8.4: Crecimiento Exponencial (Geométrico)

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Supongamos que cada año, sólo el 10% de los peces en un lago tienen descendencia sobreviviente. Si hubiera 100 peces en el lago el año pasado, ahora habría 110 peces. Si hubiera 1000 peces en el lago el año pasado, ahora habría 1100 peces. A falta de cualquier factor inhibidor, las poblaciones de personas y animales tienden a crecer en un porcentaje de la población existente cada año.

Supongamos que nuestro lago comenzó con 1000 peces, y el 10% de los peces tienen descendencia sobreviviente cada año. Desde que empezamos con 1000 peces,$P_{0}=1000$. ¿Cómo calculamos$P_1$? La nueva población será la población vieja, más un 10% adicional. Simbólicamente:

$P_{1}=P_{0}+0.10 P_{0}$

Observe que esto podría condensarse a una forma más corta factorizando:

$P_{1}=P_{0}+0.10 P_{0}=1 P_{0}+0.10 P_{0}=(1+0.10) P_{0}=1.10 P_{0}$

Mientras que 10% es la tasa de crecimiento, 1.10 es el multiplicador de crecimiento. Observe que 1.10 puede considerarse como “el 100% original más un 10% adicional”

Para nuestra población de peces,

$P_{1}=1.10(1000)=1100$

Luego podríamos calcular la población en años posteriores:

$P_{2}=1.10 P_{1}=1.10(1100)=1210$

$P_{3}=1.10 P_{2}=1.10(1210)=1331$

Observe que en el primer año, la población creció en 100 peces, en el segundo año, la población creció en 110 peces, y en el tercer año la población creció en 121 peces.

Si bien hay un crecimiento porcentual constante, el incremento real en el número de peces aumenta cada año.

$Una gráfica con eje horizontal etiquetado Años a partir de ahora y eje vertical etiquetado Pescado. La gráfica muestra seis valores de datos para los años 0 al 5 que parecen casi formar una línea, excepto que los datos parecen curvarse un poco hacia arriba.$ Graficando estos valores vemos que este crecimiento no parece del todo lineal.

Para tener una mejor idea de cómo este crecimiento basado en porcentajes afecta a las cosas, necesitamos una forma explícita, para que podamos calcular rápidamente los valores más adelante en el futuro.

Como hicimos para el modelo lineal, comenzaremos a construir a partir de la ecuación recursiva:

$P_{1}=1.10 P_{0}=1.10(1000)$

$P_{2}=1.10 P_{1}=1.10(1.10(1000))=1.10^{2}(1000)$

$P_{3}=1.10 P_{2}=1.10\left(1.10^{2}(1000)\right)=1.10^{3}(1000)$

$P_{4}=1.10 P_{3}=1.10\left(1.10^{3}(1000)\right)=1.10^{4}(1000)$

Observando un patrón, podemos generalizar la forma explícita para ser:

$P_{n}=1.10^{n}(1000)$, o equivalentemente,$P_{n}=1000\left(1.10^{n}\right)$

$Una gráfica con eje horizontal etiquetado Años a partir de ahora y eje vertical etiquetado Pescado. La gráfica muestra nueve valores de datos para los años 0 al 30, con los valores posteriores revelando una curva pronunciada hacia arriba a la gráfica.$ A partir de esto, podemos calcular rápidamente el número de peces en 10, 20 o 30 años:

$P_{10}=1.10^{10}(1000)=2594$

$P_{20}=1.10^{20}(1000)=6727$

$P_{30}=1.10^{30}(1000)=17449$

Agregar estos valores a nuestra gráfica revela una forma que definitivamente no es lineal. Si nuestra población de peces hubiera estado creciendo linealmente, en 100 peces cada año, la población solo habría llegado a 4000 en 30 años en comparación con casi 18000 con este crecimiento basado en porcentajes, llamado crecimiento exponencial.

En crecimiento exponencial, la población crece proporcionalmente al tamaño de la población, por lo que a medida que la población se hace más grande, el mismo porcentaje de crecimiento dará lugar a un crecimiento numérico mayor.

Crecimiento Exponencial

Si una cantidad comienza en tamaño$P_0$ y crece por$R\%$ (escrita como decimal$r$) cada período de tiempo, entonces la cantidad después de los períodos de$n$ tiempo se puede determinar usando cualquiera de estas relaciones:

Forma recursiva:

$P_{n}=(1+r) P_{n-1}$

Forma explícita:

$P_{n}=(1+r)^{n} P_{0}$o equivalentemente,$P_{n}=P_{0}(1+r)^{n}$

Llamamos a$r$ la tasa de crecimiento.

El término$(1+r)$ se denomina multiplicador de crecimiento, o ratio común.

Ejemplo 5

Entre 2007 y 2008, Olympia, WA creció casi 3% a una población de 245 mil personas. Si esta tasa de crecimiento continuara, ¿cuál sería la población de Olimpia en 2014?

Solución

Como hicimos antes, primero necesitamos definir a qué año corresponderá$n = 0$. Ya que conocemos a la población en 2008, tendría sentido tener 2008 corresponde a$n = 0$, entonces$P_0 = 245,000$. El año 2014 sería entonces$n = 6$.

Sabemos que la tasa de crecimiento es del 3%, dando$r = 0.03$.

Usando la forma explícita:

$P_{6}=(1+0.03)^{6}(245,000)=1.19405(245,000)=292,542.25$

El modelo predice que en 2014, Olimpia tendría una población de alrededor de 293 mil personas.

Evaluar exponentes en la calculadora

Para evaluar expresiones como$(1.03)^6$, será más fácil usar una calculadora que multiplicar 1.03 por sí mismo seis veces. La mayoría de las calculadoras científicas tienen un botón para exponentes. Por lo general, se etiqueta como:

[^],$[y^x]$, o$[x^y]$.

Para evaluar$1.03^6$ escribimos 1.03 [^] 6, o 1.03$[y^x]$ 6. Pruébalo - deberías obtener una respuesta alrededor de 1.1940523.

Pruébalo ahora 2

La India es el segundo país más poblado del mundo, con una población en 2008 de alrededor de 1.140 millones de personas. La población crece alrededor de 1.34% cada año. Si esta tendencia continúa, ¿a qué crecerá la población de la India para 2020?

Contestar

Utilizando$n = 0$ correspondiente a 2008,

$P_{12}=(1+0.0134)^{12}(1.14)=$cerca de 1.337 mil millones de personas en 2020

Ejemplo 6

Un amigo está usando la ecuación$P_{n}=4600(1.072)^{n}$ para predecir la matrícula anual en una universidad local. Dice que la fórmula se basa en años posteriores al 2010. ¿Qué nos dice esta ecuación?

Solución

En la ecuación,$P_{0}=4600$, que es el valor inicial de la matrícula cuando$n = 0$. Esto nos dice que la matrícula en 2010 fue de $4,600.

El multiplicador de crecimiento es 1.072, por lo que la tasa de crecimiento es 0.072, o 7.2%. Esto nos dice que se espera que la matrícula crezca un 7.2% cada año.

Armando esto, podríamos decir que la colegiatura en 2010 fue de $4,600, y se espera que crezca un 7.2% cada año.

Ejemplo 7

En 1990, el uso de energía residencial en Estados Unidos fue responsable de 962 millones de toneladas métricas de emisiones de dióxido de carbono. Para el año 2000, ese número había subido a 1182 millones de toneladas métricas [1]. Si las emisiones crecen exponencialmente y continúan al mismo ritmo, ¿a qué crecerán las emisiones para 2050?

Solución

Similar a antes, nos corresponderemos$n = 0$ con 1990, ya que ese es el año para el primer dato que tenemos. Eso hará$P_{0}=962$ (millones de toneladas métricas de$\mathrm{CO}_{2}$). En este problema, no se nos da la tasa de crecimiento, sino que se nos da eso$P_{10}=1182$.

Cuando$n = 10$, la ecuación explícita se ve así:

$P_{10}=(1+r)^{10} P_{0}$

Sabemos el valor para$P_0$, así podemos ponerlo en la ecuación:

$P_{10}=(1+r)^{10} 962$

También sabemos que$P_{10}=1182$, sustituyendo eso en, obtenemos

$1182=(1+r)^{10} 962$

Ahora podemos resolver esta ecuación para la tasa de crecimiento,$r$. Comienza dividiendo por 962.

$\begin{array}{ll} \frac{1182}{962}=(1+r)^{10} & \text{Take the 10th root of both sides} \\ \sqrt[10]{\frac{1182}{962}}=1+r \text{Subtract 1 from both sides} \\ r=\sqrt[1]{\frac{1182}{962}}-1=0.0208=2.08 \% \end{array}$

Entonces, si las emisiones están creciendo exponencialmente, están creciendo alrededor de 2.08% al año. Ahora podemos predecir las emisiones en 2050 encontrando$P_{60}$

$P_{60}=(1+0.0208)^{60} 962=3308.4$millones de toneladas métricas$\mathrm{CO}_{2}$ en 2050

Redondeo

Como nota sobre redondeo, observe que si hubiéramos redondeado la tasa de crecimiento a 2.1%, nuestro cálculo para las emisiones en 2050 habría sido 3347. Redondear al 2% habría cambiado nuestro resultado a 3156. Una diferencia muy pequeña en las tasas de crecimiento se magnifica mucho en el crecimiento exponencial. Por ello, se recomienda redondear la tasa de crecimiento lo menos posible.

Si necesita redondear, mantenga al menos tres dígitos significativos, números después de cualquier ceros a la izquierda. Por lo que 0.4162 podría redondearse razonablemente a 0.416. Una tasa de crecimiento de 0.001027 podría redondearse razonablemente a 0.00103.

Evaluar raíces en la calculadora

En el ejemplo anterior, tuvimos que calcular la raíz ¹⁰ de un número. Esto es diferente a tomar la raíz cuadrada básica,$\sqrt{ }$. Muchas calculadoras científicas tienen un botón para raíces generales. Por lo general, se etiqueta como:

[$\sqrt[n]{ }$], [$\sqrt[x]{ }$] o [$\sqrt[y]{x}$]

Para evaluar la tercera raíz de 8, por ejemplo, escribiríamos 3 [$\sqrt[x]{ }$] 8 o 8 [$\sqrt[x]{ }$] 3, dependiendo de la calculadora. Pruébalo en el tuyo para ver cuál usar — deberías obtener una respuesta de 2.

Si tu calculadora no tiene un botón raíz general, no se pierde todo. En su lugar, puede usar la propiedad de exponentes que establece que$\sqrt[n]{a}=a^{1 / n}$. Entonces, para calcular la raíz 3 ^rd de 8, podrías usar la clave exponente de tu calculadora para evaluar$(2)^{2}-1=$. Para ello, escriba:

8$[y^x]$ (1$[\div]$ 3)

Los paréntesis indican a la calculadora que divida 1/3 antes de hacer el exponente.

Pruébalo ahora 3

El número de usuarios en un sitio de redes sociales fue de 45 mil en febrero cuando se hicieron públicos oficialmente, y creció a 60 mil para octubre. Si el sitio está creciendo exponencialmente, y el crecimiento continúa al mismo ritmo, ¿cuántos usuarios deberían esperar dos años después de que se hicieron públicos?

Contestar

Aquí mediremos n en meses más que años, con$n=0$ correspondientes al febrero cuando se hicieron públicos. Esto da$P_{0}=45$ mil. Octubre es 8 meses después, por lo que P8 = 60.

$P_{8}=(1+r)^{8} P_{0}$

$60=(1+r)^{8} 45$

$\frac{60}{45}=(1+r)^{8}$

$\sqrt[8]{\frac{60}{45}}=1+r$

$r=\sqrt[8]{\frac{60}{45}}-1=0.0366$, o 3.66%

La ecuación general explícita es$P_{n}=(1.0366)^{n} 45$

Prediciendo 24 meses (2 años) después de que se hicieron públicos:

$P_{24}=(1.0366)^{24} 45=106.63$mil usuarios.

Ejemplo 8

Mirando hacia atrás al último ejemplo, en aras de la comparación, ¿cuáles serían las emisiones de carbono en 2050 si las emisiones crecieran linealmente al mismo ritmo?

Solución

Nuevamente vamos$n = 0$ a conseguir corresponder con 1990, dando$P_{0}=962$. Para encontrar$d$, podríamos tomar el mismo enfoque que antes, señalando que las emisiones aumentaron en 220 millones de toneladas métricas en 10 años, dando una diferencia común de 22 millones de toneladas métricas cada año.

Alternativamente, podríamos usar un enfoque similar al que usamos para encontrar la ecuación exponencial. Cuando$n = 10$, la ecuación lineal explícita se ve así:

$P_{10}=P_{0}+10 d$

Sabemos el valor para$P_$ 0, así podemos ponerlo en la ecuación:

$P_{10}=962+10 d$

Ya que sabemos eso$P_{10}=1182$, sustituyendo eso en obtenemos

$1182=962+10 d$

Ahora podemos resolver esta ecuación para la diferencia común, d.

$1182-962=10 d$

$220=10 d$

$d=22$

$Una gráfica con eje horizontal etiquetado Años después de 1990 y eje vertical etiquetado Emisiones. El gráfico muestra dos curvas, ambas comenzando alrededor de 1000 cuando la entrada es 0. La primera gráfica es una línea recta, mientras que la segunda comienza aumentando como la línea, pero se curva hacia arriba a medida que aumentan los años.$ Esto nos dice que si las emisiones están cambiando linealmente, están creciendo 22 millones de toneladas métricas cada año. Predecir las emisiones en 2050,

$P_{60}=962+22(60)=2282$millones de toneladas métricas.

Notarás que este número es sustancialmente menor que la predicción del modelo de crecimiento exponencial. Calcular y trazar más valores ayuda a ilustrar las diferencias.

Entonces, ¿cómo sabemos qué modelo de crecimiento usar al trabajar con datos? Hay dos enfoques que deben usarse juntos siempre que sea posible:

1) Encuentra más de dos datos. Trazar los valores, y buscar una tendencia. ¿Los datos parecen estar cambiando como una línea, o los valores parecen estar curvándose hacia arriba?

2) Considerar los factores que contribuyen a los datos. ¿Son cosas que esperarías cambiar lineal o exponencialmente? Por ejemplo, en el caso de las emisiones de carbono, podríamos esperar que, en ausencia de otros factores, estarían estrechamente ligadas a valores poblacionales, que tienden a cambiar exponencialmente.

[1] www.eia.doe.gov/oiaf/1605/ggrpt/carbon.html