8.2: El Patrimonio

En efecto, en 1595 una incursión hitita puso fin al ya débil Estado y sistema social babilónico antiguo. Después de la redada, el poder fue captado por los kassites, un grupo tribal que había estado presente en Babilonia como trabajadores migrantes y merodeadores desde los tiempos de Hammurabi. Esto provocó un abrupto final a la antigua época babilónica y a su particular cultura.

Desapareció la escuela de escribas. Durante siglos, el uso de la escritura se redujo fuertemente, e incluso después los estudio-escribas fueron enseñados como aprendices dentro de “familias de escribas” (aparentemente familias linaje, no aprendizaje formalizado como adopción).

Incluso las matemáticas sofisticadas desaparecieron. La necesidad social de cálculo práctico, aunque reducida, no desapareció; pero el orgullo profesional de los escribas estudiosos construidos ahora sobre la herencia de una tradición venerada. El escriba ahora se entendía a sí mismo como alguien que sabía escribir, incluso literatura, y no como calculadora; gran parte del cálculo socialmente necesario ya puede haber descansado ahora en especialistas cuya escasa formación literaria no los calificó como “escribas” (en el primer milenio, tal división es bastante cierto).

Los 1200 años que siguen al colapso del antiguo complejo cultural babilónico no han dejado ni un solo texto álgebra. En sí mismo eso no dice mucho, ya que sólo han sobrevivido un número muy reducido de textos matemáticos incluso en el sentido más vago (algunos textos contables, huellas de topografía, algunas tablas de reciprocales y cuadrados). Pero cuando un mínimo de textos matemáticos propios escritos por estudio-escribas vuelve a surgir después de 400 a. C., la terminología nos permite distinguir lo que se había transmitido dentro de su propio entorno de lo que se tomó prestado una vez agin de un ambiente “laico”. A esta última categoría pertenece un pequeño puñado de problemas sobre cuadrados y rectángulos. no contienen representación, ninguna variación de coeficientes, nada sofisticado como la “caña rota” o el comercio de petróleo, solo problemas cercanos a los acertijos originales; difícilmente estaría justificado hablar de ellos como representantes de un “álgebra”.

Estos textos tardíos obviamente no nos informan, ni directa ni indirectamente, sobre el entorno donde se habían transmitido los acertijos, a pesar de que una continuación de la tradición de los agrimensura es la hipótesis más verosímil. Fuentes de la antigüedad clásica así como de la Edad Media islámica al menos dejan claro que la tradición que alguna vez había inspirado el álgebra babilónica antigua había sobrevivido a pesar de la desaparición de su descendencia de alto nivel.

La mejor evidencia la ofrece un manual árabe de geometría práctica, escrito quizás alrededor del 800 ce (quizás más tarde pero con una terminología y en una tradición que apunta a esta fecha), y conocido a partir de una traducción latina del siglo XII. ⁷ Contiene todos los problemas atribuidos anteriormente a la tradición del acertijo excepto los de dos cuadrados y el problema del círculo, en particular el problema sobre “los cuatro lados y la zona”, en el mismo orden que BM 13901 #23, y aún con solución 10 (no\(10^{\prime}\). También conserva la compleja alternancia entre las personas gramaticales, el hipotético “alguien” que hace la pregunta en muchos de los primeros textos escolares, la exhortación a guardar algo en la memoria, e incluso la justificación ocasional de un paso en el procedimiento por medio de la cita de palabras del declaración como algo que “él” ha dicho. Problemas del mismo tipo aparecen una y otra vez en los siglos siguientes: “los cuatro lados y el área” (aparentemente por última vez) en la Summa de Arithmetica de Luca Pacioli de 1494, “el lado y el área” de una plaza en el Libro de álgebra en arithmetica y geometria de Pedro Núñez a partir de 1567 (en ambos casos en orden acertijo tradicional, y en el Summa con solución 10).

como “cuatro pies”.

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Figura\(8.1\): “El área unida al perímetro” de Geométrica.

Desde la dsicovery del álgebra babilónica, a menudo se ha afirmado que un componente de la geometría teórica griega (a saber, los Elementos II. 1-10 de Euclides) debería ser una traducción de los resultados del álgebra babilónica al lenguaje geométrico. Esta idea no es poco problemática; Euclides, por ejemplo, no resuelve problemas sino que prueba construcciones y teoremas. La interpretación geométrica de la técnica babilónica antigua, por otro lado, parecería hablar a favor de la hipótesis.

Sin embargo, si alineamos los diez teoremas Elementos II. 1-10 con la lista de acertijos originales hacemos un descubrimiento inesperado: los diez teoremas pueden estar conectados directamente a la lista—de hecho son demostraciones de que los métodos ingenuos de la tradición de acertijos pueden justificarse de acuerdo con la mejores estándares teóricos de los días de Euclides. En contraste, no hay nada en Euclides que pueda conectarse con las innovaciones de la vieja escuela babilónica. Su álgebra resulta haber sido un callejón ciego, no a pesar de su alto nivel sino más bien por este nivel, que le permitió sobrevivir sólo en el muy particular ambiente escolar de la Antigua Babilonia.

La extraordinaria importancia de los Elementos en la historia de las matemáticas está fuera de toda duda. Sin embargo, la influencia más importante de la tradición de los agrimensura en las matemáticas modernas se debe a su interacción con el álgebra árabe medieval.

Incluso el álgebra árabe parece haberse inspirado originalmente en una tradición acertijo. Como se mencionó anteriormente (página 92), sus ecuaciones fundamentales tratan sobre una cantidad de dinero (una “posesión”) y su raíz cuadrada. Se resolvieron según reglas sin pruebas, como esta para el caso “una posesión y diez de sus raíces se hacen iguales a 39 dinares”:

se reducen a la mitad las raíces, que en esta pregunta son 5. Luego los multiplicas consigo mismos, de lo que surge 25; agrégalos a 39, y serán 64. Deberías tomar la raíz de esto, que es 8. Siguiente eliminar formarlo la mitad de las raíces, que es 5. Después 3 restos, que es la raíz de la posesión. Y la posesión es 9.

Ya el primer autor de un tratado de álgebra que conocimos (que probablemente sea el primer tratado sobre el tema ⁸) —al-Khwārizmī, de principios del siglo IX ce— no estaba satisfecho con reglas que no se basan en el razonamiento o la prueba. Por lo tanto, adoptó las pruebas geométricas de la tradición de los agrimensura correspondientes a las Figuras 3.1, 3.3, 4.1 y, en primer lugar, la configuración característica de la Figura 4.12. Posteriormente, matemáticos como Fibonacci, Luca Pacioli y Cardano vieron estas pruebas como la esencia misma del álgebra, sin conocer el álgebra polinomio creado por al-Karajī, As-Samaw'al y sus sucesores (otro magnífico callejón sin salida). De esta manera la tradición de los viejos agrimensura conquistó la disciplina desde dentro; la palabra censo, la traducción latina de “posesión”, llegó a entenderse como otra palabra para “cuadrado”. Todo esto sucedió en interacción con los Elementos II, igualmente en deuda con la tradición de los agrimensura, como acabamos de ver.

Así, aunque el álgebra de las tablillas cuneiformes era un callejón ciego —glorioso pero ciego de todos modos— los principios que había tomado prestados de practicantes sin erudición no lo eran. Sin esta inspiración es difícil ver cómo podrían haber surgido las matemáticas modernas. Como se ha dicho de Dios: “Si no existiera, uno habría tenido que inventarlo”.