8.5: Resolviendo exponenciales para logaritmos de tiempo
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Anteriormente, encontramos que desde Olimpia, WA tenía una población de 245 mil en 2008 y había estado creciendo al 3% anual, la población podría ser modelada por la ecuación
\[P_{n}=(1+0.03)^{n}(245,000) \nonumber \]
o equivalentemente,
\[P_{n}=245,000(1.03)^{n}. \nonumber \]
Usando esta ecuación, pudimos predecir la población en el futuro.
Supongamos que quisiéramos saber cuándo llegaría la población de Olimpia a 400 mil. Ya que estamos buscando el año n cuando la población sea de 400 mil, necesitaríamos resolver la ecuación
\ begin {aligned}
&400,000=245,000 (1.03) ^ {n}\ quad\ text {dividiendo ambos lados por} 245.000\ texto {da}\\
&1.6327=1.03^ {n}
\ end {alineado}
Una aproximación a este problema sería crear una tabla de valores, o utilizar la tecnología para dibujar una gráfica para estimar la solución.
A partir de la gráfica, podemos estimar que la solución estará alrededor de 16 a 17 años después de 2008 (2024 a 2025). Esto es bastante bueno, pero realmente nos gustaría tener una herramienta algebraica para responder a esta pregunta. Para ello, necesitamos introducir una nueva función que deshaga exponenciales, similar a como una raíz cuadrada deshace un cuadrado. Para exponenciales, la función que necesitamos se llama logaritmo. Es la inversa de lo exponencial, es decir, deshace lo exponencial. Si bien existe toda una familia de logaritmos con diferentes bases, nos centraremos en el logaritmo común, que se basa en el exponencial de 10 x.
El logaritmo común, escrito\(\log(x)\), deshace lo exponencial\(10^x\)
Esto significa que
\[\log(10^x) = x \nonumber \]
y de igual manera
\[10^{\log(x)} = x \nonumber \]
Esto también significa que la declaración\(10^a = b\) es equivalente a la declaración\(\log(b) = a\)
\(\log(x)\)se lee como “\(\log\)de\(x\)”, y significa “el logaritmo del valor\(x\)”. Es importante señalar que esto no es multiplicación — el registro no significa nada por sí mismo, al igual que √ no significa nada por sí mismo; tiene que aplicarse a un número.
Evaluar cada uno de los siguientes
- \(\log(100)\)
- \(\log(1000)\)
- \(\log(10000)\)
- \(\log(1/100)\)
- \(\log(1)\)
Solución
- \(\log(100)\)se puede escribir como\(\log(10^2)\). Como el registro deshace lo exponencial,\(\log(10^2) = 2\)
- \(\log(1000) = \log(10^3) = 3\)
- \(\log(10000) = \log(10^4) = 4\)
- Recordemos eso\(x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\). \(\log \left(\frac{1}{100}\right)=\log \left(10^{-2}\right)=-2\)
- Recordemos eso\(x^0 = 1\). \(\log(1) = \log(10^0) = 0\)
Es útil señalar que a partir de las tres primeras partes del ejemplo anterior que el número que estamos tomando el registro de tiene que hacerse\(10\) veces más grande para que el registro aumente de valor en 1.
Por supuesto, la mayoría de los números no se pueden escribir como un bonito poder simple de 10. Para esos números, podemos evaluar el registro usando una calculadora científica con un botón de registro.
Evaluar\(\log(300)\)
Solución
El uso de una calculadora,\(\log(300)\) es aproximadamente\(2.477121\)
Con una ecuación, así como podemos sumar un número a ambos lados, multiplicar ambos lados por un número, o cuadrar ambos lados, también podemos tomar el logaritmo de ambos lados de la ecuación y terminar con una ecuación equivalente. Esto nos permitirá resolver algunas ecuaciones simples.
- Resolver\(10^x = 1000\)
- Resolver\(10^x = 3\)
- Resolver\(2(10^x) = 8\)
Solución
a) Tomando el tronco de ambos lados da\(\log(10^x) = \log(1000)\)
Dado que el registro deshace lo exponencial,\(\log(10^x) = x\). De igual manera\(\log(1000) = \log(10^3) = 3\).
La ecuación simplifica entonces a\(x = 3\).
b) Tomando el tronco de ambos lados da\(\log(10^x) = \log(3)\).
En el lado izquierdo,\(\log(10^x) = x\), entonces\(x = \log(3)\). Podemos aproximar este valor con una calculadora. \(x \approx 0.477\)
c) Aquí primero querríamos aislar lo exponencial dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, dando
\(10^x = 4\).
Ahora podemos tomar el tronco de ambos lados, dando\(\log(10^x) = \log(4)\), lo que simplifica a
\(x = \log(4) \approx 0.602\)
Este enfoque nos permite resolver ecuaciones exponenciales con potencias de 10, pero ¿qué pasa con problemas como\(2 = 1.03^n\) de antes, que tienen una base de 1.03? Para eso, necesitamos la propiedad exponente para los registros.
\(\log \left(A^{r}\right)=r \log (A)\)
Para demostrar por qué esto es cierto, ofrecemos una prueba.
Dado que el logaritmo y exponencial se deshacen entre sí,\(10^{\log A}=A\). Entonces
\[A^{r}=\left(10^{\log \cdot A}\right)^{r} \nonumber \]
Utilizando la regla exponencial que establece\(\left(x^{a}\right)^{b}=x^{a b}\),
\[A^{r}=\left(10^{\log A}\right)^{r}=10^{r \log A} \nonumber \]
Entonces
\[\log \left(A^{r}\right)=\log \left(10^{r \log A}\right) \nonumber \]
Nuevamente utilizando la propiedad de que el registro deshace el exponencial en el lado derecho produce el resultado
\[\log \left(A^{r}\right)=r \log A \nonumber \]
Reescribir el registro (25) usando la propiedad exponente para los registros
Solución
\[\log (25)=\log \left(5^{2}\right)=2 \log (5) \nonumber \]
Esta propiedad finalmente nos permitirá responder a nuestra pregunta original.
- Aislar lo exponencial. En otras palabras, consígalo por sí mismo en un lado de la ecuación. Esto suele implicar dividir por un número multiplicándolo.
- Toma el log de ambos lados de la ecuación.
- Utilice la propiedad exponente de logs para reescribir el exponencial con el exponente variable multiplicando el logaritmo.
- Dividir según sea necesario para resolver la variable.
Si Olimpia está creciendo según la ecuación,\(P_{n}=245(1.03)^{n}\), donde n es años después de 2008, y la población se mide en miles. Encuentra cuándo la población será de 400 mil.
Solución
Tenemos que resolver la ecuación
\ (\ begin {array} {ll} 400=245 (1.03) ^ {n} &\ text {Comienza dividiendo ambos lados por 245 para aislar el exponencial}\\
1.633=1.03^ {n} &\ text {Ahora toma el registro de ambos lados}\\ log (1.633) =\ log\ left (1.03^ {n}\ right) &\ text {Usa la propiedad exponente de registros en el lado derecho}\\\ log (1.633) =n\ log (1.03) & {\ text {Ahora podemos dividir por}\ log (1.03)}\\
\ frac {\ log (1.633)} {\ log (1.03)} =n &
\ text {Podemos aproximar este valor en una calculadora}\\
n\ approx 16.591^ {\ circ}\ end {array}\)
Alternativamente, después de aplicar la propiedad exponente de los registros en el lado derecho, podríamos haber evaluado los logaritmos a aproximaciones decimales y haber completado nuestros cálculos usando esas aproximaciones, como verás en el siguiente ejemplo. Si bien la respuesta final puede salir ligeramente diferente, siempre y cuando mantengamos suficientes valores significativos durante el cálculo, nuestra respuesta será lo suficientemente cercana para la mayoría de los propósitos.
El agua contaminada pasa a través de una serie de filtros. Cada filtro elimina el 90% de las impurezas restantes del agua. Si originalmente tiene 10 millones de partículas de contaminante por galón, ¿cuántos filtros necesitaría pasar el agua para reducir el contaminante a 500 partículas por galón?
Solución
En este problema, nuestra “población” es el número de partículas de contaminante por galón. El contaminante inicial es de 10 millones de partículas por galón, entonces\(P_0 = 10,000,000\). En lugar de cambiar con el tiempo, el contaminante cambia con el número de filtros, por lo que\(n\) representará el número de filtros por los que pasa el agua.
También, dado que la cantidad de contaminante va disminuyendo con cada filtro en lugar de aumentar, nuestra tasa de “crecimiento” será negativa, lo que indica que la población está disminuyendo en lugar de aumentar, entonces\(r = -0.90\).
Entonces podemos escribir la ecuación explícita para el contaminante:
\[\begin{algin*} P_{n} &=10,000,000(1-0.90)^{n} \\[4pt] &=10,000,000(0.10)^{n} \end{align*} \nonumber \]
Para resolver la cuestión de cuántos filtros se necesitan para bajar el contaminante a 500 partículas por galón, podemos establecer\(P_n\) igual a 500, y resolver para\(n\).
\ (\ begin {array} {ll} 500=10.000.000 (0.10) ^ {n} &\ text {Divide ambos lados por} 10.000.000\\
0.00005=0.10^ {n} &\ text {Toma el registro de ambos lados}\\ log (0.00005) =\ log\ left (0.10^ {n}\ right) &
\ text {Usa la propiedad exponente de registros en el lado derecho}\\\ log (0.00005) =n\ log (0.10) &
\ text {Evaluar los logaritmos a una aproximación decimal}\\ -4.301=n (-1) &\ text {Dividir por} -1,\ text {el valor multiplicando} n\\ 4.301=n\ end {array}\)
Tomaría alrededor de 4.301 filtros. Por supuesto, como probablemente no podamos instalar filtros 0.3, necesitaríamos usar 5 filtros para llevar el contaminante por debajo del nivel deseado.
India tenía una población en 2008 de alrededor de 1.14 mil millones de personas. La población crece alrededor de 1.34% cada año. Si esta tendencia continúa, ¿cuándo llegará la población de la India a los 1.200 millones?
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\(1.14(1.0134)^{n}=1.2\). \(n = 3.853\), que es durante 2011