3.3: Simulación del crecimiento poblacional

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Como hemos visto, el modelado estocástico es significativamente más complicado que el modelado determinista. A medida que el modelado se vuelve más sofisticado, se hace necesaria una simulación numérica. Aquí, para ilustración, mostramos cómo simular realizaciones individuales del crecimiento poblacional.

Un enfoque ingenuo haría uso$b$ directo de la tasa de natalidad. Durante el corto intervalo de tiempo$\Delta t$, cada individuo tiene probabilidad$b \Delta t$ de dar a luz. Podemos decidir si un individuo da a luz generando una desviación aleatoria (un número pseudoaleatorio entre cero y uno): si la desviación aleatoria es menor que$b \Delta t$, entonces el individuo da a luz; si es mayor que$b \Delta t$, entonces el individuo no. Con$N$ individuos a la vez$t$, entonces simplemente calculamos desviaciones$N$ aleatorias. Contar el número de aleatorios se desvía menos de lo que nos$b \Delta t$ permite actualizar el tamaño de la población a la época$t+\Delta t$. Para mayor precisión,$\Delta t$ debe ser pequeño, haciendo de este un método computacionalmente lento.

Sin embargo, existe una manera mucho más eficiente de simular el crecimiento poblacional. Definir una variable aleatoria$\tau=\tau(N)$ para que sea el tiempo que tarda una población en crecer de tamaño$N$ a tamaño$N+1$ debido a un solo nacimiento. La variable aleatoria$\tau$ se denomina tiempo entre eventos y representa el tiempo transcurrido entre nacimientos. Una simulación de tamaño de población$N_{0}$ a tamaño$N_{f}$ requeriría entonces simplemente calcular$N_{f}-N_{0}$ diferentes valores aleatorios de$\tau$, un cálculo relativamente fácil y rápido si conocemos la función de densidad de probabilidad (pdf) de $\tau$.

En consecuencia,$P(\tau)$ definimos como el pdf de$\tau$ para una población de tamaño$N$. La función de distribución acumulativa (cdf)$F(\tau)$, definida como la probabilidad de que el tiempo entre eventos sea menor que$\tau$ viene dado por

\[F(\tau)=\int_{0}^{\tau} P(\tau) d \tau \nonumber \]

donde$P(\tau)=F^{\prime}(\tau)$. La función de distribución acumulativa complementaria (ccdf)$G(\tau)$, definida como la probabilidad de que el tiempo entre eventos$\tau$ sea mayor que el dado por$G(\tau)=1-F(\tau)$

Ahora la probabilidad de que el tiempo entre eventos sea mayor que$\tau+\Delta \tau$, con$\Delta \tau$ pequeño, viene dada por la probabilidad de que sea mayor que$\tau$ veces la probabilidad de que no haya nacimientos en el intervalo de tiempo$\Delta \tau$. Por lo tanto,$G(\tau+\Delta \tau)$ satisface

\[G(\tau+\Delta \tau)=G(\tau)(1-b N \Delta \tau) \nonumber \]

Diferenciar$G$ y tomar el límite$\Delta \tau \rightarrow 0$ arroja la ecuación diferencial

\[\frac{d G}{d \tau}=-b N G \nonumber \]

que se puede integrar usando la condición inicial$G(0)=1$ para obtener

\[G(\tau)=e^{-b N \tau} \nonumber \]

De$G(\tau)$, podemos encontrar

\[F(\tau)=1-e^{-b N \tau}, \quad P(\tau)=b N e^{-b N \tau} \nonumber \]

El pdf,$P(\tau)$, tiene la forma de una distribución exponencial con parámetro$b N$.

Aquí, hacemos uso de un resultado bien conocido de la teoría de la probabilidad que nos permite calcular$\tau$ usando desviaciones aleatorias. Con$y$ una desviación aleatoria, se$\tau$ puede calcular desde$\tau=F^{-1}(y)$, donde$F^{-1}$ está la función inversa de$F .$ La fórmula correcta para la distribución exponencial es

\[\tau=-\frac{\ln (1-y)}{b N} \nonumber \]

Para simular una población que crece de$N_{0}$ a$N_{f}$, calculamos desviaciones$N_{f}-N_{0}$ aleatorias$y$, y luego calculamos los tiempos intereventos correspondientes usando$(3.3.6)$, teniendo cuidado de ajustar el tamaño de la población $N$a medida que crece la población.

A continuación, ilustramos una función simple de MATLAB que simula una realización del crecimiento de la población desde el tamaño inicial$N_{0}$ hasta el tamaño final$N_{f}$, con la tasa de natalidad$b$.

$clipboard_efdf560ad98aa12e8df103c9f2207bd79.png$

La función population_growth_simulation.m puede ser impulsada por un script de MATLAB para calcular las realizaciones del crecimiento de la población. Por ejemplo, el siguiente guión calcula 25 realizaciones para un crecimiento poblacional de 10 a 100 con$b=1$ y traza todas las realizaciones:

La figura$3.1$ presenta tres gráficas, mostrando 25 realizaciones de crecimiento poblacional comenzando con tamaños poblacionales de 10,100 y 1000, y terminando con tamaños poblacionales un factor de 10 mayores. Observar que la varianza, relativa al tamaño inicial de la población, disminuye a medida que aumenta el tamaño inicial de la población, siguiendo nuestro resultado analítico (3.31). a)

Figura 3.1: Veinticinco realizaciones de crecimiento poblacional con tamaños de población iniciales de 10,100, y 1000, en (a), (b) y (c), respectivamente.