6.2: ¿Álgebra?

Hasta ahora, por razones de conveniencia y de acuerdo con la mayoría de historiadores de las matemáticas hemos hablado de un antiguo “álgebra” babilónico sin el significado que se debe atribuir a esta palabra moderna en un contexto babilónico, y sin tratar de explicar por qué (o si) una técnica geométrica puede realmente ser considerado un “álgebra”.

En nuestro camino, sin embargo, hemos acumulado una serie de observaciones que pueden ayudarnos a formar una opinión razonada (a veces insinuando el papel que estas observaciones van a jugar en el argumento).

Al principio hay que decir que el álgebra moderna al que quizás podría asimilarse la técnica babilónica antigua es precisamente una técnica, es decir, la práctica de ecuaciones. Nada en los antiguos textos babilónicos permite suponer que los babilonios poseían el más mínimo indicio de algo así como la teoría algebraica que se ha desarrollado a partir del siglo XVI (referente al vínculo entre coeficientes y raíces, etc.) —ni a fortiori para equiparar lo que hicieron con lo que los matemáticos profesionales hoy llaman álgebra (teoría de grupos y todo lo que construye o extiende ese dominio). El álgebra de hoy en el que debemos pensar es lo que se aprende en la escuela y se expresa en ecuaciones.

Hemos visto arriba (página 29) el sentido en el que los enunciados problemáticos babilónicos antiguos pueden entenderse como ecuaciones: pueden indicar la medida total de una combinación de magnitudes (muchas veces pero no siempre magnitudes geométricas); pueden declarar que la medida de una combinación es igual a la de otro; o que el primero supere o no alcance al segundo por una cantidad determinada. El principio no difiere del de cualquier álgebra aplicada, y por lo tanto no de las ecuaciones con las que opera hoy un ingeniero o un economista. En este sentido, los enunciados problemáticos babilónicos antiguos son verdaderas ecuaciones.

Pero hay una diferencia. El ingeniero actual opera sobre sus ecuaciones: las magnitudes que mueve de derecha a izquierda, los coeficientes que multiplica, las funciones que integra, etc.—todas ellas existen solo como elementos de la ecuación y no tienen otra representación. Las operaciones de los babilonios, por el contrario, se realizaron dentro de una representación diferente, la de cantidades geométricas medidas. ²

Con pocas excepciones (de las cuales no hemos encontrado ninguna arriba) las soluciones babilónicas antiguas son analíticas. Eso también los hace similares a nuestro álgebra de ecuaciones modernas. Más allá de eso, la mayoría de sus procedimientos son “homomórficos” aunque no “isomórficos” análogos nuestros, o al menos fácilmente explicados en términos de álgebra moderna.

Estas características compartidas —declaraciones conformadas como ecuaciones, análisis, procedimientos homomórficos— han inducido a muchos historiadores de las matemáticas a hablar de un “álgebra babilónica” (seducido, han dicho ciertos críticos durante los últimos 40 años). Pero hay otra razón para esta caracterización, razón que puede ser más decisiva aunque en su mayoría ha pasado desapercibida.

El álgebra de ecuaciones de hoy posee una “representación fundamental” neutra (ver página 16): números abstractos. Esta representación neutra es un contenedor vacío que puede recibir todo tipo de cantidades medibles: distancias, áreas, cargas y corrientes eléctricas, fertilidades poblacionales, etc. El análisis geométrico griego, por otro lado, no se refiere más que a las magnitudes geométricas que trata, éstas no representan más que nada más que lo que son

En este sentido, la técnica babilónica está por tanto más cerca del álgebra de ecuaciones modernas que el análisis griego. Como hemos visto, sus segmentos de línea pueden representar áreas, precios (mejor, precios inversos) y en otros textos números de trabajadores y el número de días que trabajan, y similares. Podríamos creer (porque estamos acostumbrados a confundir el plano geométrico abstracto y el papel sobre el que dibujamos) que la geometría es menos neutra que los números abstractos, sabíamos perfectamente distinguir el número abstracto 3 de los 3 guijarros, pero tendemos a tomar un triángulo muy bien dibujado para el triángulo mismo. Pero aunque permanezcamos en nuestra confusión debemos admitir que desde el punto de vista funcional, la geometría babilónica antigua de magnitudes medidas es también un contenedor vacío.

El álgebra de ecuaciones de hoy es así una técnica para encontrar por medio de la ficción que ya hemos encontrado (análisis seguido de la manipulación de magnitudes desconocidas como si fueran conocidas, todo dentro de una representación que está funcionalmente vacía (es decir, el reino de lo abstracto números). Al reemplazar los números por cantidades geométricas medibles, podemos decir lo mismo sobre la técnica babilónica antigua, con una pequeña reserva a la que regresaremos actualmente. Si la técnica moderna se entiende como un “álgebra” a pesar de su inmensa distancia conceptual de la teoría de grupos y sus descendientes, parece razonable clasificar la técnica babilónica antigua tal como la hemos encontrado en los Capítulos 2 — 4 bajo la misma encabezamiento.

Eso no quiere decir que no haya diferencias; las hay, e incluso diferencias importantes; pero éstas no son de un tipo que normalmente se usaría para separar “álgebra” de lo que no es álgebra.

Aparte de la representación por una geometría de magnitudes medibles, la diferencia más importante es probablemente que el álgebra babilónica antigua de segundo (y superior) grado no tenía aplicación práctica, no porque no pudiera tener por razones de principio (podría bastante bien) sino porque ningún problema práctico dentro el horizonte de un viejo escriba obrero babilónico pidió la aplicación de álgebra superior. Por lo tanto, todos los problemas más allá del primer grado son artificiales, y todos se construyen hacia atrás a partir de una solución conocida (muchos problemas de primer grado también lo son). Por ejemplo, el autor comienza con un cuadrado de lado\(10^{\prime}\) y luego encuentra que la suma de los cuatro lados y el área es\(41^{\prime} 40^{\prime \prime}\). El problema que construye luego afirma este valor y requiere (con una formulación que estuvo a favor entre las calculadoras de la Edad Media pero que también está presente en TMS XVI y TMS XVII) que los lados y la zona estén “separados” o “dispersos”. ³

Este tipo de álgebra es muy familiar hoy en día. Permite a maestros y autores de libros de texto construir problemas para los alumnos de la escuela para los cuales pueden estar seguros de la existencia de una solución razonable. La diferencia es que se supone que nuestros problemas artificiales deben formar a los estudiantes en técnicas que luego servirán en contextos “de la vida real”.

Lo que no sabemos es la franqueza con que ciertos textos antiguos babilónicos hablan del valor de magnitudes que en principio se supone que no deben conocerse.Sin embargo, dado que el texto distingue claramente entre magnitudes dadas y meramente conocidas, utilizando estas últimas sólo para identificación y explicación pedagógica, este hábito aparentemente desviado en primer lugar ilustra la necesidad de un lenguaje en el que describir el procedimiento, una alternativa a la\(\ell\),\(\lambda\) y\(L\) de nuestro álgebra y el “segmento\(AB\)" de nuestra geometría. Dado que los textos representan el “manual del profesor” (a pesar del “tú” que pretende dirigirse al alumno), no podemos excluir que la verdadera exposición oral a los alumnos haga uso de un dedo apuntando al diagrama (“este ancho aquí”, “esa superficie ahí”). Tampoco podemos afirmar que las cosas realmente habrán ocurrido así— no tenemos mejor ventana a la práctica didáctica Antiguas matemáticas babilónicas que la que ofrece TMS XVI 3 #1 (página 27).