13.1: Conceptos básicos de los conjuntos

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Un coleccionista de arte podría poseer una colección de pinturas, mientras que un amante de la música podría tener una colección de CDs. Cualquier colección de artículos puede formar un conjunto.

Set

Un conjunto es una colección de objetos distintos, llamados elementos del conjunto

Un conjunto se puede definir describiendo el contenido, o enumerando los elementos del conjunto, encerrados entre corchetes.

Ejemplo 1

Algunos ejemplos de conjuntos definidos mediante la descripción de los contenidos:

El conjunto de todos los números pares
El conjunto de todos los libros escritos sobre viajes a Chile

Algunos ejemplos de conjuntos definidos listando los elementos del conjunto:

{1, 3, 9, 12}
{rojo, naranja, amarillo, verde, azul, índigo, morado}

Un conjunto simplemente especifica el contenido; el orden no es importante. El conjunto representado por {1, 2, 3} es equivalente al conjunto {3, 1, 2}.

Notación

Comúnmente, usaremos una variable para representar un conjunto, para que sea más fácil hacer referencia a ese conjunto más adelante.

El símbolo\(\in\) significa “es un elemento de”.

Un conjunto que no contiene elementos,\(\{ \}\), se llama el conjunto vacío y se anota\(\emptyset\)

Ejemplo 2

Let\(A=\{1,2,3,4\}\)

Para anotar que 2 es el elemento del conjunto, escribiremos\(2 \in A\)

A veces, una colección puede no contener todos los elementos de un conjunto. Por ejemplo, Chris es dueño de tres discos de Madonna. Si bien la colección de Chris es un set, también podemos decir que es un subconjunto del conjunto más grande de todos los álbumes de Madonna.

Subconjunto

Un subconjunto de un conjunto\(A\) es otro conjunto que contiene solo elementos del conjunto\(A\), pero puede que no contenga todos los elementos de\(A\).

Si\(B\) es un subconjunto de\(A,\) escribimos\(B \subseteq A\)

Un subconjunto apropiado es un subconjunto que no es idéntico al conjunto original; contiene menos elementos.

Si\(B\) es un subconjunto adecuado de\(A\), escribimos\(B \subset A\)

Ejemplo 3

Considera estos tres conjuntos

\(A=\)el conjunto de todos los números pares\(\quad B=\{2,4,6\} \quad C=\{2,3,4,6\}\)

Aquí\(B \subset A\) ya que cada elemento de\(B\) es también un número par, así es un elemento de\(A\).

De manera más formal, podríamos decir\(B \subset A\) ya que si\(x \in B,\) entonces\(x \in A\)

También es cierto que\(B \subset C\).

\(C\)no es un subconjunto de\(A\), ya que\(C\) contiene un elemento, 3, que no está contenido en\(A\)

Ejemplo 4

Supongamos que un set contiene las obras de teatro “Much Ado About Nothing”, “MacBeth” y “A Midsummer's Night Dream”. ¿Qué es un conjunto más grande de este podría ser un subconjunto?

Solución

Aquí hay muchas respuestas posibles. Una sería el conjunto de obras de Shakespeare. Este es también un subconjunto del conjunto de todas las obras jamás escritas. También es un subconjunto de toda la literatura británica.

Pruébalo ahora 1

El conjunto\(A=\{1,3,5\} .\) ¿Qué es un conjunto más grande este podría ser un subconjunto de?

Contestar: Hay varias respuestas: El conjunto de todos los números impares menores a 10. El conjunto de todos los números impares. El conjunto de todos los enteros. El conjunto de todos los números reales.