5.3: Elasticidad
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La elasticidad de la demanda es un concepto de la economía que mira a la tasa relativa de cambio más que a la tasa de cambio. Queremos ver cómo expresamos esto como una variante de la derivada.
La ley de la demanda establece que aumentamos la demanda bajando el precio y bajando la demanda al subir el precio. La ingenua tasa de cambio en ese caso sería el cambio de cantidad con respecto al precio. Sin embargo, esa tasa de cambio no es particularmente útil. Si me dicen que puedo vender 100 unidades más si bajo el precio en $1 la unidad, no sé si debo bajar el precio. Definitivamente me gustaría bajar el precio si vendo autos por un precio promedio de 20,000 dólares y normalmente vendo 200 autos al año. No me gustaría bajar el precio si vendo gasolina a $4.00 el galón y vendo 5,000,000 galones al año.
En lugar de mirar la derivada de la cantidad con respecto al precio, o la tasa de cambio con respecto al precio, queremos mirar la tasa relativa de cambio con respecto al precio, o la Elasticidad de la Demanda.
Si un pequeño cambio en el precio provoca un gran cambio en la demanda, la demanda es elástica. En ese caso, generalmente quiero bajar el precio y conseguir muchos más clientes. Si necesito hacer un gran cambio de precio para conseguir un pequeño cambio en la demanda, la demanda es inelástica. Con una demanda inelástica puedo aumentar ingresos al subir precio. Así, la elasticidad de la demanda nos da una herramienta para maximizar los ingresos. Podemos ver que este tema es el caso discreto (elasticidad de arco) o el caso continuo (elasticidad puntual).
Elasticidad puntual
Para entender la elasticidad nos fijamos en el caso simple cuando la función de precio de demanda es lineal. En ese caso, podemos usar la geometría para entender el problema.
Si\((Q_0,P(Q_0 ))\) es un punto para un precio\(P(Q_0)\) y cantidad dados\(Q_0\text{,}\) entonces los ingresos son\(Q_0*P(Q_0)\text{,}\) el precio multiplicado por la cantidad en ese punto, o el área del rectángulo anterior. Queremos saber si debemos escoger un punto diferente en la curva de demanda para aumentar el área del rectángulo.
Si el caso especial donde el precio y la cantidad son ambos 1, el rectángulo de ingresos es un cuadrado y simplemente podemos mirar la pendiente de la función de demanda. En ese caso, cuando la curva de demanda es más plana que una pendiente de menos 1, aumentar la cantidad aumenta el área porque la cantidad aumenta más rápido que el precio disminuye. De igual manera, cuando la curva de demanda es más pronunciada que una pendiente de menos 1, aumentar la cantidad hace que el precio disminuya aún más rápido, por lo que el área del rectángulo disminuye.
Observamos que la pendiente de la curva de demanda normalizada es casi siempre negativa. Por lo tanto, es conveniente hablar del negativo de la pendiente de la curva normalizada de precios de demanda.
Nos referimos a esa cantidad como Elasticidad de la Demanda.
Si la elasticidad es mayor a 1, un pequeño cambio relativo en el precio va con un gran cambio relativo en la cantidad. Esperaríamos alta elasticidad en productos que puedan sustituirse fácilmente. La demanda de gasolina en una gasolinera, cuando hay otras 2 gasolineras en la misma intersección, sería altamente elástica.
Cuando la demanda es elástica\((E \gt 1)\text{,}\) aumentamos los ingresos bajando el precio.
Esperaríamos baja elasticidad en productos que son esenciales para los cuales no existe un sustituto razonable. Los anillos de boda y los medicamentos que salvan la vida tendrían una demanda altamente inelástica.
Cuando la demanda es inelástica (E\(\lt\) 1), aumentamos los ingresos al aumentar el precio.
Un cambio relativamente grande en el precio producirá un cambio relativamente pequeño en la demanda. Los ingresos estarán en un máximo cuando la elasticidad sea 1. Esta condición se conoce como elasticidad unitaria.
Tenga en cuenta que generalmente hemos descrito el precio como una función de la cantidad y en la definición de elasticidad utilizamos el derivado obtenido de hacer de la cantidad una función del precio. Por las tarifas relacionadas, sabemos que estos derivados son recíprocos entre sí.
La función de precio de demanda para widgets se da en términos de cantidad (q).
\[ P(q)=20-q/100. \nonumber \]
- Encuentra la elasticidad cuando q=800. Interpretar lo que eso significa para la estrategia para aumentar los ingresos.
- Comparar con la situación cuando q=1500.
Solución
- La fórmula para la elasticidad es:
\[ E=\frac{-d Q}{d P}*\frac{P(Q_0 )}{Q_0} \nonumber \]
Necesito computar\(P(Q_0 )\) y\(\frac{-d Q}{d P}\text{.}\) sustituir en la función de demanda,
\[ P(800)=20-800/100=20-8=12 \nonumber \]
Para encontrar\(\frac{d Q}{d P}\text{,}\) recuerdo de tarifas relacionadas, que\(\frac{d Q}{d P}=1/\frac{d P}{d Q}\text{.}\)
\[ \frac{d Q}{d P}=1/\left(\frac{d P}{d Q}\right)=1/\left(\frac{-1}{100}\right)=-100 \nonumber \]
Así
\[ Elasticity= \frac{-d Q}{d P}*\frac{P(Q_0 )}{Q_0} =-(-100)*\frac{12}{800}=1.5 \nonumber \]
Dado que la demanda es elástica cuando la cantidad es de 800, debemos bajar el precio, provocando un aumento relativamente grande de la cantidad, para aumentar los ingresos.
- Cuando la cantidad es 1500, el precio de demanda es 5 y el derivado de cantidad con respecto al precio sigue siendo -100.
\[ Elasticity=\frac{-d\ Quantity}{d\ Price}*\frac{P(Q_0)}{Q_0} =-(-100)*\frac{5}{1500}=1/3 \nonumber \]
Dado que la demanda es inelástica cuando la cantidad es de 1500, deberíamos subir el precio, provocando una disminución relativamente pequeña en la cantidad, para elevar los ingresos.
En este ejemplo, la función de ingresos es
\[ revenue=price*quantity=20 q-q^2/100. \nonumber \]
Reconocemos que se trata de una parábola descendente con un máximo cuando q=1000, lo cual es consistente con nuestros resultados.
Elasticidad de Arco
La elasticidad puntual se desarrolló para su uso con una función de precio de demanda continua donde podríamos tomar un derivado. A menudo, nuestra función de precio de demanda es un conjunto de puntos discretos, porque nuestra cantidad tiene que ser un número entero. Nos gustaría adaptar la elasticidad a ese caso.
Para elasticidad de arco tenemos dos puntos cantidad-precio\((quantity_1,price_1)\) y\((quantity_2,price_2)\text{.}\) queremos adaptar nuestra fórmula de elástico a la caja discreta. Podemos pensar en el derivado,\(\frac{d Q}{d Q}\text{,}\) como la relación de pequeños cambios en cantidad y precio. El mejor valor por precio y cantidad es el valor promedio de los dos puntos.
Nuestra fórmula se convierte en:
\[ E=\frac{-\Delta quantity}{\Delta price}*\frac{average\ price}{average\ quantity} \nonumber \]
\[ =-\frac{quantity_2-quantity_1}{price_2-price_1} *\frac{(price_1+price_2)/2}{(quantity_1+quantiy_2)/2} \nonumber \]
Elasticidad del arco:\(E=-\frac{quantity_2-quantity_1}{price_2-price_1} *\frac{price_1+price_2}{quantity_1+quantiy_2}\)
Dos puntos cantidad-precio para artilugios son (5000, 20) y (5200, 18). ¿Cuál es la elasticidad del arco entre los dos puntos? ¿Qué precio produce mayores ingresos?
Solución
La fórmula para la elasticidad del arco es:
\[ E=-\frac{quantity_2-quantity_1}{price_2-price_1} *\frac{price_1+price_2}{quantity_1+quantiy_2} \nonumber \]
\[ E=-\frac{5200-5000}{18-20}*\frac{20+18}{5000+5200} =-\frac{200}{-2}*\frac{38}{10400}\approx.373 \nonumber \]
El mercado de artilugios es inelástico, ya que una caída de precios de alrededor de 10% solo aumenta el mercado en aproximadamente 4%. Para incrementar los ingresos, debo cobrar el precio más alto.
Comprobando mi trabajo calculando los ingresos en los dos puntos, el primer punto, con el mayor precio y menor cantidad produce $100,000, mientras que el segundo punto, con un precio menor y mayor cantidad produce $93,600 en ingresos.
Podemos usar la elasticidad para aproximar el cambio en los ingresos de un cambio en el precio.
Ejemplo 3: La elasticidad a corto plazo para los gadgets es de 0.6. ¿Cuál es el cambio porcentual en los ingresos si el precio se eleva un 5%?
Solución
3: Una fórmula alternativa para la elasticidad es:
\[ E=-\frac{\% change\ in\ quantity} {\% change\ in\ price} \nonumber \]
Así vemos que el% de cambio en cantidad es - (0.6) * 5% = -3%. Así el nuevo precio es 1.05 veces el precio antiguo y la nueva cantidad es 0.97 veces la cantidad anterior.
\[ NewRevenue=NewPrice*NewQuantiy \nonumber \]
\[ =(1.05*OldPrice)*(0.97*OldQuantity) \nonumber \]
\[ =1.0185*OldRevenue \nonumber \]
Por lo tanto, elevar el precio en un 5% aumentará los ingresos en 1.85%.
Ejercicios: Problemas de elasticidad
clase=”Para los problemas 1-6, para la función demanda-precio dada y la cantidad:
- Encuentra el precio asociado a la cantidad dada.
- Encuentra la elasticidad para la cantidad dada.
- Indicar qué estrategia de precios, subir, bajar o mantenerse estable en los precios, aumenta los ingresos.
- Encuentra el precio y la cantidad que maximiza las ganancias.
\[ price=30-\frac{quantity}{50};\quad quantity=300. \nonumber \]
- Contestar
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- \[ price=30-\frac{300}{50}=30-6=24 \nonumber \]