6.1: Evaluación y Gráfica de Funciones de Varias Variables

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Cuando estábamos evaluando funciones de una sola variable tuvimos que reemplazar la variable con una referencia de celda. Hacemos lo mismo para funciones de varias variables. Simplemente tenemos que usar varias referencias celulares.

Ejemplo 6.1.1: Saldos Bancarios.

Encuentra la cantidad de dinero que tendré en el banco en 10 años si deposito $1000 y el banco paga 5% de interés, compuesto trimestralmente. Configurar el problema en Excel para que pueda usar la hoja de trabajo para problemas similares con diferentes números.

Solución

Utilizamos la fórmula para el valor futuro de un solo depósito.

\[ FutureAmount=InitialDeposit*\left(1+ \frac{rate}{ppy}\right)^{years*ppy} \nonumber \]

En lugar de escribir los números en la fórmula, los colocamos en celdas separadas, para que podamos cambiar fácilmente los valores de cualquiera de las 4 variables.

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Al cabo de 10 años, tenemos $1,643.62 en el banco. Al simplemente cambiar los valores en la hoja de trabajo, encuentro que al componer los intereses anualmente se reduce el monto final en 10 años a 1.628.89 dólares, mientras que la capitalización semanal aumenta la cantidad final a 1.648,33 dólares.

En este ejemplo tenemos hasta cuatro variables. Podríamos variar: el depósito inicial, la tasa, el número de periodos anuales y la tasa de interés. En capítulos anteriores tenemos una variable (digamos q) y la función (como beneficio) que depende de$q\text{.}$ Tal función podría escribirse como algo así como$profit(q)= -3 q^2+500q-1000\text{.}$

Si simplificamos un poco la notación en este ejemplo para que tengamos

\[ FA(d,r,p,y)=d*\left(1+\frac{r}{p}\right)^{(y*p)} \nonumber \]

Donde FA es el monto futuro, y esto es una función de cuatro variables d (depósito), r (tasa de interés), p (número de pagos) e y (número de años).

Ejemplo 6.1.2: Precio de Demanda desde 2 Puntos.

Encuentra los ingresos para 500 widgets si sé que el precio de demanda para 100 widgets es de $20, el precio de demanda para 200 widgets es de $18.75, y que el precio de demanda es una función lineal. Configurar el problema en Excel para que pueda usar la hoja de trabajo para problemas similares con diferentes números.

Solución

Para que nuestra hoja de trabajo sea más fácil de leer, utilizamos celdas con nombre. Primero tenemos que encontrar una ecuación para la fórmula del precio de demanda. Calculamos una pendiente e interceptamos para esta línea a partir de los puntos (100, 20) y (200, 18.75). Una vez que tenemos esta función, encontramos que el precio de demanda es de $15 cuando la cantidad es de 500. Luego calculamos los ingresos como precio veces cantidad.

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En este problema, los ingresos son una función de 5 variables: Demand1, Demand2, Price1, Price2 y NewDemand.

La siguiente tarea a considerar es hacer una tabla de valores para una función de varias variables. Dado que nuestras pantallas tienen 2 dimensiones, primero miramos el caso cuando permitimos que cambien dos valores. Cuando hicimos una tabla para una sola variable, tuvimos que usar tanto la referencia de celda absoluta como la relativa para distinguir entre los valores constantes utilizados para todas las entradas y las variables que cambiaban en cada caso. Con funciones de dos variables nuestra tabla tendrá filas donde una variable se mantiene constante y columnas donde la otra se mantiene constante. Observamos que el llenado rápido de una fórmula con la referencia $A5 mantendrá la columna, A constante pero permitirá que la fila cambie. De igual manera con la referencia A$5 la columna puede cambiar, pero la fila es constante.

Ejemplo 6.1.3: Construyendo una Tabla con Dos Variables.

Quiero producir una mesa que muestre cuánto necesito poner en el banco para tener 100.000 dólares en algún momento en el futuro. Asumiré que los intereses se suman anualmente. Quiero que la tasa de interés y el número de años sean tratados como variables con tasas de interés que van del 5% al 6% y la duración del tiempo para variar de 5 a 40 años.

Solución

Utilizamos la fórmula para el valor presente de un solo depósito. Dado que el interés se agrava anualmente, la fórmula se simplifica.

\[ PresentAmount=\frac{FutureAmount}{(1+rate)^{years}} \nonumber \]

A medida que construyamos la tabla, la cantidad futura será una constante, por lo que hay que darle como referencia absoluta. El número de años estará abajo del lado izquierdo de la tabla y será constante a través de una fila, por lo que su referencia debe tener un signo de dólar antes de la letra. La tasa de interés se listará en la parte superior de la tabla, por lo que su referencia debe tener un signo de dólar antes del número.

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Esto nos permite construir la mesa que deseamos. De la tabla completa, vemos que podemos tener $100,000 en el banco en 40 años haciendo un depósito de $9,722.22 al 6% de interés. En contraste si solo ganamos 5% de interés y solo podemos mantener el dinero en el banco por 15 años, necesitamos comenzar con 48,101.71 dólares.

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De igual manera, podríamos querer producir una tabla que muestre el pago mensual de una hipoteca donde tanto la tasa de interés anual como el número de años sean tratados como variables. Tal gráfico sería útil para decidir qué tan grande es una hipoteca que una persona puede pagar con diferentes tipos de hipotecas.

Ejemplo 6.1.4: Pagos Hipotecarios.

Quiero producir una tabla que muestre el pago mensual de una hipoteca de 100.000 dólares con un rango de tasas de interés y duraciones de la hipoteca.

Solución

Utilizamos el comando PMT para encontrar el pago mensual.

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Podemos ver que el pago mensual es de 421.60 dólares por una hipoteca a tasa fija a 30 años al 3% compuesto mensual. Para una hipoteca a 10 años al 6% el pago aumenta a $1,110.21.

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Después de construir una tabla para una función también nos gustaría ver una gráfica de la función. Las habilidades de Excel para graficar superficies en ninguno de los puntos fuertes del programa. Sin embargo, es útil ser “capaz de ver el panorama general” mirando una gráfica. También notaremos cómo dibujar una gráfica de una superficie con Wolfram Alpha.

Cuando miramos modelos de precio, cantidad, costo, ingresos y ganancias, hicimos la suposición simplificadora de que una empresa solo produce un producto. Queremos considerar qué pasa con dos productos.

Ejemplo 6.1.5: Tabla y Gráfica.

Tengo una empresa que produce 2 productos, widgets y artilugios. Las dos funciones de demanda son:

\[ PriceGizmos=10-QuantityGizmos/50 \nonumber \]

\[ PriceWidgets=20-QuantityWidgets/40 \nonumber \]

Producir una tabla y una gráfica de ingresos en función de la cantidad de artilugios y widgets producidos.

Solución

Tenemos que comenzar por producir una fórmula para los ingresos. Para acortar las ecuaciones abreviaremos los términos o usaremos iniciales. Necesitamos fórmulas de ingresos para cada uno de nuestros productos:

\[ RevG=PriceG*QG=\left(10-\frac{QG}{50}\right)QG=10QG-\frac{QG^2}{50}. \nonumber \]

\[ RevW=PriceW*QW=\left(20-\frac{QW}{40}\right)QW=20QW-\frac{QW^2}{40}. \nonumber \]

Armar las ecuaciones da una ecuación para los ingresos.

\[ Rev=RevG+RevW=10QG-\frac{QG^2}{50}+20QW-\frac{QW^2}{40}. \nonumber \]

A continuación construimos una construir una tabla para la función como hemos hecho anteriormente.

$clipboard_e5f99c7c195919d509d958ab0ca03e250.png$

Por último, nos gustaría ver una gráfica de la función. Notamos que las parcelas 3D en Excel tienen una serie de inconvenientes. Las gráficas no etiquetan las variables de entrada. Estas primeras parcelas tampoco nos dicen qué valores de las variables corresponden a puntos particulares de la gráfica. Algunos de estos inconvenientes se pueden superar, pero sólo con más trabajo del que deseamos invertir en este curso. Solo agregaremos una opción no intuitiva para que las gráficas funcionen mejor.

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Vamos a mover los nombres de las variables fuera de la esquina superior izquierda del gráfico y a la fila de arriba y al lado de los datos. Dejamos en blanco la celda de la esquina. Esto nos permitirá ver los valores de las variables en las gráficas. En la tabla, seleccionamos los datos que nos gustaría graficar. En este ejemplo seleccionamos de las celdas B4 a M12. Finalmente seleccionamos un gráfico para insertar. Los gráficos que nos interesan son gráficos de superficie. Los tipos de interés son 3-D Surface, Wireframe 3-D y contorno. Cada uno de estos tipos de gráficos resalta cierta información útil.

La superficie 3-D ofrece una imagen rápida. Es útil para ver mínimos y máximos locales.

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La gráfica Wireframe 3-D enfatiza que podemos construir una imagen razonable a partir de las curvas obtenidas tratando ya sea x o y como una constante. Nos permite entender una función de 2 variables al armar una colección de varias funciones de una variable. Este punto de vista será útil cuando intentemos tomar derivados.

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El gráfico de contorno enfatiza las curvas de nivel. La tasa de cambio será más rápida en una dirección perpendicular a las curvas de nivel.

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Otra alternativa para ver una gráfica es usar Wolfram Alpha. Desafortunadamente, los nombres de variables en Alfa parecen estar limitados a una sola letra, o una letra seguida de un dígito. Así cambiamos la fórmula a una usando los nombres g y w.

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Las técnicas de esta sección nos permiten observar funciones de dos variables. En la siguiente sección exploramos técnicas para comprender funciones de varias variables tratando algunas de las variables como constantes.

Ejercicios: Evaluar y Graficar Funciones de Varios Problemas de Variables

Para los ejercicios 1-9, configurar un cuaderno Excel, y evaluar la función dada de varias variables en los valores indicados. El libro de trabajo debe estar configurado para que los valores de entrada puedan cambiarse y la fórmula se vuelva a calcular con los nuevos valores.

Ejercicio 1

Evaluar la función$f(x,y)=x^2+3xy+4y^2\text{,}$ cuando$x=4\text{,}$ y$y=-2\text{.}$

Responder: Configurando esto para que los valores de$x$ y se$y$ puedan cambiar fácilmente definimos$x$ y$y$ en celdas separadas y luego ingresamos la función que calcula$f(x,y)$

$clipboard_edbd2d0ea267afe83462023734e258349.png$

Comandos de Excel y configuración general

$clipboard_e79a98c4a837c1e54202cf5483546b157.png$

Salida de Excel

Ejercicio 2

Evaluar la función$f(x,y,z)=x^2+3xy+4y^3+5xyz\text{,}$ cuando$x=3\text{,}$$y=5\text{,}$ y$z=7\text{.}$

Ejercicio 3

Costo expreso en función de la cantidad, costo inicial y costo por unidad, cuando el costo inicial es de $2,000, el costo por unidad es de $25 y la cantidad es de 75.

Responder: La función que tendríamos es

\[ Cost=Initial\ cost+per\ unit\ cost*quantity \nonumber \]

Podemos configurarlo como una hoja de trabajo general de Excel que nos permita variar los tres dados.

$clipboard_edb6f7f8c356c4c4055415865f62e852c.png$

Comandos de Excel y configuración general

$clipboard_e480cbb5d4a1af2756cae41c9bf8ec110.png$

Salida de Excel

Ejercicio 4

Ingresos expresos en función de dos pares cantidad demanda-precio y cantidad, asumiendo que el precio de demanda es una función lineal, donde los pares cantidad demanda-precio son$(0, \$20)$ y$(100, \$18)$ y la cantidad es 300. (Puede resultarle útil tener cálculos intermedios que encuentren los coeficientes de la función de precio de demanda, y el precio de demanda).

Ejemplo 5

Ingresos expresos en función de dos pares cantidad demanda-precio y cantidad, asumiendo que el precio de demanda es una función exponencial, donde los pares cantidad precio son$(0, \$20)$ y$(100, \$18)$ y la cantidad es 300. (Puede resultarle útil tener cálculos intermedios que encuentren los coeficientes de la función de precio de demanda, y el precio de demanda).

Solución

Para obtener la ecuación de precios podemos resolver el sistema de ecuaciones que obtenemos evaluando la función exponencial$P=P_0 e^{kq}$ en los dos puntos dados:

\[ (0,20) \text{ gives us } 20=P_0 e^{(k*0)} \nonumber \]

\[ (100,18) \text{ gives us } 18=P_0 e^{(k*100)} \nonumber \]

Luego$P_0=20$ (a partir de la primera ecuación), e$18=P_0 e^{(k*100)}$ implica$18=20 e^{(k*100)}$ para que$e^{(k*100)}=18/20$

De ahí$100*k=\ln(18/20)\text{.}$ Resolver para$k\text{:}$

\[ k=1/100\ln(18/20)\approx -0.0011 \nonumber \]

Alternativamente podemos usar Excel. Recuerda que si solo tenemos dos puntos necesitamos agregar uno de los pares dos veces para que Excel pueda graficar los puntos correctamente en un diagrama de dispersión.

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En Excel tenemos la ecuación Precio como

\[ P=20 e^{(-0.001 q)} \nonumber \]

La diferencia entre las respuestas simbólicas y numéricas es una cuestión de cuántos decimales/dígitos significativos elegimos mantener.

La respuesta más sencilla sería tratar el Precio como una función de la cantidad. Pero esta es una sección sobre funciones multivariables. Entonces, ¿y si quisiéramos un entorno más general donde se nos diera lo siguiente:

Dos puntos$(0,P_0)$ y$(q_1,P_1)$
Una cantidad$Q$

La función Price sería

\[ P=P_0 e^{\left(\frac{1}{q_1} \ln\left(\frac{P_1}{P_0}\right) q\right)} \nonumber \]

En Excel podríamos configurar una tabla que nos permitiera cambiar$P_0\text{,}$$P_1\text{,}$$q_1$ y$q$

\[ revenue(P_0,P_1,q_1,q)=q*P_0 e^{\left(\frac{1}{q_1} \ln\left(\frac{P_1}{P_0}\right) q\right)} \nonumber \]

$clipboard_e93407eabe995d9e653694154a99b33a4.png$

Comandos de Excel y configuración general

$clipboard_e8268b98daecef849f17f6bf8660b84f0.png$

Salida de Excel

Ejercicio 6:

Expresa el beneficio en función de dos pares cantidad demanda-precio, cantidad, costo inicial y costo por unidad, asumiendo que el precio de demanda es una función lineal, donde los pares cantidad demanda-precio son$(100, \$30)$ y$(200, \$28)\text{,}$ la cantidad es 300, el costo inicial es $3000 y el costo por unidad es de $8. (Puede resultarle útil tener cálculos intermedios que encuentren el costo y los ingresos).

Ejercicio 7:

Expresar el valor futuro de un depósito en función del depósito inicial, la tasa de interés anual, el número de años que se mantiene el depósito y el número de veces al año que se compone el interés, donde el depósito de $10,000 se mantiene por 20 años a 3% de interés, compuesto mensualmente.

Responder: \[ FutureAmount=InitialDeposit*\left(1+\frac{rate}{ppy}\right)^{years*ppy} \nonumber \]

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Comandos de Excel y configuración general

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Salida de Excel

Para la tasa, debe asegurarse de que la celda esté formateada como porcentaje. O simplemente puede ingresar el decimal 0.03. La fórmula de visualización permite verificar que el número esté formateado correctamente. Queremos que Excel use el valor de 0.03 en la fórmula, no 3.

Ejercicio 8:

Expresar el valor futuro de una serie regular de depósitos en función del monto del depósito periódico, la tasa de interés anual, el número de años que acumulan los depósitos y el número de veces al año en que se realizan los depósitos, donde el depósito de $200 se deposita semanalmente por 20 años a 3% de interés, compuesto semanalmente.

Ejercicio 9:

Expresar el valor actual de un bono en función del valor final, la tasa de interés anual y el número de años que se mantiene el bono, donde el valor final del bono es de $10,000, mantenido por 15 años a 3.5% de interés, compuesto mensualmente.

Responder: \[ InitialDeposit=FutureAmount*\left(1+\frac{rate}{ppy}\right)^{-years*ppy} \nonumber \]

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Comandos de Excel y configuración general

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Salida de Excel

Entonces, para tener 10 mil dólares después de 15 años necesitamos invertir $5,920.08 ahora.

Para los ejercicios 10-17, configura un cuaderno de Excel para producir una tabla para la función dada en función de las dos variables especificadas y los demás parámetros. El libro de trabajo debe estar configurado para que los valores de entrada puedan cambiarse y la fórmula se vuelva a calcular con los nuevos valores.

Ejercicio 10:

Cree una tabla para la función$f(x,y)=3x^2+xy+5y^2\text{,}$ con un$x$ rango de —10 a 10, y$y$ que va de -5 a 15.

Ejercicio 11:

Cree una tabla para la función$f(x,y,z)=xyz+x^2 y-y^2+5z\text{,}$ con un$x$ rango de —10 a 10, y$y$ que va de -5 a 15, con$z=2\text{.}$

Responder

Necesitamos diferentes tipos de referencias absolutas. Si los$x$ valores se ingresan en la columna A, y los$y$ valores se ingresan en la fila 4, y$z$ se almacenan en la celda B2:

Al usar$x\text{,}$ queremos fijar la referencia de columna.
Al usar$y\text{,}$ queremos fijar la referencia de fila.
Al usar z queremos fijar la referencia de celda.

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En forma de tabla obtenemos:

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Siempre podemos verificar nuestro trabajo haciendo doble clic en un valor en la tabla. Esto resaltará los llamados llamados para computar la entrada. Tenga en cuenta que esto verificará si está llamando a la derecha$x\text{,}$$y$ y$z\text{.}$ Para verificar que la fórmula sea correcta, recomendamos la función Mostrar fórmula.

Ejercicio 12:

Cree una tabla que exprese el costo en función de la cantidad y el costo por unidad, con el costo inicial como parámetro, cuando el costo inicial es de $3,000, el costo por unidad oscila entre $20 y $40 por $2 y la cantidad oscila entre 50 y 100 por 5.

Ejercicio 13:

Crear una tabla que exprese el valor futuro de un depósito en función de la tasa de interés anual y el número de años en que se mantiene el depósito, siendo tratados como parámetros el monto del depósito inicial y el número de veces al año que se compone el interés, donde el interés sobre un depósito de $10,000 se compone trimestralmente, y el depósito se mantiene por 20 a 40 años a tasas de interés que van de 3% a 5%.

Responder: Entraremos en el depósito y los tiempos en que el interés se compone (ppy) como parámetros fijos. Los años van de 20 a 40, y la tasa de interés de 3% a 5%. Tenemos suficiente espacio en una hoja para hacer los años en incrementos de 1. El interés se realiza en incrementos de 0.25%. Esto es algo no infrecuente en el mundo bancario.

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¿Cuánto detalle debes dar? Imagínese trabajar en un banco. ¿Cuál sería una buena hoja de cálculo para compartir con un colega, jefe o cliente? Debe estar debidamente etiquetada y debe ser fácil de leer.

Ejercicio 14:

Crear una tabla que exprese el valor futuro de una serie regular de depósitos en función de la tasa de interés anual y el número de años que acumula el depósito, siendo tratados como parámetros el monto de los depósitos y el número de veces al año que se compone el interés, donde un depósito de $2,000 se realizan mensualmente, y los depósitos se acumulan por 20 a 40 años a tasas de interés que van de 3% a 5%.

Ejercicio 15:

Crear una tabla que exprese el valor actual de un bono en función del número de años que se mantiene el bono y la tasa de interés, donde el valor final del bono es de 10,000 dólares, el número de años que se mantiene el bono va de 5 a 40 y la tasa de interés va de 2% a 6%.

Responder: Las entradas en la celda se ven así

$clipboard_e9df87fbcfb4c5934691586d8bfc755ae.png$

$clipboard_e9b9e6ec2567a7556aaa4fd7b0ca9f625.png$

e puede leer fácilmente lo que nuestra inversión inicial necesita ser si queremos ganar $10,000.

Ejercicio 16:

Crear una tabla que exprese los ingresos en función de la cantidad de widgets y artilugios vendidos ya que ambas cantidades van de 0 a 1000, donde las funciones de precio de demanda son:

\[ PriceGizmo=50-\frac{QuantityGizmo}{40}-\frac{QuantiyWidget}{300} \nonumber \]

\[ PriceWidget=40-\frac{QuantityGizmo}{400}-\frac{QuantiyWidget}{50} \nonumber \]

Ejercicio 17:

Crear una tabla que exprese los ingresos en función de la cantidad de widgets y artilugios vendidos ya que ambas cantidades van de 0 a 1000, donde las funciones de precio de demanda son:

\[ PriceGizmo=60(0.9)^{QuantityGizmo/100}-\frac{QuantiyWidget}{200} \nonumber \]

\[ PriceWidget=40(0.85)^{QuantityWidget/100}-\frac{QuantityGizmo}{100} \nonumber \]

Responder: Dejemos$x$ ser Gizmo, y$x$ ser Widget, entonces

\[ PriceX=60(0.9)^{\frac{x}{100}}-\frac{y}{200} \nonumber \]

\[ PriceY =40(0.85)^{\frac{y}{100}}-\frac{x}{100} \nonumber \]

\[ Revenue=x PriceX+y Pricey \nonumber \]

\[ revenue=x 60(0.9)^{\frac{x}{100}}-\frac{y}{200}+y 40(0.85)^{\frac{y}{100}}-\frac{x}{100} \nonumber \]

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Para los ejercicios 18-25, use Excel o WolframAlpha para producir una gráfica de la función descrita en los ejercicios 10-17 respectivamente.