8.1: El origen- Acertijos de los agrimensura

Por el contrario, el álgebra de la vieja escuela de escribas babilónicos no es una continuación de las tradiciones de la vieja escuela del siglo- (o milenio-), nada similar había existido durante el tercer milenio. Se trata de una expresión entre otras de la nueva cultura escribal de la época. En principio, el álgebra podría haberse inventado dentro del ambiente escolar —el trabajo sobre textos bilinuales y el estudio de la gramática sumeria desde un punto de vista acadio ciertamente lo fueron. Tal origen encajaría con el hecho de que el vocabulario central para la topografía y parte del utilizado en el cálculo práctico es en sumerio o al menos escrito con logogramas sumerios (“longitud”, “ancho”, igi, “ser igual por”), mientras que los términos que caracterizan a los géneros algebraicos así como lo que sirve para express problemas está en acadio.

Sin embargo, una invención de la escuela de escribas concuerda muy mal con otras fuentes. En particular, está en conflicto con la forma en que aparecen problemas y técnicas pertenecientes a una misma familia en fuentes griegas y medievales. Un análisis preciso de todo el material paralle revela una historia muy diferente: el material es demasiado vasto para permitir una presentación completa del argumento aquí, pero parte de ella se entreteje en la siguiente discusión.

Los topógrafos del centro de Irak (quizás una región más amplia, pero eso sigue siendo una hipótesis en lo que a esta época temprana se refiere) tenían una tradición de acertijos geométricos. Tales acertijos profesionales son familiares de otros entornos premodernos de los practicantes matemáticos (especialistas en computación comercial, contabilidad, maestros constructores, y por supuesto la topografía) cuya formación se basó en el aprendizaje y no fue atendida por una escuela más o menos aprendida. Como ejemplo podemos citar el problema de las “cien aves” que se encuentran en numerosas colecciones problemáticas chinas, indias, árabes y europeas de la Edad Media:

Alguien va al mercado y compra 100 aves por 100 dinares. Un ganso le cuesta 3 dinares, una gallina 2 dinares, y de gorriones obtiene 3 por cada dinar. Dime, si eres una calculadora experta, ¡qué compró! ¹

Hay muchas soluciones. 5 gansos, 32 gallinas y 63 gorriones; 10 gansos, 24 gallinas y 66 gorriones; etc. Sin embargo al responder a un acertijo, incluso un acertijo matemático, no es necesario dar una solución exhaustiva, ni dar una prueba (excepto la prueba numérica de que la respuesta cumple las condiciones) 2 Quien es capaz de dar una buena respuesta se muestra a sí mismo como un calculador competente “a la estupefacción del ignorante” (como dice un manual de aritmética práctica de 1540).

A menudo la solución de un acertijo similar pide la aplicación de un truco en particular. Aquí, por ejemplo, uno puede notar que uno debe comprar 3 gorriones cada vez que uno compra una gallina, que da 4 aves por 4 dinares, y 3 gorriones por cada dos gallinas, 5 aves por 5 dinares.

Tales “problemas recreativos” (como llegaron a llamarse después de haber sido adoptados en una cultura matemática arraigada en la escuela, donde su papel era procurar diversión matemática) tenían una doble función en el medio donde se originaron. Por un lado, sirvieron capacitación, incluso en la escuela actual, un león que come a tres profesores de matemáticas por hora puede ser una variación bienvenida en niños que reciben 3 dulces al día. Por otro, y en particular (dado que los trucos centrales rara vez servían en la computación práctica), permitían que los miembros de la profesión se sintieran como “calculadoras verdaderamente expertas”, un paralelo a lo dicho anteriormente sobre el papel de las matemáticas sumerias y “demasiado avanzadas” para los escribas babilónicos antiguos.

En algún momento entre 2200 y 1800 a. C., los topógrafos acadios inventaron el truco que luego se llamó “el método acadio”, es decir, la finalización cuadrática; alrededor de 1800 circularon un pequeño número de acertijos geométricos sobre cuadrados, rectángulos y círculos cuya solución se basó en este truco. Una característica compartida de estos acertijos fue considerar únicamente elementos que están directamente presentes en las figuras, por ejemplo el lado o los cuatro lados de un cuadrado, nunca “3 veces el área” o “\(\frac{1}{3}\)del área”. Podemos decir que los problemas se definen sin coeficientes, de, alternativamente, con coeficientes “naturales”.

Si\({ }_{4} c\) significa “los 4 lados” y\(\square(c)\) para el área de un cuadrado,\(d\) para la diagonal y\((\ell, w)\) para el área de un rectángulo, la lista de acertijos parece haber abarcado los siguientes problemas:

\ (\ begin {alineado}
c+\ cuadrado (c) &=110\\
4^ {c+}\ cuadrado (c) &=140\\
\ cuadrado (c) -c &=90\\
\ cuadrado (c) - {} _ {4} c &=60 (?)
\ end {alineado}\)

\(\ell+w=\alpha\),\((\ell, w)=\beta\)

\(\ell-w=\alpha\),\((\ell, w)=\beta\)

\(\ell+w=\alpha\),\((\ell-w)+\)\((\ell, w)=\beta\)

\(\ell-w=\alpha\),\((\ell+w)+\)\((\ell, w)=\beta\);

\(d=\alpha\),\((\ell, w)=\beta\).

Más allá de eso, hubo problemas acerca de dos cuadrados (suma o diferencia entre los lados dada junto con la suma o diferencia entre las áreas); un problema en el que se da la suma del perímetro, el diámetro y el área de un círculo, y posible el problema\(d-c=4\) relativo a un cuadrado, con la pseudo-solución\(c=10\),\(d=14\); dos problemas sobre un rectángulo, ya conocidos antes de 2200 a. C., tienen como datos, uno el área y el ancho, el otro el área y la longitud. Eso parece ser todo. ³

Estos acertijos parecen haber sido adoptados en la vieja escuela de escribas babilónicos, donde se convirtieron en el punto de partida para el desarrollo del álgebra como disciplina genuina. Sin embargo, la escuela no se hizo cargo de la tradición acertijo tal como era. Un acertijo, para provocar interés, debe hablar de entidades conspicuas (el lado, los cuatro lados, etc.); una institución escolar, por otra parte, tiende a involucrarse en una variación sistemática de coeficientes, en particular una escuela que, como la de los escribas mesopotámicos desde el invención de la escritura en el cuarto milenio, siempre se había basado en una variación muy sistemática. ⁴ En un acertijo también es normal comenzar con lo que más naturalmente hay (por ejemplo los cuatro lados de un cuadrado) y venir después a entidades derivadas (aquí la zona). En la escuela, por el contrario, parece natural privilegiar el procedimiento, y por lo tanto hablar primero de esa superficie que eventualmente se va a dotar de una “proyección” o de una “base”.

Tales consideraciones explican por qué una colección problemática sobre squres como BM 13901 se mueve de una sola a dos y luego tres cuadrados, y por qué todos los problemas excepto el arqueador #23, “los cuatro lados y el área”, invariablemente hablan de áreas antes de mencionar los lados. Pero la transformación no se detiene ahí. En primer lugar, la introducción de coeficientes pidió la introducción de una nueva técnica, el cambio de escala en una dirección (y luego diferentes cambios en las dos direcciones, como en TMS IX #3); la variación audaz consistente en la adición de un volumen y un área dio lugar a una innovación más radical: el uso de factorización. La invención de estas nuevas técnicas hizo posible la solución de problemas aún más complicados.

Por otro lado, como consecuencia del simulacro de variación sistemática, la solución de los problemas fundamentales se convirtió en una banalidad sobre la que no se podía construir la autoestima profesional: con ello el trabajo sobre problemas complicados se convirtió no sólo en una posibilidad sino también en una necesidad cultural.

Se puede suponer que la orientación de la profesión escribal hacia una amplia gama de prácticas invitaba a la invención de problemas fuera de la geometría topográfica abstracta donde se podían desplegar los métodos algebraicos y, por lo tanto, aunque la “investigación” no era un objetivo de la escuela de escribas, explorar las posibilidades de representación. Es así, según esta reconstrucción, el traslado a la escuela que le dio a la técnica de cortar y pegar la posibilidad de convertirse en el corazón de un verdadero álgebra.

Otros cambios fueron menos trascendentales aunque aún llamativos. En los acertijos, 10 era el valor preferido para el lado de la plaza, permaneciendo así hasta el siglo XVI ce; el valor favorito en la escuela era\(30^{\prime}\), y cuando un problema arquealizante retuvo 10 se interpretó como\(10^{\prime}\). ⁵ Por último, como se explicó anteriormente (página 34), el hipotético “alguien” que hacía una pregunta fue sustituido por un “yo” profesorial.

BM 13901 #23 (página 75), conservando “los cuatro anchos y la superficie” (en ese orden) y el lado 10 mientras cambia su orden de magnitud, es así un fósil característico que apunta a la tradición del acertijo. Incluso su lenguaje es arqueador, sugiriendo las formas de topógrafos no educados en la escuela de escribas. Teniendo en cuenta su posición hacia el final del texto (#23 de 24 problemas, siendo #24 el más intrincado de todos), podemos verlo como algo así como “último problema antes de Navidad”.

Parece que el primer desarrollo de la disciplina algebraica tuvo lugar en la región de Eshnunna, al norte de Babilonia, durante las primeras décadas del siglo XVIII; ⁶ de esta zona y periodo tenemos una serie de textos matemáticos que por una vez han sido regularmente excavadas y que por lo tanto pueden ser fechadas. Para entonces, Eshnunna era un centro cultural de toda la parte centro-norte de Irak; Eshnunna también produjo el primer código de ley fuera del sur sumerio. El texto Db ₂ —146 (abajo, página 126) proviene de un sitio perteneciente al reino Eshnunna.

En c. 1761 Eshnunna fue conquistada por Hammurabi y destruida. Sabemos que Hammurabi tomó prestada la idea de un código de ley, y podemos suponer que trajo de vuelta a estudiosos esclavizados. Cuando también trajo académicos dedicados a la producción o enseñanza de las matemáticas no es más que una suposición (los estratos del segundo milenio de Babilonia están profundamente enterrados debajo de los restos de la ciudad mundial del primer milenio), pero en cualquier caso el antiguo sur sumerio retomó la nueva disciplina matemática alrededor 1750—AO 8862 (arriba, página 60), con su terminología y formato aún sin resolver, parece representar un ejemplar temprano de esta fase.

Los problemas de diversos sitios en la región de Eshnunna tratan muchos de los temas también conocidos desde más tarde; la variante primitiva del rectángulo del problema de “caña rota” mencionada en la página 70 proviene de uno de ellos. Sorprendentemente, sin embargo, no hay un solo ejemplo de representación. AO 8862, en cambio, ya contiene un ejemplo, en el que se “amontonan” varios trabajadores, sus jornadas laborales y los ladrillos que han producido. No indica el procedimiento, pero claramente las tres magnitudes tienen que ser representadas por los lados de un rectángulo y su área multiplicada por un coeficiente. Gran parte de los textos de Eshnunna inician “Si alguien te pregunta así [...]”, no se encontró ni en AO 8862 ni en ningún texto posterior (salvo como rudimento en el arqueador BM 13901 #23).

No mucho después, tenemos una serie de textos que (a juzgar por su ortografía) fueron escritos en el sur. Varios grupos de texto obedecen cánones muy bien definidos de formato y terminología (no lo mismo en todos los grupos), demostrando un esfuerzo consciente por la regularidad (los textos IVA y STR-todos pertenecen aquí). Sin embargo, alrededor de 1720 todo el sur se separó, después de lo cual la cultura escribal se redujo al mínimo; las matemáticas parecen no haber sobrevivido. Desde finales del siglo XVII, tenemos un buen número de textos de Sippar, algo al norte de Babilonia (BM 85200 + IVA 6599 es uno de ellos), y otro lote de Susa en el oeste de Irán (los textos de TMS), que según su terminología descienden del tipo norteño desarrollado por primera vez en Eshnunna. Y entonces, nada más....