentran que

alt \ ((L, W) =( 21\ cdot 3)\ cdot 2=1^ {\ prime} 3^ {\ circ} 2^ {\ prime} =2^ {\ prime} 6^ {\ circ}

resumiendo así tenemos

\(L+W=32^{\circ} 30^{\prime}\), alt \((L, W)=2^{\prime} 6^{\circ}\)

Ahora hemos llegado a la línea 39, y llegamos a un tipo de problema que hasta ahora no habíamos visto: Un rectángulo para el que conocemos el área y la suma de los dos lados.

Figura\(4.1\): El método de corte y pste de TMS IX #3.

Una parte del nuevo cuadrado\(\square\left(16^{\circ} 15^{\prime}\right)\) está constituida por el gnomón, cuya área resulta de la recombinación del rectángulo original alt \((L, W)\); esta área es de ahí\(2^{\prime}6\). También conocemos el área del cuadrado exterior,\(16^{\circ} 15^{\prime} \times 16^{\circ} 15=4^{\prime} 24^{\circ} 3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) (líneas 40 y 41). Cuando el gnomón es “arrancado” (líneas 41 y 42),\(2^{\prime} 18^{\circ} 3^{\prime} 45^{\prime \prime}\) queda para el cuadrado contenido por el gnomón. Su lado (el que “es igual”) es\(11^{\circ} 45^{\circ}\), que ahora debe ser “unido” a una de las piezas\(16^{\circ} 15^{\prime}\) (que nos da\(W\)) y “arrancado” de la otra, su “contraparte” (que nos da\(L\)). Esta vez, sin embargo, no es la misma pieza la que está “unida” y “arrancada”; de ahí que no haya razón para “arrancar” antes de “unirse”, como en YBC 6967 (página 46), y la prioridad normal de adición puede prevalecer. Líneas 43-44 encontrar\(W=28\) y\(L=4^{\circ} 30^{\prime}\). Por último, el texto determina primero\(\lambda\)\(\phi\) y y luego\(\ell\) y\(w\) —recordamos que\(L=3 \lambda\),\(\lambda=\ell+1\),\(W=21 \phi\),\(\phi=w+1\). Ya que el 28 no tiene igi, la línea 48 explica\(21 \cdot 1^{\circ} 20^{\prime}=28\).