6: Funciones de varias variables

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Desde un punto de vista formal, los primeros 5 capítulos de este texto se han ocupado de funciones de una variable. De manera más realista, hemos estado observando funciones de varias variables todo el tiempo. Si consideramos la fórmula para encontrar cuánto hay en una cuenta bancaria en el futuro, tenemos la fórmula:

\[ FutureAmount=InitialDeposit*\left(1+\frac{rate}{ppy}\right)^{years*ppy} \nonumber \]

donde ppy es el número de periodos por año, indicando con qué frecuencia se compone el interés. Desde un simple punto de vista, el monto futuro es una función de 4 variables, el depósito inicial, la tasa anual, los periodos anuales y el número de años. Para considerar esto como una función de una sola variable, fijamos 3 de las 4 variables como constantes para un problema particular. En este capítulo queremos abordar la situación más realista en la que tratamos más de una cantidad como variable a la vez. Este enfoque tiene la ventaja añadida de que la mayoría de las funciones de interés del mundo real tienen más de una variable. Antes de ver las funciones de varias variables, queremos crear una lista de tareas que hemos aprendido a realizar con funciones de una variable:

Evaluar la función en un punto determinado con Excel.
Hacer una tabla de valores en una serie de puntos con Excel.
Hacer una gráfica razonable a partir de una tabla de valores.
Amplíe una gráfica hasta que parezca una línea recta.
Encuentra la pendiente de la línea tangente.
Dar una fórmula para la línea tangente en un punto.
Identificar los lugares donde la línea tangente es plana.
Encuentra los extremos locales para la función.
Encuentra extremos globales para la función.
Aprender aplicaciones de la derivada.

Nos gustaría ver cómo extender estas tareas a funciones de varias variables. La mayor parte de este capítulo simplemente señala cómo modificar las reglas que aprendimos para funciones de una sola variable al caso multivariable.