2.10: Método de Copeland (comparaciones por pares)
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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
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\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
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\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
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\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
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Hasta el momento ninguno de nuestros métodos de votación ha satisfecho el Criterio Condorcet. El Método Copeland intenta específicamente satisfacer el Criterio Condorcet observando comparaciones por pares (uno a uno).
En este método, se compara cada par de candidatos, utilizando todas las preferencias para determinar cuál de los dos es más preferido. Al candidato más preferido se le otorga 1 punto. Si hay empate, a cada candidato se le otorga\(\frac{1}{2}\) punto. Después de que se hagan todas las comparaciones por parejas, el candidato con más puntos, y de ahí el que más gana por parejas, es declarado ganador.
Las variaciones del Método de Copeland se utilizan en muchas organizaciones profesionales, incluida la elección del Patronato de la Fundación Wikimedia que dirige Wikipedia.
Considera nuestro ejemplo de grupo vacacional desde el inicio del capítulo. Determina el ganador usando el Método de Copeland.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|}
\ hline & 1 & 3 & 3 & 3\
\ hline 1^ {\ text {st}}\ text {elección} &\ mathrm {A} &\ mathrm {A} &\ mathrm {O} &\ mathrm {H}\
\ hline 2^ {\ text {nd}}\ text {elección} &\ mathrm {O} &\ mathrm {H} &\ mathrm {H} &\ mathrm {A}\\
\ hline 3^ {\ text {rd}}\ text {choice} &\ mathrm {H} &\ mathrm {O} &\ mathrm {A} &\ mathrm {O}\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Tenemos que mirar cada par de opciones, y ver qué opción ganaría en una comparación uno a uno. Tal vez recuerde que hicimos esto antes al determinar el Ganador de Condorcet. Por ejemplo, al comparar Hawai vs Orlando, vemos que 6 votantes, los sombreados a continuación en la primera tabla a continuación, preferirían Hawai a Orlando. Tenga en cuenta que Hawai no tiene que ser la primera opción del elector; estamos imaginando que Anaheim no era una opción. Si ayuda, puedes imaginarte quitando a Anaheim, como en la segunda tabla a continuación.
En base a esto, en la comparación de Hawaii vs Orlando, Hawaii gana, y recibe 1 punto.
Al comparar Anaheim con Orlando, el votante 1 de la primera columna claramente prefiere Anaheim, al igual que los 3 votantes de la segunda columna. Los 3 votantes de la tercera columna claramente prefieren Orlando. Los 3 votantes de la última columna prefieren Hawai como su primera opción, pero si tuvieran que elegir entre Anaheim y Orlando, elegirían a Anaheim, su segunda opción general. Entonces, en total 1+3+3=7 votantes prefieren Anaheim a Orlando, y 3 prefieren Orlando a Anaheim. Entonces, comparando Anaheim vs Orlando: 7 votos a 3 votos: Anaheim obtiene 1 punto.
Todos juntos,
\(\begin{array} {ll} {\text{Hawaii vs Orlando: }} & {6\text{ votes to }4\text{ votes: Hawaii gets }1\text{ point}} \\ {\text{Anaheim vs Orlando:}} & {7\text{ votes to }3\text{ votes: Anaheim gets }1\text{ point}} \\ {\text{Hawaii vs Anaheim: }} & {6\text{ votes to }4\text{ votes: Hawaii gets }1\text{ point}} \end{array}\)
Hawaii es el ganador bajo el Método de Copeland, habiendo obtenido la mayor cantidad de puntos.
Observe que este proceso es consistente con nuestra determinación de un Ganador de Condorcet.
Considera el voto del grupo publicitario que exploramos anteriormente. Determina el ganador usando el método de Copeland.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\ hline & 3 & 4 & 4 & 6 & 2 & 1
\\ hline 1^ {\ texto {st}}\ texto {elección} &\ texto {B} &\ texto {C} &\ texto {B} &\ texto {B} &\ texto {E}\
\ hline 2^ {\ texto {nd}}\ texto {elección} &\ texto {C} &\ texto {A} &\ texto {D} &\ texto {C} &\ texto {E} &\ texto {A}
\\\ hline 3^ {\ texto {rd}}\ texto {elección} &\ texto {A} &\ texto {D} &\ texto {C} &\ texto {A} &\ texto {A}}\\
\ hline 4^ {\ texto {th}}\ texto {elección} &\ texto {D} &\ texto {B} &\ texto {A} &\ texto {E} &\ texto {C} &\ texto {B}\\
\ hline 5^ {\ texto {th}}\ texto {elección} &\ texto {E} &\ texto {E} &\ texto {E} &\ texto {E}\ texto {D} &\ texto {C}\\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Con 5 candidatos, hay 10 comparaciones para hacer:
\( \begin{array} {ll} {\text{A vs B: }11\text{ votes to }9\text{ votes}} & {\text{A gets }1\text{ point}} \\ {\text{A vs C: }3\text{ votes to }17\text{ votes}} & {\text{C gets }1\text{ point}} \\ {\text{A vs D: }10\text{ votes to }10\text{ votes }} & {\text{A gets }\frac{1}{2}\text{ point, D gets }\frac{1}{2}\text{ point}} \\ {\text{A vs E: }17\text{ votes to }3\text{ votes}} & {\text{A gets }1\text{ point}} \\ {\text{B vs C: }10\text{ votes to }10\text{ votes}} & {\text{B gets }\frac{1}{2}\text{ point, C gets }\frac{1}{2}\text{ point}} \\ {\text{B vs D: }9\text{ votes to }11\text{ votes}} & {\text{D gets }1\text{ point}} \\ {\text{B vs E: }13\text{ votes to }7\text{ votes}} & {\text{B gets }1\text{ point}} \\ {\text{C vs D: }9\text{ votes to }11\text{ votes}} & {\text{D gets }1\text{ point}} \\ {\text{C vs E: }17\text{ votes to }3\text{ votes}} & {\text{C gets }1\text{ point}} \\ {\text{D vs E: }17\text{ votes to }3\text{ votes}} & {\text{D gets }1\text{ point}} \end{array}\)
Sumando estos hacia arriba:
A obtiene\(2\frac{1}{2}\) puntos
B obtiene\(1\frac{1}{2}\) puntos
C obtiene\(2\frac{1}{2}\) puntos
D obtiene\(3\frac{1}{2}\) puntos
E obtiene\(0\) puntos
Usando el Método de Copeland, declaramos a D como el ganador.
Observe que en este caso, D no es Ganador de Condorcet. Si bien el método de Copeland también seleccionará a un Candidato de Condorcet como ganador, el método aún funciona en los casos en que no hay Ganador de Condorcet.
Considera de nuevo la elección de Pruébalo Ahora 1. Encuentra al ganador usando el método de Copeland. Ya que tenemos algunas boletas de preferencia incompletas, tendremos que ajustarnos. Por ejemplo, al comparar M con B, ignoraremos los 20 votos de la tercera columna que no clasifican a ninguno de los candidatos.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\ hline & 44 & 14 & 20 & 70 & 22 & 80 & 39\
\\ hline 1^ {\ text {st}}\ text {choice} &\ mathrm {G} &\ mathrm {G} &\ mathrm {G} &\ mathrm {M} &\ mathrm {M} &\ mathrm {B} &\ mathrm {B}\\
\ hline 2^ {\ text {nd}}\ text {choice} &\ mathrm {M} &\ mathrm {B} & &\ mathrm {G} &\ mathrm {B} &\ mathrm {M} &\\ hline 3^ {\ text {rd}}
\ text {choice} &\ mathrm {B} &\ mathrm {M} &\ mathrm {B} &\ mathrm {B} &\ mathrm {B} & &\ mathrm {B}} &\ mathrm {G} &\ mathrm {G} &\\
\ hline
\ end {array}\)
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Usando el método de Copeland:
Mirando hacia atrás a nuestro trabajo de Pruébalo Ahora #2, vemos
G vs M:\(44+14+20 = 78\) prefiera G,\(70+22+80=172\) prefiera M: M preferido — 1 punto
G vs B:\(44+14+20+70=148\) prefiera G,\(22+80+39 = 141\) prefiera B: G preferido — 1 punto
M vs B:\(44+70+22=136\) prefiera M,\(14+80+39=133\) prefiera B: M preferido — 1 punto
M gana 2 puntos; G gana 1 punto. M gana bajo el método de Copeland.