14.1: Introducción y Sistemas Básicos de Número y Recuento

Introducción

Al comenzar nuestro recorrido por la historia de las matemáticas, una pregunta que debemos hacer es “¿Por dónde empezamos?” Dependiendo de cómo veas las matemáticas o los números, podrías elegir cualquiera de una serie de puntos de lanzamiento desde los que comenzar. Howard Eves sugiere la siguiente lista de posibilidades. [i]

Dónde iniciar el estudio de la historia de las matemáticas...

• En las primeras “pruebas” geométricas lógicas tradicionalmente acreditadas a Thales de Mileto (600 a. C.).
• Con la formulación de métodos de medición realizados por los egipcios y mesopotamios/babilonios.
• Donde los pueblos prehistóricos hicieron esfuerzos para organizar los conceptos de tamaño, forma y número.
• En tiempos prehumanos en el muy simple sentido numérico y reconocimiento de patrones que pueden mostrar ciertos animales, aves, etc.
• Incluso antes de eso en las increíbles relaciones de números y formas que se encuentran en las plantas.
• Con las nebulosas espirales, el curso natural de los planetas, y otros fenómenos del universo.

Podemos elegir ningún punto de partida en absoluto y en cambio estar de acuerdo en que las matemáticas siempre han existido y simplemente han estado esperando entre alas a que los humanos las descubran. Cada una de estas posiciones se puede defender hasta cierto punto y cuál adoptas (si las hay) depende en gran medida de tus ideas filosóficas sobre las matemáticas y los números.

Sin embargo, necesitamos un punto de partida. Sin juzgar la validez de ninguna de estas posibilidades particulares, elegiremos como punto de partida el surgimiento de la idea del número y el proceso de contar como plataforma de lanzamiento. Esto se hace principalmente como una cuestión práctica dada la naturaleza de este curso. En el siguiente capítulo, trataremos de enfocarnos en dos ideas principales. El primero será un examen de los sistemas básicos de números y conteo y los símbolos que utilizamos para los números. Veremos nuestro propio sistema numérico moderno (occidental) así como los de un par de civilizaciones seleccionadas para ver las diferencias y diversidad que es posible cuando los humanos comienzan a contar. La segunda idea que veremos serán los sistemas base. Al comparar nuestro propio sistema de base diez (decimal) con otras bases, rápidamente nos daremos cuenta de que el sistema al que estamos tan acostumbrados, cuando se cambia ligeramente, desafiará nuestras nociones sobre los números y qué significan realmente los símbolos para esos números.

Reconocimiento de Más vs Menos

La idea de los números y el proceso de contar se remonta mucho más allá de cuando comenzó a registrarse la historia. Hay alguna evidencia arqueológica que sugiere que los humanos contaban desde hace 50 mil años. [ii] Sin embargo, realmente no sabemos cómo se inició o desarrolló este proceso a lo largo del tiempo. Lo mejor que podemos hacer es hacer una buena conjetura en cuanto a cómo progresaron las cosas. Probablemente no sea difícil creer que incluso los primeros humanos tenían algún sentido de cada vez menos. Incluso se ha demostrado que algunos animales pequeños tienen tal sentido. Por ejemplo, un naturalista cuenta cómo sacaría secretamente un huevo cada día del nido de un chorlito. La madre fue diligente en poner un huevo extra todos los días para recuperar el huevo faltante. Algunas investigaciones han demostrado que las gallinas pueden ser entrenadas para distinguir entre números pares e impares de trozos de alimento. [iii] Teniendo en mente este tipo de hallazgos, no es difícil concebir que los primeros humanos tuvieran (al menos) un sentido similar de cada vez menos. Sin embargo, nuestras conjeturas sobre cómo y cuándo surgieron estas ideas entre los humanos son simplemente eso; conjeturas educadas basadas en nuestras propias suposiciones de lo que podría o podría haber sido.

La necesidad del conteo simple

A medida que las sociedades y la humanidad evolucionaron, el simple hecho de tener un sentido de más o menos, par o extraño, etc., resultaría insuficiente para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana. A medida que se formaron tribus y grupos, se hizo importante poder saber cuántos miembros había en el grupo, y quizás cuántos había en el campamento enemigo. Ciertamente era importante para ellos saber si el rebaño de ovejas u otros animales poseídos estaban aumentando o disminuyendo de tamaño. “¿Cuántos de ellos tenemos, de todos modos?” es una pregunta que no nos cuesta imaginarlos haciéndose a sí mismos (o unos a otros).

Para contar artículos como los animales, a menudo se conjetura que uno de los primeros métodos para hacerlo sería con “palos de conteo”. Estos son objetos que se utilizan para rastrear los números de artículos a contar. Con este método, cada “palo” (o guijarro, o cualquier dispositivo de conteo que se utilice) representa un animal u objeto. Este método utiliza la idea de correspondencia uno a uno. En una correspondencia uno a uno, los elementos que se están contando están vinculados de manera única con alguna herramienta de conteo.

En la imagen de la derecha, se ve cada palo correspondiente a un caballo. Al examinar la colección de palos en la mano se sabe cuántos animales deben estar presentes. Se puede imaginar la utilidad de un sistema de este tipo, al menos para un número menor de artículos a los que hacer un seguimiento. Si un ganadero quería “contar” a sus animales para asegurarse de que todos estuvieran presentes, podría asignar mentalmente (o metódicamente) cada palo a un animal y continuar haciéndolo hasta que estuviera satisfecho de que todos estaban contabilizados.

Por supuesto, en nuestro sistema moderno, hemos reemplazado los palos por objetos más abstractos. En particular, el palo superior se sustituye por nuestro símbolo “1", el segundo palo se reemplaza por un “2” y el tercer palo está representado por el símbolo “3", pero aquí nos estamos adelantando. Estos símbolos modernos tardaron muchos siglos en emerger.

Otra forma posible de emplear el método de conteo de “stick de conteo” es haciendo marcas o cortando muescas en trozos de madera, o incluso atando nudos en cuerda (como veremos más adelante). En 1937, Karl Absolom descubrió un hueso de lobo que se remonta posiblemente a 30 mil años atrás. Se cree que es un dispositivo de conteo. [iv] Otro ejemplo de este tipo de herramienta es el Hueso de Ishango, descubierto en 1960 en Ishango, y que se muestra a continuación. [v] Se informa que tiene entre seis y nueve mil años y muestra lo que parecen ser marcas utilizadas para hacer conteo de algún tipo.

Las marcas en las filas (a) y (b) suman cada una 60. La fila (b) contiene los números primos entre 10 y 20. La fila (c) parece ilustrar para el método de duplicación y multiplicación utilizado por los egipcios. Se cree que esto también puede representar un contador de fase lunar.

Palabras habladas

A medida que se desarrollaron los métodos de conteo, y a medida que avanzaba el lenguaje también, es natural esperar que aparezcan palabras habladas para números. Desafortunadamente, los desarrollos de estas palabras, especialmente los correspondientes a los números del uno al diez, no son fáciles de rastrear. Pasadas diez, sin embargo, sí vemos algunos patrones:

Once viene de “ein lifon”, que significa “uno sobrante”.

Doce viene de “twe lif”, que significa “dos sobrantes”.

Trece viene de “Tres y diez” como lo hacen catorce a diecinueve.

Veinte parece provenir de “twe-tig” que significa “dos decenas”.

Cien probablemente proviene de un término que significa “diez veces”.

Números escritos

Cuando hablamos de números “escritos”, tenemos que tener cuidado porque esto podría significar una variedad de cosas. Es importante tener en cuenta que el papel moderno solo tiene un poco más de 100 años, por lo que “escribir” en tiempos pasados a menudo tomaba formas que podrían parecernos bastante desconocidas hoy en día.

Como vimos anteriormente, algunos podrían considerar los palos de madera con muescas talladas en ellos como escritos ya que estos son medios para registrar información en un medio que otros pueden “leer”. Por supuesto, los símbolos utilizados (muescas simples) ciertamente no dejaron mucha flexibilidad para comunicar una amplia variedad de ideas o información.

Otros medios en los que puede haber tenido lugar la “escritura” incluyen tallas en tablillas de piedra o arcilla, papel de trapo hecho a mano (^siglo XII en Europa, pero antes en China), papiro (inventado por los egipcios y usado hasta los griegos) y pergaminos de pieles de animales. Y estas son solo algunas de las muchas posibilidades.

Estos son solo algunos ejemplos de métodos tempranos de conteo y símbolos simples para representar números. Se han hecho extensos libros, artículos e investigaciones sobre este tema y podrían proporcionar suficiente información para llenar todo este curso si lo permitimos. La gama y diversidad del pensamiento creativo que se ha utilizado en el pasado para describir números y contar objetos y personas es asombrosa. Desafortunadamente, no tenemos tiempo para examinarlos todos, pero es divertido e interesante mirar un sistema con más detalle para ver cuán ingeniosas han sido las personas.

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[i] Eves, Howard; Una introducción a la historia de las matemáticas, p. 9.

[ii] Eves, p. 9.

[iii] McLeish, John; La historia de los números: cómo las matemáticas han dado forma a la civilización, p. 7.

[iv] Bint, Lucas; Jones, Phillip; Bedient, Jack; Las raíces históricas de las matemáticas elementales, p. 2.

[v] http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_zaire-uganda.html