1: Habilidades mentales

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Incluso una mirada superficial a la historia muestra... grandes innovadores... hicieron grandes cantidades de cómputos y ganaron gran parte de su perspicacia de esta manera. Deploro el hecho de que la educación matemática contemporánea tiende a dar a los estudiantes la idea de que la computación es degradante el trabajo pesado para ser evitado a toda costa.

Harold M. Edwards (1936—)

Último teorema de Fermat

Comenzamos nuestro viaje de una manera que debería ser accesible para todos, con un rápido retozo a través de ideas importantes de matemáticas de secundaria. El contenido es a veces muy elemental; pero los problemas suelen insinuar algo más desafiante. Los ítems incluidos en este primer capítulo también destacan hechos, técnicas e ideas seleccionados. Parte de este material temprano se incluye para introducir ciertas ideas y técnicas que capítulos posteriores asumirán como “conocidas”. Algunos problemas apelan a ideas más avanzadas (como números complejos), y se incluyen aquí para indicar que las “habilidades mentales” no se restringen al material elemental.

Se necesitará lápiz y papel, pero los ítems tienden a enfocarse en cosas que un estudiante de matemáticas debería saber de memoria, o debería aprender a ver de un vistazo, o debería poder calcular dentro de la cabeza. En problemas posteriores (por ejemplo, del Problema 18 en adelante) el énfasis en las habilidades mentales debe interpretarse como “formas de pensar”, en lugar de ser tomado para significar que todo debe hacerse en tu cabeza. Esto es especialmente cierto cuando se requieren cálculos extendidos o pruebas.

Algunos de los ítems de este capítulo (como Problemas 1 y 2) deben ser completamente familiares, y se incluyen para subrayar este hecho, más que porque anticipamos que necesitarán mucha atención activa. La mayoría de los primeros ítems de este primer capítulo son básicos o auxiliares. Sin embargo, también hay algunas gemas reales, que incluso pueden garantizar un lugar en el núcleo estándar.

El capítulo está dedicado en gran parte a subrayar la necesidad de dominar un repertorio de técnicas disponibles instantáneamente, que puedan ser utilizadas mentalmente, rápida y flexiblemente para analizar problemas menos familiares a la vista. Pero también busca hacer hincapié en las conexiones. De ahí que los lectores deben estar preparados para desafiar su experiencia previa, en caso de que pueda haber llevado a que los métodos y resultados se perciban de manera demasiado estrecha.

Repetimos el comentario hecho en la sección Acerca de este libro. La “esencia de las matemáticas”, a la que se hace referencia en el título, está en gran parte implícita en los problemas, y está ahí para que el lector la extraiga. Hay cierta discusión de esta esencia en el texto intercalado entre los problemas. Pero, para evitar derramar los frijoles prematuramente, y de ahí estropear los problemas, muchas observaciones importantes quedan enterradas en las soluciones, o en las Notas que siguen muchas de las soluciones.