8.6: Crecimiento Logístico
- Page ID
- 110654
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
En nuestro escenario básico de crecimiento exponencial, teníamos una ecuación recursiva de la forma
\(P_{n}=P_{n-1}+r P_{n-1}\)
En un ambiente confinado, sin embargo, la tasa de crecimiento puede no permanecer constante. En un lago, por ejemplo, hay alguna población máxima sustentable de peces, también llamada capacidad de carga.
La capacidad de carga, o población máxima sustentable, es la población más grande que un ambiente puede soportar.
Para nuestros peces, la capacidad de carga es la población más grande que los recursos en el lago pueden sostener. Si la población en el lago está muy por debajo de la capacidad de carga, entonces esperaríamos que la población crezca esencialmente exponencialmente. Sin embargo, a medida que la población se acerca a la capacidad de carga, habrá escasez de alimentos y espacio disponible, y la tasa de crecimiento disminuirá. Si la población supera la capacidad de carga, no habrá suficientes recursos para sostener a todos los peces y habrá una tasa de crecimiento negativa, haciendo que la población vuelva a disminuir a la capacidad de carga.
Si la capacidad de carga era 5000, la tasa de crecimiento podría variar algo así en la gráfica mostrada. Tenga en cuenta que esta es una ecuación lineal con intercepción en\(0.1\) y pendiente\(-\frac{0.1}{5000}\), por lo que podríamos escribir una ecuación para esta tasa de crecimiento ajustada como:
\(r_{\text {adjusted}}=0.1-\frac{0.1}{5000} P=0.1\left(1-\frac{P}{5000}\right)\)
Sustituyendo esto a nuestro modelo de crecimiento exponencial original por\(r\) da
\(P_{n}=P_{n-1}+0.1\left(1-\frac{P_{n-1}}{5000}\right) P_{n-1}\)
Si una población está creciendo en un ambiente restringido con capacidad de carga\(K\), y la ausencia de restricción crecería exponencialmente con la tasa de crecimiento\(r\), entonces el comportamiento poblacional puede ser descrito por el modelo de crecimiento logístico:
\(P_{n}=P_{n-1}+r\left(1-\frac{P_{n-1}}{K}\right) P_{n-1}\)
A diferencia del crecimiento lineal y exponencial, el crecimiento logístico se comporta de manera diferente si las poblaciones crecen de manera constante a lo largo del año o si tienen un tiempo de reproducción por año. La fórmula recursiva proporcionada anteriormente modela el crecimiento generacional, donde hay un tiempo de reproducción por año (o, al menos un número finito); no existe una fórmula explícita para este tipo de crecimiento logístico.
Un bosque es actualmente el hogar de una población de 200 conejos. Se estima que el bosque es capaz de sostener una población de 2000 conejos. A falta de restricciones, los conejos crecerían 50% al año. Predecir la población futura utilizando el modelo de crecimiento logístico.
Solución
Modelando esto con un modelo de crecimiento logístico\(r = 0.50\),,\(K = 2000\), y\(P_0 = 200\). Calculando el próximo año:
\(P_{1}=P_{0}+0.50\left(1-\frac{P_{0}}{2000}\right) P_{0}=200+0.50\left(1-\frac{200}{2000}\right) 200=290\)
Podemos usar esto para calcular el siguiente año:
\(P_{2}=P_{1}+0.50\left(1-\frac{P_{1}}{2000}\right) P_{1}=290+0.50\left(1-\frac{290}{2000}\right) 290 \approx 414\)
Se utilizó una calculadora para calcular varios valores más:
\ (\ begin {array} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\ hline n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\
\ hline P_ {n} & 200 & 290 y 414 & 578 y 784 y 1022 y 1272 y 1503 y 1690 y 1890 21 y 1902\\
\ hline
\ end {array}\)
Al trazar estos valores, podemos ver que la población comienza a aumentar más rápido y la gráfica se curva hacia arriba durante los primeros años, como el crecimiento exponencial, pero luego el crecimiento se ralentiza a medida que la población se acerca a la capacidad de carga.
En una isla que puede soportar una población de 1000 lagartos, actualmente hay una población de 600. Estas lagartijas tienen mucha descendencia y no muchos depredadores naturales, por lo que tienen una tasa de crecimiento muy alta, alrededor del 150%. Calculando las próximas generaciones:
Solución
\(P_{1}=P_{0}+1.50\left(1-\frac{P_{0}}{1000}\right) P_{0}=600+1.50\left(1-\frac{600}{1000}\right) 600=960\)
\(P_{2}=P_{1}+1.50\left(1-\frac{P_{1}}{1000}\right) P_{1}=960+1.50\left(1-\frac{960}{1000}\right) 960=1018\)
Curiosamente, a pesar de que el factor que limita la tasa de crecimiento ralentizó mucho el crecimiento, la población aún sobrepasó la capacidad de carga. Esperaríamos que la población disminuyera el próximo año.
\(P_{3}=P_{2}+1.50\left(1-\frac{P_{3}}{1000}\right) P_{3}=1018+1.50\left(1-\frac{1018}{1000}\right) 101\)
Calculando algunos años más y trazando los resultados, vemos que la población oscila por encima y por debajo de la capacidad de carga, pero finalmente se establece, dejando una población estable cerca de la capacidad de carga.
Actualmente un campo contiene 20 plantas de menta. A falta de restricciones, el número de plantas aumentaría 70% cada año, pero el campo sólo puede soportar una población máxima de 300 plantas. Utilizar el modelo logístico para predecir la población en los próximos tres años.
- Responder
-
\(P_{1}=P_{0}+0.70\left(1-\frac{P_{0}}{300}\right) P_{0}=20+0.70\left(1-\frac{20}{300}\right) 20=33\)
\(P_{2}=54\)
\(P_{3}=85\)
En una isla vecina a la del ejemplo anterior, hay otra población de lagartos, pero la tasa de crecimiento es aún mayor —alrededor del 205%.
Solución
Calculando varias generaciones y trazando los resultados, obtenemos una sorpresa: la población parece oscilar entre dos valores, un patrón llamado 2-ciclo.
Si bien sería tentador tratar esto sólo como un extraño efecto secundario de las matemáticas, esto en realidad se ha observado en la naturaleza. Investigadores de la Universidad de California observaron un ciclo estable de 2 ciclos en una población de lagartos en California [1].
Llevando esto aún más lejos, obtenemos comportamientos cada vez más extremos a medida que aumenta la tasa de crecimiento. Es posible obtener 4 ciclos estables, 8 ciclos y superiores. Rápidamente, sin embargo, el comportamiento se acerca al caos (¿recuerdas la película Jurassic Park?).
[1] users.rcn.com/jkimball.ma.ult... ulations2.html