8.2: Crecimiento Lineal (Algebraico)
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Marco es un coleccionista de botellas de refresco antiguas. Su colección contiene actualmente 437 botellas. Cada año, presupuesta suficiente dinero para comprar 32 botellas nuevas. ¿Podemos determinar cuántas botellas tendrá en 5 años, y cuánto tiempo tardará en que su colección llegue a 1000 botellas?
Si bien ambas preguntas probablemente podrías resolver sin una ecuación o matemáticas formales, vamos a formalizar nuestro enfoque de este problema para proporcionar un medio para responder preguntas más complicadas.
Supongamos que\(P_{n}\) representa el número, o población, de botellas que Marco tiene después de\(n\) años. Entonces\(P_{0}\) representaría el número de botellas ahora,\(P_{1}\) representaría el número de botellas después de 1 año,\(P_{2}\) representaría el número de botellas después de 2 años, y así sucesivamente. Podríamos describir cómo está cambiando la colección de botellas de Marco usando:
\(P_{0}=437\)
\(P_{n}=P_{n-1}+32\)
A esto se le llama una relación recursiva. Una relación recursiva es una fórmula que relaciona el siguiente valor en una secuencia con los valores anteriores. Aquí, el número de botellas en el año se\(n\) puede encontrar sumando 32 al número de botellas del año anterior,\(P_{n-1}\). Usando esta relación, podríamos calcular:
\(P_{1}=P_{0}+32=437+32=469\)
\(P_{2}=P_{1}+32=469+32=501\)
\(P_{3}=P_{2}+32=501+32=533\)
\(P_{4}=P_{3}+32=533+32=565\)
\(P_{5}=P_{4}+32=565+32=597\)
Hemos respondido a la pregunta de cuántas botellas tendrá Marco en 5 años. No obstante, resolver el tiempo que tardará su colección en llegar a las 1000 botellas requeriría muchos más cálculos.
Si bien las relaciones recursivas son excelentes para describir simple y limpiamente cómo está cambiando una cantidad, no son convenientes para hacer predicciones o resolver problemas que se extienden hacia el futuro. Para ello, se prefiere una forma cerrada o explícita para la relación. Una ecuación explícita nos permite calcular P n directamente, sin necesidad de conocer P n -1. Si bien es posible que ya puedas adivinar la ecuación explícita, vamos a derivarla de la fórmula recursiva. Podemos hacerlo de manera selectiva no simplificando a medida que avanzamos:
\(\begin{array}{lr}P_{I}=437+32 & =437+1(32) \\ P_{2}=P_{1}+32=437+32+32 & =437+2(32) \\ P_{3}=P_{2}+32=(437+2(32))+32 & =437+3(32) \\ P_{4}=P_{3}+32=(437+3(32))+32 & =437+4(32)\end{array}\)
Probablemente puedas ver el patrón ahora, y generalizar eso
\(P_{n}=437+n(32)=437+32 n\)
Usando esta ecuación, podemos calcular cuántas botellas tendrá después de 5 años:
\(P_{5}=437+32(5)=437+160=597\)
Ahora también podemos resolver para cuándo la recolección llegará a 1000 botellas sustituyendo en 1000\(P_{n}\) y resolviendo por\(n\).
\(1000=437+32 n\)
\(563=32 n\)
\(n=563 / 32=17.59\)
Por lo que Marco llegará a 1000 botellas en 18 años.
En el ejemplo anterior, la colección de Marco creció en el mismo número de botellas cada año. Este cambio constante es la característica definitoria del crecimiento lineal. Al trazar los valores que calculamos para la colección de Marco, podemos ver los valores forman una línea recta, la forma de crecimiento lineal.
Si una cantidad comienza en tamaño\(P_{0}\) y crece\(d\) cada período de tiempo, entonces la cantidad después de los períodos de\(n\) tiempo se puede determinar usando cualquiera de estas relaciones:
Forma recursiva:
\(P_{n}=P_{n-1}+d\)
Forma explícita:
\(P_{n}=P_{0}+d n\)
En esta ecuación, representa la diferencia común — la cantidad que cambia la población cada vez\(n\) aumenta en 1
Se puede reconocer la diferencia común,\(d\), en nuestra ecuación lineal como pendiente. De hecho, toda la ecuación explícita debería parecer familiar — es la misma ecuación lineal que aprendiste en álgebra, probablemente declarada como\(y=m x+b\).
En la ecuación algebraica estándar\(y=m x+b\),\(b\) estaba la\(y\) -intercepción, o el valor y cuando\(x\) era cero. En la forma de la ecuación que estamos usando, estamos usando P0 para representar esa cantidad inicial.
En la\(y=m x+b\) ecuación, recordemos que m era la pendiente. Quizás recuerdes esto como “rise over run”, o el cambio en\(y\) dividido por el cambio en\(x\). De cualquier manera, representa lo mismo que la diferencia común,\(d\), estamos usando — la cantidad que cambia la salida Pn cuando la entrada\(n\) aumenta en 1.
Las ecuaciones\(y=m x+b\) y\(P_{n}=P_{0}+d n\) significan lo mismo y se pueden usar de la misma manera, solo lo estamos escribiendo de alguna manera diferente.
La población de alces en un bosque nacional se midió en 12 mil en 2003, y nuevamente se midió en 15 mil en 2007. Si la población sigue creciendo linealmente a este ritmo, ¿cuál será la población de alces en 2014?
Solución
Para comenzar, necesitamos definir cómo vamos a medir\(n\). Recuerda que\(P_0\) es la población cuando\(n = 0\), así que probablemente no queremos usar literalmente el año 0. Como ya conocemos a la población en 2003,\(n = 0\) definamos como el año 2003. Entonces
\(P_0 = 12,000\).
A continuación tenemos que encontrar\(d\). Recuerde d es el crecimiento por periodo de tiempo, en este caso crecimiento por año. Entre las dos mediciones, la población creció\(15,000-12,000 = 3,000\), pero tardó\(2007-2003 = 4\) años en crecer tanto. Para encontrar el crecimiento por año, podemos dividir: 3000 alces/4 años = 750 alces en 1 año.
Alternativamente, puede usar la fórmula de pendiente del álgebra para determinar la diferencia común, señalando que la población es la salida de la fórmula, y el tiempo es la entrada.
\(d=\)pendiente\(=\frac{\text { change in output }}{\text { change in input }}=\frac{15,000-12,000}{2007-2003}=\frac{3000}{4}=750\)
Ahora podemos escribir nuestra ecuación en la forma que se prefiera.
Forma recursiva:
\(P_{0}=12,000\)
\(P_{n}=P_{n-1}+750\)
Forma explícita:
\(P_{n}=12,000+750 n\)
Para responder a la pregunta, primero hay que señalar que el año 2014 será\(n = 11\), ya que 2014 es 11 años después de 2003. El formulario explícito será más fácil de usar para este cálculo:
\(P_{11}=12,000+750(11)=20,250\)alce
El consumo de gasolina en EU ha ido aumentando de manera constante. A continuación se muestran los datos de consumo de 1992 a 2004 [1]. Encuentre un modelo para estos datos, y utilícelo para predecir el consumo en 2016. Si la tendencia continúa, ¿cuándo llegará el consumo a 200 mil millones de galones?
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\ hline\ texto {Año} &\ cdot 92 &\ cdot 93 &\ cdot 94 &\ cdot 95 &\ cdot 96 &\ cdot 97 &\ cdot 98 &\ cdot 99 &\ cdot 00 &\ cdot punto 01 &\ cdot 02 &\ cdot 03 &\ cdot 04\\
\ hline\ comenzar { array} {l}
\ text {Consumo}\\
\ text {(mil millones de}\
\\ texto {galones)}
\ end {array} & 110 & 111 & 113 & 116 & 118 & 119 & 123 & 125 & 126 & 128 & 131 & 133 & 136\
\ hline
\ end {array}\)
Solución
Al trazar estos datos, parece tener una relación aproximadamente lineal:
Si bien existen técnicas estadísticas más avanzadas que se pueden utilizar para encontrar una ecuación que modele los datos, para tener una idea de lo que está sucediendo, podemos encontrar una ecuación usando dos piezas de los datos —quizás los datos de 1993 y 2003—.
Dejar\(n = 0\) corresponder con 1993 daría\(P_{0}=111\) mil millones de galones.
Para encontrar d, necesitamos saber cuánto aumentó el consumo de gas cada año, en promedio. De 1993 a 2003 el consumo de gas aumentó de 111 mil millones de galones a 133 mil millones de galones, un cambio total de\(133 – 111 = 22\) mil millones de galones, a lo largo de 10 años. Esto nos da un cambio promedio de 22 mil millones de galones/10 año = 2.2 mil millones de galones al año.
Equivalentemente,
\(d=\text {slope}=\frac{\text { change in output }}{\text { change in input }}=\frac{133-111}{10-0}=\frac{22}{10}=2.2\)mil millones de galones por año
Ahora podemos escribir nuestra ecuación en la forma que se prefiera.
Forma recursiva:
\(P_{0}=111\)
\(P_{n}=P_{n-1}+2.2\)
Forma explícita:
\(P_{n}=111+2.2 n\)
Calcular valores usando la forma explícita y trazándolos con los datos originales muestra qué tan bien se ajusta nuestro modelo a los datos.
Ahora podemos usar nuestro modelo para hacer predicciones sobre el futuro, asumiendo que la tendencia anterior continúa sin cambios. Para predecir el consumo de gasolina en 2016:
\(n=23 (2016 – 1993 = 23\)años después)
\(P_{23}=111+2.2(23)=161.6\)
Nuestro modelo predice que Estados Unidos consumirá 161.6 mil millones de galones de gasolina en 2016 si la tendencia actual continúa.
Para saber cuándo el consumo alcanzará los 200 mil millones de galones, estableceríamos\(P_{n}=200\), y resolveríamos para\(n\):
\(\begin{array}{ll} P_{n}=200 & \text{Replace } P_n \text{ with our model} \\ 111+2.2 n=200 & \text{Subtract 111 from both sides} \\ 2.2n = 89 & \text{Divide both sides by 2.2} \\ n = 40.4545 \end{array}\)
Esto nos dice que el consumo alcanzará los 200 mil millones aproximadamente 40 años después de 1993, que sería en el año 2033.
El costo, en dólares, de una membresía de gimnasio por\(n\) meses puede ser descrito por la ecuación explícita\(P_{n}=70+30 n\). ¿Qué nos dice esta ecuación?
Solución
El valor para\(P_{0}\) en esta ecuación es 70, por lo que el costo inicial inicial es de $70. Esto nos dice que debe haber una tarifa de iniciación o puesta en marcha de $70 para ingresar al gimnasio.
El valor para\(d\) en la ecuación es 30, por lo que el costo aumenta en $30 cada mes. Esto nos dice que la cuota mensual de membresía para el gimnasio es de $30 mensuales.
El número de padres que se quedan en casa en Canadá ha ido creciendo de manera constante [2]. Si bien la tendencia no es perfectamente lineal, es bastante lineal. Usa los datos de 1976 y 2010 para encontrar una fórmula explícita para el número de padres que se quedan en casa, luego úsala para predecir el número si 2020.
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|l|}
\ hline\ text {Año} & 1976 & 1984 & 1991 & 2000 & 2010\
\ hline\ text {Número de padres que se quedan en casa} & 20,610 & 28,725 & 43,530 & 47,665 & 53.555\
\ hline
\ end {array}\)
- Contestar
-
Dejando\(n=0\) corresponder con 1976, entonces\(P_{0}=20,610\).
De 1976 a 2010 el número de padres que se quedan en casa aumentó en
\(53,555-20,610=32,945\)
Esto ocurrió a lo largo de 34 años, dando un común diferente d de\(32,945 / 34=969\).
\(P_{n}=20,610+969 n\)
Prediciendo para 2020, usamos\(n=44\)
\(P_{44}=20,610+969(44)=63,246\)padres que se mantienen en casa en 2020.
[1] www.bts.gov/publicaciones/nati... ble_04_10.html
[2] www.fira.ca/article. php⸺id=140