5.2: Tarifas Relacionadas
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Como hemos visto,\(\frac{dy}{dx}\) es la tasa instantánea de cambio de\(y\) con respecto a\(x\text{.}\) En el capítulo 4 aprendimos técnicas para encontrar\(\frac{dy}{dx}\) cuándo\(y\) se define como una función de\(x\text{.}\) En la última sección aprendimos a usar la diferenciación implícita para encontrar\(\frac{dy}{dx}\) cuando nos dieron una ecuación en\(x\) y\(y\text{.}\) En esta sección queremos encontrar\(\frac{dy}{dx}\) cuándo\(x\) y ambos\(y\) se describen en términos de otra variable. Al igual que con la sección sobre tarifas relacionadas, comenzaremos con un ejemplo donde podemos resolver el problema eliminando la variable extra antes de diferenciar, y luego veremos cómo resolver con tarifas relacionadas.
Podemos comprar widgets por $10. El precio de demanda de los widgets es de $20 menos 0.1 veces la cantidad a vender. Encontrar el derivado de ingresos con respecto al gasto.
Solución
Solución a: Las funciones de ingresos y costos de los widgets dependen de la cantidad (q). Las fórmulas para ingresos y costos son:
\[ revenue=q(20-0.1q)=20q-0.1q^2. \nonumber \]
\[ cost=10q. \nonumber \]
Podemos resolver la segunda ecuación por cantidad y volver a sustituirla en la primera ecuación. Esto ahora nos da la función de ingresos en términos de costo (c).
\[ quantity =.1*c. \nonumber \]
\[ revenue=2c-0.001 c^2. \nonumber \]
Es sencillo tomar el derivado.
\[ \frac{d\ revenue}{d\ cost}=2-0.002*cost. \nonumber \]
Tenga en cuenta que el derivado es positivo por costo entre $0 y $1000. Esto implica que los ingresos van en aumento hasta que el costo es de $1000. Después de que alcanzamos un costo de $1000, el derivado se vuelve negativo. Esto indica que los ingresos en realidad disminuirán.
El método alternativo es diferenciar las ecuaciones para revenue (\(r\)) y cost (\(c\)) con respecto a quantity (\(q\)), y encontrar las dos derivadas\(\frac{d\ r}{d\ q}\) y\(\frac{d\ c}{d\ q}\text{,}\) luego tratarlas como fracciones. La derivada que queremos es el cociente de estas fracciones.
Solución b: Las funciones de ingresos y costos de los widgets son las mismas que las anteriores.
\[ revenue=20q-0.1 q^2. \nonumber \]
\[ cost=10q. \nonumber \]
Ahora diferenciamos
\[ \frac{d\ r}{d\ q} =20-0.2 q. \nonumber \]
\[ \frac{d\ c}{d\ q}=10. \nonumber \]
Dividimos estos derivados para obtener el derivado deseado.
\[ \frac{change\ in\ revenue}{change\ in\ cost}: \frac{d\ r}{d\ c}=\frac{d\ r}{d\ q}/\frac{d\ c}{d\ q}=(20-0.2 q)/10 \nonumber \]
Sustituyendo q =.1 c da la misma solución que tuvimos del primer método.
Al utilizar el método de tasas relacionadas, actuamos como si los derivados fueran fracciones que podemos multiplicar o dividir para obtener la fracción apropiada. Queremos usar un poco de precaución con ese enfoque, porque no funciona con derivadas de orden superior, ni con derivadas de funciones de varias variables. Sin embargo, para las derivadas de una variable la intuición funciona. Una vez más, si nos acercamos lo suficiente, la curva se verá como una línea recta y la derivada es el cociente de subida sobre corrida.
Para el primer ejemplo podríamos usar ambos métodos. O usamos álgebra para eliminar la variable extra o encontramos dos tasas de cambio y las combinamos para encontrar la tasa que nos interesa. Para algunos problemas solo tendremos una opción, ya sea porque el álgebra es demasiado duro, o porque se nos ha dado información parcial y el método algebraico es imposible.
Las ecuaciones de costo (\(c(q)\)) e ingreso (\(r(q)\)) para artilugios se dan en términos de cantidad (q)
\[ r(q)=30q-0.1 q^2-0.001 q^3. \nonumber \]
\[ c(q)=500+10q-0.01 q^2. \nonumber \]
Encuentre el derivado de ingresos con respecto al costo (es decir,\(\frac{dr}{dc}\) cuando\(q=50\text{.}\)
Solución
Dado que el costo es cuadrático en cantidad, resolver ingresos en función del costo implica más trabajo del que necesitamos para este problema. Los derivados apropiados son:
\[ \frac{d\ r}{d\ q} =30-0.2 q-0.003 q^2. \nonumber \]
\[ \frac{d\ c}{d\ q}=10-0.02 q. \nonumber \]
Cuando q =50, tenemos
\[ \frac{d\ r}{d\ q} =30-0.2*50-0.003*50^2=12.5. \nonumber \]
\[ \frac{d\ c}{d\ q}=10-0.02*50=9. \nonumber \]
Dividimos estos derivados para obtener el derivado deseado.
\[ \frac{d\ r}{d\ c} =\frac{d\ r}{d\ q}/\frac{d\ c}{d\ q} =\frac{12.5}{9}\approx 1.389 \nonumber \]
Esto quiere decir que cuando\(quantity=50\text{,}\) hay un incremento de $1.39 por cada dólar aumenta el costo de inversión.
Tenemos la siguiente información de costos e ingresos para whatchamacallits:
\[ revenue=50*quantity-0.01*quantity^2. \nonumber \]
\[ \frac{d\ cost}{d\ quantity}=15. \nonumber \]
Encuentre la derivada de ingresos con respecto al costo cuando cantidad=100.
Solución
En este ejemplo no tenemos una fórmula que nos permita resolver por ingresos en función del costo, por lo que debemos utilizar el método de tarifas relacionadas. El resto de derivados es:
\[ \frac{d\ revenue}{d\ quantity} =50-0.02*quantity. \nonumber \]
Cuando\(quantity=100\text{,}\) tenemos\(\frac{d\ revenue}{d\ quantity} =50-0.02*100=48\text{.}\) Así
\[ \frac{d\ revenue}{d\ cost} =\frac{d\ revenue}{d\ quantity}/\frac{d\ cost}{d\ quantity} =\frac{48}{15}=3.2. \nonumber \]
Las tarifas relacionadas también son útiles cuando estamos viendo un proceso de dos pasos y nos interesa la tasa del proceso combinado.
Estamos produciendo widgets (w). El proceso de fabricación convierte el goop (g) en lodo (s) y el lodo en widgets. Las ecuaciones de rendimiento en las unidades apropiadas son:
\[ widgets(sludge)=4*sludge-0.1*sludge^2, \nonumber \]
o en notación taquigrafía:\(w(s)=4 s-0.1 s^2\)
\[ sludge(goop)=3*goop+.1*goop^2. \nonumber \]
o en notación taquigrafía:\(s(g)=3 g+.1 g^2\)
Encuentra la derivada de widgets con respecto a goop cuando\(goop=10\text{.}\)
Solución
Observamos que cuando\(g=10\text{,}\) tenemos\(s=3*10+.1*10^2=40\text{.}\) En este ejemplo tomaremos las derivadas de nuestra ecuación. Luego los multiplicaremos para obtener la derivada que queramos.
\[ \frac{d\ widgets}{d\ sludge}=\frac{dw}{ds}=4-0.02*s. \nonumber \]
\[ \frac{d\ sludge}{d\ goop}=\frac{ds}{dg}=3+.2*g. \nonumber \]
Cuándo\(goop=10\text{,}\)\(\frac{d\ w}{d\ s} =(4-0.02*40)=3.2\text{,}\) y\(\frac{d\ s}{d\ g}\text{.}\) Necesitamos multiplicar los derivados para cancelar el\(d\ s\text{.}\)
\[ \frac{dw}{dg} =\frac{dw}{ds}*\frac{ds}{dg}=(3.2)(5)=16. \nonumber \]
Así, la tasa de producción de widgets está aumentando en 16 unidades por incremento en la unidad de goop en ese punto.
A menudo nos encontramos con situaciones en las que varias cantidades están relacionadas por alguna restricción o ecuación. En tales situaciones vamos a querer saber la tasa a la que las cantidades están cambiando con el tiempo. La técnica de tarifas relacionadas nos da una manera de pasar de una tarifa con respecto al tiempo a otra. Recordemos la ecuación Cobb-Douglas de la última sección.
\[ Y=AL^\alpha K^\beta, \nonumber \]
donde\(Y\text{,}\)\(L\text{,}\) y\(K\) representan la producción total, mano de obra y capital, respectivamente. Si conocemos la tasa de inversión en equipo de capital, nos interesará la tasa de cambio de mano de obra con respecto al tiempo. Una pregunta interesante es preguntar por la tasa de cambio de capital con respecto a la mano de obra, o cómo aumentar o reducir la inversión de capital elevará o bajará los costos laborales.
Un fabricante de artilugios tiene una función de producción dada por
\[ Y=50L^.75 K^.25. \nonumber \]
Actualmente el fabricante utiliza 16 unidades de mano de obra y 81 unidades de capital. La producción total es constante pero el fabricante está invirtiendo en automatización. El derivado del capital respecto al tiempo es 5. ¿Qué tan rápido cambia la cantidad de mano de obra necesaria?
Solución
Estamos gong de asumir que tanto el trabajo como el capital son funciones del tiempo y la Y es una constante. Comenzamos diferenciando implícitamente nuestra ecuación con respecto al tiempo.
\[ \frac{d}{dt}(Y=50L^.75 K^.25) \nonumber \]
\[ 0=50*(0.75*L^{-0.25}*\frac{dL}{dt}*K^{.25}+L^{.75}*.25*K^{-0.75}*\frac{dK}{dt}) \nonumber \]
Ahora sustituimos los valores de\(K\text{,}\)\(L\text{,}\) y\(\frac{dK}{dt}\text{,}\) que se dieron.
\[ 0=50*(0.75*16^{-0.25}*\frac{d\ L}{(d\ t}*81^{.25}+16^{.75}*.25*81^{-0.75}*2) \nonumber \]
\[ 0=3/4*1/2*\frac{dL}{dt}*3+8*1/4*1/27*2 \nonumber \]
\[ \frac{dL}{dt}=-32/243\approx -0.1317 \nonumber \]
Si el capital aumenta a una tasa de 2 por unidad de tiempo, entonces la mano de obra está disminuyendo a una tasa de -0.1317 por unidad de tiempo.
Resumen
La técnica de tasas relacionadas es una aplicación de la regla de la cadena. Utilizamos esta técnica cuando tenemos tres variables. Podemos querer la tasa de cambio de una variable con respecto a una segunda y esas variables pueden estar conectadas a través de ecuaciones usando una tercera variable. También podemos querer relacionar la tasa de cambio de dos variables con respecto al tiempo. Aprovechamos que podemos pensar en una derivada como una fracción de dos valores pequeños. O queremos multiplicar o dividir estas fracciones para obtener la derivada deseada.
clase=”Ejercicios: Problemas relacionados con las tarifas
Let\(y=3x+5\) y\(z=4y+7\text{.}\) Find\(\frac{dz}{dx}\) cuando\(x=2\) resolviendo para\(z\) en función de\(x\) y tomando la derivada, y también encontrando\(\frac{dz}{dy}\)\(\frac{dy}{dx}\) y usando tarifas relacionadas para aplicar la regla de la cadena.
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- \[ z=4y+7= 4(3x+5)+7=12x+27 \nonumber \]