2.2: La proporción áurea Φ

El número\(\Phi\) se conoce como la proporción áurea. Se dice que dos números positivos\(x\) y\(y\)\(x>y\), con, están en la proporción áurea si la relación entre la suma de esos números y el mayor es la misma que la relación entre el mayor y el menor; es decir,

\[\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y} \nonumber \]

Solución de (2.2.1) rendimientos\(x / y=\Phi\). De alguna manera bien definida, también se\(\Phi\) puede llamar el más irracional de los números irracionales.

Para entender por qué\(\Phi\) tiene esta distinción como el número más irracional, primero necesitamos entender fracciones continuas. Recordemos que un número racional es cualquier número que pueda expresarse como el cociente de dos enteros, y un número irracional es cualquier número que no sea racional. Los números racionales tienen fracciones continuas finitas; los números irracionales tienen fracciones continuas infinitas.

Una fracción finita continua representa un número racional\(x\) como

\[x=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_{n}}}}} \nonumber \]

donde\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) son enteros positivos y\(a_{0}\) es cualquier entero. La forma taquigrafía conveniente de\((2.2.2)\) es

\[x=\left[a_{0} ; a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right] \nonumber \]

Si\(x\) es irracional, entonces\(n \rightarrow \infty\).

Ahora para algunos ejemplos. Para construir la fracción continuada del número racional\(x=3 / 5\), podemos escribir

\[\begin{aligned} 3 / 5 &=\frac{1}{5 / 3}=\frac{1}{1+2 / 3} \\[4pt] &=\frac{1}{1+\frac{1}{3 / 2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+1 / 2}} \end{aligned} \nonumber \]

que es de la forma\((2.2.2)\), así que eso\(3 / 5=[0 ; 1,1,2]\).

Para construir la fracción continua del número irracional\(\sqrt{2}\), podemos hacer uso de un truco y escribir

\[\begin{aligned} \sqrt{2} &=1+(\sqrt{2}-1) \\[4pt] &=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}} \end{aligned} \nonumber \]

Ahora tenemos una definición recursiva que puede continuar como

\[\begin{aligned} \sqrt{2} &=1+\frac{1}{1+\left(1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}\right)} \\[4pt] &=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}} \end{aligned} \nonumber \]

y así sucesivamente, lo que produce la fracción infinita continua

\[\sqrt{2}=[1 ; \overline{2}] \nonumber \]

Otro ejemplo que usaremos más adelante es la fracción continuada para\(\pi\), cuyos primeros términos se pueden calcular a partir de

\[\begin{aligned} \pi &=3+0.14159 \ldots \\[4pt] &=3+\frac{1}{7.06251 \ldots} \\[4pt] &=3+\frac{1}{7+\frac{1}{15.99659 \ldots}} \end{aligned} \nonumber \]

y así sucesivamente, produciendo la secuencia inicial\(\pi=[3 ; 7,15, \ldots]\). La aproximación de primer orden históricamente importante viene dada por\(\pi=[3 ; 7]=22 / 7=3.142857 \ldots\), que ya era conocida por Arquímedes en la antigüedad.

Finalmente, para determinar la fracción continuada para la proporción áurea\(\Phi\), podemos escribir

\[\Phi=1+\frac{1}{\Phi} \nonumber \]

que es otra definición recursiva que puede continuar como

\[\Phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\Phi}} \nonumber \]

y así sucesivamente, dando la forma notablemente simple

\[\Phi=[1 ; \overline{1}] . \nonumber \]

Debido a que los trailing\(a_{i}\) son todos iguales a uno, la fracción continuada para la proporción áurea (y otros números relacionados con los finales) converge especialmente lentamente. Además, las sucesivas aproximaciones racionales a la proporción áurea son solo la proporción de números consecutivos de Fibonacci, es decir\(1 / 1,2 / 1,3 / 2,5 / 3\),, etc. Debido a la convergencia muy lenta de esta secuencia, decimos que la proporción áurea es más difícil de aproximar por un número racional. Más poéticamente, la proporción áurea ha sido llamada la más irracional de los números irracionales.

Debido a que la proporción áurea es el número más irracional, tiene una manera de aparecer inesperadamente en la naturaleza. Un ejemplo bien conocido son los floretes en una cabeza de girasol, que discutimos en la siguiente sección.