Prefacio

La comprensión de las matemáticas no puede transmitirse por entretenimiento indoloro... es necesario el contacto real con el contenido de las matemáticas vivas. El presente libro... no es una concesión a la peligrosa tendencia a esquivar todo esfuerzo.

Richard Courant (1888—1972) y Herbert Robbins (1915—2001) Prefacio a la primera edición de ¿Qué son las matemáticas?

Los estudiantes interesados de matemáticas, que buscan conocer la “esencia de la disciplina”, y que leen más ampliamente con miras a descubrir de qué se trata realmente el tema, pueden surgir con la impresión justificable de las matemáticas serias como una cordillera austera, pero distante, accesible solo para aquellos quienes dedican su vida a su exploración. Y pueden concluir que el principiante sólo puede apreciar su contorno áspero a través de una bruma de distancia insalvable. Los mejores popularizadores a veces logran transmitir más que esto, incluyendo indicios de la historia humana detrás de desarrollos recientes, y la forma en que diferentes ramas y resultados interactúan de formas inesperadas; pero la esencia de las matemáticas sigue siendo esquiva, y el cuadro que pintan es inevitablemente amplio cepillo sustituto para el detalle de las matemáticas vivas.

Esta colección toma un enfoque diferente. Comenzamos observando que las matemáticas no son una entidad fija —como se podría inferir inconscientemente de la metáfora de una “cordillera austera”. Las matemáticas son un universo mental, un trabajo en progreso en nuestro imaginario colectivo, que crece dramáticamente con el tiempo, y cuya eventual extensión parecería estar sin restricciones —sin límites obvios—. Esta infinidad también funciona a la inversa, cuando se aplica a pequeños detalles: características que pensábamos que habíamos entendido se rellenan repetidamente, o se reinterpretan, de nuevas formas para revelar microestructuras más finas y más finas.

De ahí que sea cual sea la esencia de la disciplina, claramente no es algo a lo que sólo se pueda acceder a través de la exploración completa de algún corpus fijo de conocimiento. Más bien el carácter esencial de las matemáticas parece estar relacionado con

• el tipo de material que cuenta como matemático,
• la forma en que se aborda este material,
• los cambios de perspectiva que ocurren a medida que nuestro entendimiento crece y profundiza, y
• las conexiones inesperadas que emergen regularmente entre hebras y capas separadas.

Hay una serie de libros que dan excelentes consejos generales a los futuros estudiantes sobre cómo las matemáticas universitarias difieren de las matemáticas escolares. En contraste, esta colección —que esperamos sea disfrutada por estudiantes de secundaria interesados y sus profesores, por estudiantes y postgrados, y para muchos otros es más como un taller desordenado que una exposición pulida. Aquí se pide al lector que aborde una secuencia de problemas, que reflexione sobre lo que descubre, y sobre todo que saque sus propias conclusiones (aunque algunos mensajes clave se discuten explícitamente en el texto, o en las soluciones al final de cada capítulo). Este intento de involucrar al lector como un participante activo en el camino es inevitablemente desordenado, y a veces puede resultar frustrante. En particular, mientras que una exposición pulida rompería el texto con diagramas llamativos, un taller desordenado suele dejar al lector dibujar sus propias figuras como parte esencial de la lucha. Este desorden temporal y frustración es una parte integral de “la esencia” que buscamos capturar, siempre que conduzca a destellos ocasionales del poder, y la elegancia de las matemáticas.

Los niños pequeños y estudiantes de todas las edades experimentan regularmente el poder, la economía, la belleza y la elegancia de las matemáticas y del pensamiento matemático a pequeña escala, a través de la lucha con ciertos resultados elementales y problemas (o grupos de problemas). Por ejemplo, uno de los problemas que hemos incluido en el Capítulo 3 fue mencionado explícitamente en una entrevista ¹ con el destacado matemático ruso Vladimir Arnold (1937—2010):

Entrevistador: Por favor, cuéntanos un poco sobre tu educación temprana. ¿Ya te interesaban las matemáticas cuando eras niño?

Arnold: [...] La primera experiencia matemática real que tuve fue cuando nuestro maestro I.V. Morotzkin nos dio el siguiente problema [VA entonces formuló Problema 89en Capítulo 3].

Pasé todo un día pensando en este viejo, y, la solución (basada en lo que ahora se llaman argumentos de escalado, análisis dimensional, o teoría de variedades tóricas, dependiendo de tu gusto) vino como una revelación.

1 Avisos de la AMS, vol. 44, núm. 4.

El sentimiento de descubrimiento que tuve entonces (1949) fue exactamente el mismo que en todos los problemas posteriores mucho más serios —ya sea el descubrimiento de la relación entre la geometría algebraica de las curvas planas reales y la topología cuatridimensional (1970), o entre singularidades de cáusticos y de frentes de onda y, álgebras simples de Lie y grupos Coxeter (1972). Es la codicia de experimentar una sensación tan maravillosa cada vez más veces que fue, y sigue siendo, mi principal motivación en matemáticas.

Esto sugiere que las matemáticas escolares no necesitan ser vistas únicamente como un aprendizaje extendido, que de alguna manera es diferente del oficio de las matemáticas en sí. Tal vez algunos aspectos de las matemáticas elementales se puedan experimentar como si fueran parte de las matemáticas propiamente dichas, en cuyo caso el material elemental elegido adecuadamente, abordado con el espíritu apropiado, podría servir como un microcosmos, o mini-universo, en el que muchas características del cosmos matemático más grande puede ser directa y fielmente experimentado por un novicio relativo (al menos hasta cierto punto).

Esta colección de problemas (y soluciones) es un intento de plasmar esta idea en una forma que pueda ofrecer a estudiantes, maestros y lectores interesados una visión de “la esencia de las matemáticas”, donde esta visión se experimenta, no vicariamente a través de la prosa elegante de los autores, o descripciones amplias, sino a través del compromiso propio del lector con problemas cuidadosamente elegidos y accesibles de las matemáticas elementales.

^{Nuestra comprensión del cuerpo humano y cómo funciona se debe mucho a aquellos (como los antiguos griegos desde el 500 a.C. hasta Galeno en el siglo II d.C., y mucho más tarde Vesalio en el siglo XVI d.C.), que iban más allá de simplemente escribir sobre tales cosas en prosa de alto sondeo, y} que se ensuciaron las manos procurando cadáveres, y cortándolos para poder ver las cosas desde adentro —mientras se preguntaban todo el tiempo cómo estaban conectadas las distintas partes del cuerpo y qué función servían. De manera similar, el descubrimiento europeo del Nuevo Mundo en el ^siglo XV, y la confirmación de que la Tierra puede ser circunnavegada, dependieron de quienes se atrevieron a zarpar hacia aguas inexploradas y a llevar un cuidadoso registro de lo que encontraron.

El proceso de tratar de entender las cosas desde adentro no es un procedimiento determinista: depende de una mezcla de experiencia e inspiración, inteligencia e inferencia, error y autocrítica. En cualquier momento dado, la opinión prevaleciente puede estar incompleta o equivocada. Pero el enfoque subyacente (de contrastar las ideas actuales con la realidad que pretenden describir) es la única manera que conocemos los seres humanos que nos permite superar gradualmente los errores y obtener nuevos conocimientos.

Nuestro objetivo en este libro es universal (es decir, ilustrar la idea de que un microcosmos elemental adecuadamente seleccionado puede capturar algo de la esencia de las matemáticas): de ahí que todos los problemas hayan sido elegidos porque creemos que transmiten algo universal en un entorno relativamente elemental. Pero el conjunto particular de problemas elegidos para ilustrar el objetivo central es personal. Por lo que animamos al lector a involucrarse con estos problemas y resultados de la misma manera que los viejos anatomistas comprometidos con cadáveres, o viejos exploradores emprendieron viajes de descubrimiento, ensuciándose las manos mientras hacían preguntas, tales como:

¿Cómo se relacionan las cosas que vemos con lo que sabemos?

¿Qué nos dice esto sobre el tema de las matemáticas que queremos entender mejor?

En los últimos años las escuelas y maestros de muchos países han estado bajo una creciente presión política para concentrarse en “mejoras” medibles a corto plazo. Tales presiones han sido frecuentemente ligadas a pruebas centrales, con consecuencias negativas para puntuaciones bajas. Esto ha alentado a los maestros a jugar a lo seguro y a enfocarse en métodos retrospectivos que permiten a los estudiantes producir respuestas a problemas predecibles de un solo paso. El efecto ha sido degradar los desafíos más importantes que todo estudiante debe enfrentar: a saber:

• de desarrollar un dominio sólido de nuevas técnicas con visión de futuro (como fracciones, proporción y álgebra), y
• de integrar los pasos únicos que los estudiantes tienen a su disposición en esquemas más amplios y sistemáticos, para que puedan comenzar a abordar y resolver problemas simples de varios pasos.

Enfocarse en metas a corto plazo es incompatible con la buena enseñanza de las matemáticas. Aprender matemáticas es un juego largo; y los maestros y estudiantes necesitan la libertad de distraerse, mirar hacia el futuro y construir lentamente con el tiempo. Los docentes en cada etapa deben ser libres de reconocer que su responsabilidad primordial no es solo mejorar el desempeño de sus alumnos en la próxima prueba, sino establecer una plataforma firme sobre la cual puedan construirse etapas posteriores.

Las presiones antes mencionadas serán reconocidas en muchos países, donde los mecanismos de rendición de cuentas bien intencionados, pero mal considerados, impuestos centralmente han dado lugar a “reformas” miopes. Un marco didáctico y pedagógico consistente con la esencia, y el valor educativo de las matemáticas elementales no pueden enraizarse en falsas alternativas a las matemáticas (como la aritmética, o la alfabetización matemática). Tampoco puede basarse en pruebas que midan el éxito barato en preguntas que solo requieren rutinas de un solo paso. Necesitamos un marco que fomente una rica combinación de curiosidad infantil, persistencia, frustración fructífera y la sólida satisfacción de la creación de sentido estructural.

Una secuencia problemática como la nuestra idealmente debería ser destilada y refinada a lo largo de décadas. No obstante, lo mejor a veces es enemigo de lo bueno:

Esforzándose por mejorar,

A menudo marcamos lo que está bien.

(Guillermo Shakespeare, Rey Lear)

De ahí, como una leve contribución a este proceso de redescubrir la esencia de las matemáticas elementales,\ ix {¡matemáticas! elemental} arriesgamos esta colección en su forma actual. Y animamos a los lectores interesados a tomar lápiz y papel, y a unirse a nosotros en este viaje de descubrimiento a través de las matemáticas elementales. \ ix {matemáticas! elemental}

Aquellos que disfrutan viendo el fútbol profesional (es decir, el fútbol) a veces deben maravillarse ante la forma en que los jugadores experimentados parecen ser instintivamente conscientes de los movimientos de otros jugadores, y lograr alimentar la pelota en huecos y espacios que nosotros meros espectadores ni siquiera notamos que estaban ahí. Lo que pasamos por alto es que los mejores jugadores practican el arte de mirar constantemente a su alrededor, y actualizar su registro mental —“ ver el campo de juego, con la cabeza en alto ”— para que cuando llegue el balón y sus ojos tengan que enfocarse en el balón, su registro mental siempre cambiante siga actualizándose. para decirles (a veces aparentemente milagrosamente) dónde se encuentran las mejores opciones tácticas. Implementar esas opciones tácticas depende en parte de la práctica interminable de habilidades; pero la práctica es solo una parte de la historia. Lo que animamos a que los lectores desarrollen aquí es el equivalente matemático de este hábito de “ver el campo de juego, con la cabeza en alto”, para que lo que se note pueda seguir guiando la elección de las opciones tácticas cuando posteriormente uno se sumerja en el grueso del cálculo.

La nuestra es una disciplina única, que es mucho más rica que las rutinas predecibles que dominan muchas aulas y evaluaciones contemporáneas. Esperamos que todos los lectores encuentren que la experiencia de luchar con, y saborear, esta pequeña colección revela la visión ocasional fresca y memorable de “la esencia de las matemáticas”.

No debemos preocuparnos si los alumnos no lo saben todo,

pero sólo si lo saben todo mal.

Pedro Kapitsa, (1894—1984)

Premio Nobel de Física 1978}

Hacer preguntas más grandes es arriesgarse a equivocarse las cosas.

George Steiner (1929—)