2.1: Conejos de Fibonacci
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En 1202, Fibonacci propuso el siguiente rompecabezas, que parafraseamos aquí:
Un hombre puso un par macho-hembra de conejos recién nacidos en un campo. Los conejos tardan un mes en madurar antes del apareamiento. Un mes después del apareamiento, las hembras dan a luz a un par macho-hembra y luego vuelven a aparearse. No mueren conejos. ¿Cuántas parejas de conejos hay después de un año?
El crecimiento de la población de conejos de Fibonacci se presenta en el Cuadro 2.1. Al inicio de cada mes se muestra el número de conejos juveniles, adultos y el número total de conejos. A principios de enero se introduce en la población un par de conejos juveniles. A principios de febrero, este par de conejos han madurado y se aparean. A principios de marzo, este par original de conejos dan a luz a un nuevo par de conejos juveniles. Y así sucesivamente.
Si dejamos\(F_{n}\) ser el número total de parejas de conejos al inicio del mes\(n\) th, entonces el número de parejas de conejos al inicio del mes 13 será la solución al rompecabezas de Fibonacci. Al examinar el número total de parejas de conejos en la Tabla\(2.1\), es evidente que
\[F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1} . \nonumber \]
Esta ecuación de diferencia lineal de segundo orden requiere dos condiciones iniciales, las cuales están dadas por\(F_{1}=F_{2}=1\). Los primeros trece números de Fibonacci, leídos de la tabla,
| mes | \(\mathrm{J}\) | \(\mathrm{F}\) | \(\mathrm{M}\) | \(\mathrm{A}\) | \(\mathrm{M}\) | \(\mathrm{J}\) | \(\mathrm{J}\) | \(\mathrm{A}\) | \(\mathrm{S}\) | \(\mathrm{O}\) | \(\mathrm{N}\) | \(\mathrm{D}\) | \(\mathrm{J}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| juvenil | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 |
| adulto | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
| total | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
están dadas por
\[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, \ldots \nonumber \]
donde\(F_{13}=233\) está la solución al rompecabezas de Fibonacci.
Resolvamos\((2.1.1)\) para todos los\(F_{n}^{\prime}\) s. Para resolver esta ecuación, buscamos una solución de la forma\(F_{n}=\lambda^{n} .\) Sustitución en (2.1.1) rendimientos
\[\lambda^{n+1}=\lambda^{n}+\lambda^{n-1} \nonumber \]
o después de la división por\(\lambda^{n-1}\):
\[\lambda^{2}-\lambda-1=0 \nonumber \]
con solución
\[\lambda_{\pm}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \nonumber \]
Definir
\[\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.61803 \ldots \nonumber \]
y
\[\phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\Phi-1=0.61803 \ldots \nonumber \]
Entonces\(\lambda_{+}=\Phi\) y\(\lambda_{-}=-\phi .\) También, fíjense que desde\(\Phi^{2}-\Phi-1=0\), división por\(\Phi\) rendimientos\(1 / \Phi=\Phi-1\), de manera que
\[\phi=\frac{1}{\Phi} \nonumber \]
Al igual que en la solución de ecuaciones diferenciales homogéneas lineales, los dos valores de\(\lambda\) pueden ser utilizados para construir una solución general a la ecuación de diferencia lineal usando el principio de superposición lineal:
\[F_{n}=c_{1} \Phi^{n}+c_{2}(-\phi)^{n} . \nonumber \]
Extendiendo la secuencia de Fibonacci a\(F_{0}=0\) (since\(F_{0}=F_{2}-F_{1}\)), satisfacemos las condiciones\(F_{0}=0\) y\(F_{1}=1\):
\[\begin{aligned} c_{1}+c_{2} &=0, \\[4pt] c_{1} \Phi-c_{2} \phi &=1 . \end{aligned} \nonumber \]
Por lo tanto\(c_{2}=-c_{1}\),\(c_{1}(\Phi+\phi)=1\), y, o\(c_{1}=1 / \sqrt{5}, c_{2}=-1 / \sqrt{5} .\) Podemos reescribir la solución como
\[F_{n}=\frac{\Phi^{n}-(-\phi)^{n}}{\sqrt{5}} \nonumber \]
Ya que\(\phi^{n} \rightarrow 0\) como\(n \rightarrow \infty\), vemos que\(F_{n} \rightarrow \Phi^{n} / \sqrt{5}\), y\(F_{n+1} / F_{n} \rightarrow \Phi\)