14.5: El Sistema Numeral Maya

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Antecedentes

Como se puede imaginar, el desarrollo de un sistema base es un paso importante para hacer más eficiente el proceso de conteo. Nuestro propio sistema base diez probablemente surgió del hecho de que tenemos 10 dedos (incluyendo pulgares) en dos manos. Este es un desarrollo natural. Sin embargo, otras civilizaciones han tenido una variedad de bases distintas a diez. Por ejemplo, los Nativos de Queensland utilizaron un sistema de base dos, contando de la siguiente manera: “uno, dos, dos y uno, dos, dos, mucho”. Algunas tribus sudamericanas modernas tienen un sistema base cinco contando de esta manera: “uno, dos, tres, cuatro, mano, mano y uno, mano y dos”, y así sucesivamente. Los babilonios utilizaron un sistema de base sesenta (sexigesimal). En este capítulo, terminamos con un ejemplo específico de una civilización que en realidad usaba un sistema base distinto al 10.

$Una imagen de la península de Yucatán en México.$ La civilización maya está fechada generalmente del 1500 a.C.E al 1700 C.E. La Península de Yucatán (ver mapa [i]) en México fue escenario para el desarrollo de una de las civilizaciones más avanzadas del mundo antiguo. Los mayas tenían un sofisticado sistema ritual que era supervisado por una clase sacerdotal. Esta clase de sacerdotes desarrolló una filosofía con el tiempo como divino y eterno. [ii] El calendario, y los cálculos relacionados con él, fueron así muy importantes para la vida ritual de la clase sacerdotal, y de ahí del pueblo maya. De hecho, gran parte de lo que sabemos de esta cultura proviene de sus registros de calendario y datos astronómicos. Otra importante fuente de información sobre los mayas son los escritos del padre Diego de Landa, quien fue a México como misionero en 1549.

$Una imagen de una cabeza decorativa.$ Había dos sistemas numéricos desarrollados por los mayas -uno para la gente común y otro para los sacerdotes. Estos dos sistemas no sólo utilizaron símbolos diferentes, sino que también utilizaron diferentes sistemas base. Para los sacerdotes, el sistema de números se regía por el ritual. Se pensaba que los días del año eran dioses, por lo que los símbolos formales para los días eran cabezas decoradas, [iii] como la muestra a la izquierda [iv] Dado que el calendario básico se basaba en 360 días, el sistema numérico sacerdotal utilizó un sistema de base mixta empleando múltiplos de 20 y 360. Esto hace que sea un sistema confuso, cuyos detalles nos saltaremos.

El sistema de números mayas

En cambio, nos centraremos en el sistema de numeración de la gente “común”, que utilizó un sistema de base más consistente. Como señalamos anteriormente, los mayas utilizaron un sistema base-20, llamado el sistema “vigesimal”. Al igual que nuestro sistema, es posicional, es decir, que la posición de un símbolo numérico indica su valor posicional. En la siguiente tabla se puede ver el valor posicional en su formato vertical. [v]

$Una tabla que muestra los números y su forma vertical maya. Cero es una concha. 1 es un punto, 2 3 y 4 son dos tres o cuatro puntos en una fila horizontal. 5 es una línea horizontal. 6 es una línea horizontal con un punto arriba. 7, 8 y 9 son una línea horizontal y dos, tres o cuatro puntos en una fila horizontal por encima de una línea horizontal. 10 son dos líneas horizontales apiladas verticalmente. once a catorce son dos líneas horizontales con uno a cuatro puntos arriba. 15 son tres líneas horizontales apiladas verticalmente, y 16 - 19 son tres líneas horizontales con uno a cuatro puntos en una fila horizontal encima de ellas.$ \ (\ begin {array} {|c|c|l|}
\ hline\ text {Powers} &\ text {Base-Ten Value} &\ text {Nombre del lugar}
\\\ hline 20^ {7} & 12.800,000,000 &\ text {Hablat}
\\ hline 20^ {6} & 64.000.000 &\ text {Alau}\\
\ hline 20^ {5} & amperio; 3,200,000 &\ texto {Kinchil}\
\ hline 20^ {4} & 160,000 &\ texto {Cabal}\
\ hline 20^ {3} & 8,000 &\ texto {Pic}\\
\ hline 20^ {2} & 400 &\ texto {Bak}\
\ hline 20^ {1} & 20 &\ texto {Kal}\\
\ hline 20^ {0} & 1 &\ text {Hun}\\
\ hline
\ end {array}\)

Para anotar números, solo se necesitaban tres símbolos en este sistema. Una barra horizontal representaba la cantidad 5, un punto representaba la cantidad 1 y un símbolo especial (que se cree que es un shell) representaba cero. El sistema maya pudo haber sido el primero en hacer uso del cero como marcador de posicio/número. Los primeros 20 números se muestran en la tabla de la derecha. [vi]

A diferencia de nuestro sistema, donde el lugar uno comienza a la derecha y luego se mueve hacia la izquierda, los sistemas mayas colocan los que están en la parte inferior de una orientación vertical y se mueven hacia arriba a medida que aumenta el valor posicionar.

Cuando los números se escriben en forma vertical, nunca debe haber más de cuatro puntos en un solo lugar. Al escribir números mayas, cada grupo de cinco puntos se convierte en una barra. Además, nunca debería haber más de tres barras en un solo lugar... cuatro barras se convertirían a un punto en el siguiente lugar arriba. Es lo mismo que 10 conseguir convertido a un 1 en el siguiente lugar arriba cuando llevamos durante la adición.

Ejemplo 12

¿Cuál es el valor de este número, que se muestra en forma vertical?

$En la parte inferior hay dos líneas horizontales rematadas con tres puntos. Por encima de eso hay tres puntos.$

Solución

Partiendo de abajo, tenemos el lugar de los unos. Hay dos barras y tres puntos en este lugar. Ya que cada barra vale 5, tenemos 13 unos cuando contamos los tres puntos en el lugar de unos. Mirando al valor posicional por encima de él (los lugares de los veinte), vemos que hay tres puntos así que tenemos tres veinte.

$En la parte inferior hay dos líneas horizontales rematadas con tres puntos, con una flecha apuntando al grupo etiquetado unos. Por encima de eso hay tres puntos con una flecha apuntando al grupo etiquetado veinte.$

De ahí que podamos escribir este número en la base diez como:

\ [\ begin {align*}
\ left (3\ times 20^ {1}\ right) +\ left (13\ times 20^ {0}\ right) & =( 3\ times 20) + (13\ times 1)\\
&=60+13\\
&=73
\ end {align*}\ nonumber\]

Ejemplo 13

¿Cuál es el valor del siguiente número maya?

$En la parte inferior hay dos líneas horizontales rematadas con un punto. Por encima de eso hay un caparazón. Por encima de eso hay tres líneas horizontales rematadas con 3 puntos.$

Solución

Este número tiene 11 en el lugar de unos, cero en el lugar de los 20, y 18 en el lugar de 20 ² =400. Por lo tanto, el valor de este número en la base diez es:

\[18 \times 400+0 \times 20+11 \times 1=7211 \nonumber \]

Pruébalo ahora 10

Convierte el número maya de abajo a la base 10.

$En la parte inferior hay dos puntos. Por encima de eso hay tres líneas horizontales rematadas con 3 puntos. Por encima de eso hay tres puntos.$

Contestar: 1562

Ejemplo 14

Convierte el número base 10$3575_{10}$ a números mayas.

Solución

Este problema se realiza en dos etapas. Primero necesitamos convertir a un número base 20. Lo haremos utilizando el método proporcionado en la última sección del texto. El segundo paso es convertir ese número a símbolos mayas.

El poder más alto de 20 que se dividirá en$3575$ es$20^{2}=400,$ así que empezamos dividiendo eso y luego procedemos de ahí:

\[ \begin{align*} 3575 \div 400 &=8.9375 \\[4pt] 0.9375 \times 20 &=18.75 \\[4pt] (0.75 \times 20 &=15.0 \end{align*} \nonumber \]

Esto significa que$3575_{10}=8,18,15_{20}$

El segundo paso es convertir esto a la notación maya. Este número indica que tenemos 15 en la posición unos. Eso son tres barras en la parte inferior del número. También tenemos 18 en el lugar de los 20, así que son tres compases y tres puntos en la segunda posición. Por último, tenemos 8 en el lugar de los 400, así que eso es una barra y tres puntos en la parte superior. Obtenemos lo siguiente

$En la parte inferior hay tres líneas horizontales. Por encima de eso hay tres líneas horizontales rematadas con 3 puntos. Por encima de eso hay una línea horizontal rematada con 3 puntos.$

Tenga en cuenta que en el ejemplo anterior se utilizó una nueva notación cuando escribimos$8,18,15_{20}$. Las comas entre los tres números 8, 18 y 15 están separando ahora los valores posicionales para que podamos mantenerlos separados entre sí. Este uso de la coma es ligeramente diferente de cómo se usan en el sistema decimal. Cuando escribimos un número en la base 10, como 7,567,323, las comas se utilizan principalmente como un ayudante para leer el número fácilmente pero no separan valores de un solo lugar entre sí. Necesitaremos esta notación siempre que la base que usemos sea mayor a 10.

Escribir números con bases mayores a 10

Cuando la base de un número sea mayor a 10, separe cada “dígito” con una coma para aclarar la separación de dígitos.

Por ejemplo, en base$20,$ para escribir el número correspondiente a$17 \times 20^{2}+6 \times 20^{1}+$$13 \times 20^{0},$ nosotros escribiríamos$17,6,13_{20}$.

Pruébalo ahora 11

Convierte el número base 10$10553_{10}$ a números mayas.

Contestar

$10553_{10}=1,6,7,13_{20}$

$En la parte inferior hay dos líneas horizontales rematadas con 3 puntos. Por encima de eso hay una línea horizontal rematada con 2 puntos. Por encima de eso hay una línea horizontal rematada con un punto. Por encima de eso hay un punto.$

Pruébalo ahora 12

Convierte la base 10 número 5617 en números mayas.

Contestar: $5617_{10}=14,0,17_{20}$. Tenga en cuenta que hay un cero en el lugar de los 20, por lo que deberá usar el símbolo de cero apropiado entre los lugares de unos y 400.

Sumando números mayas

Al sumar números mayas, adoptaremos un esquema que probablemente los mayas no usaron pero que nos facilitará un poco la vida.

Ejemplo 15

Sumar, en maya, los números 37 y 29: [vii]

$Dos números mayas uno al lado del otro. Para la de la izquierda, en la parte inferior hay tres líneas horizontales rematadas con dos puntos, y por encima de eso hay un punto. Para el de la derecha, en la parte inferior hay una línea horizontal rematada con 4 puntos, y por encima de ese hay un punto.$

Solución

Primero dibuja una caja alrededor de cada uno de los lugares verticales. Esto ayudará a evitar que los valores posicionales se mezclen.

$Los números mayas desde arriba, con cajas dibujadas alrededor de los valores posicionales.$

A continuación, pon todos los símbolos de ambos números en un solo conjunto de lugares (casillas), y a la derecha de este nuevo número dibuja un conjunto de cajas vacías donde colocarás la suma final:

$Los puntos y líneas se combinan en un par de cajas. En el lugar inferior hay cuatro líneas horizontales y seis puntos. En el lugar superior de los veinte hay dos puntos. A la derecha se muestra un par de cajas vacías.$

Ya estás listo para comenzar a llevar. Comienza por el lugar que tiene el valor más bajo, igual que lo haces con los números arábigos. Comienza en el lugar inferior, donde cada punto vale 1. Hay seis puntos, pero se permite un máximo de cuatro en cualquier lugar; una vez que llegues a cinco puntos, debes convertirlo en una barra. Como cinco puntos forman una barra, dibujamos una barra a través de cinco de los puntos, dejándonos con un punto que está por debajo del límite de cuatro puntos. Pon este punto en el lugar inferior del conjunto de cajas vacías que acabas de dibujar:

$En el lugar inferior se dibuja una línea a través de cinco de los seis puntos. Una flecha muestra el punto restante movido dentro del cuadro de lugar de los vacíos a la derecha.$

Ahora mira las barras en el lugar inferior. Hay cinco, y el número máximo que puede ocupar el lugar es tres. Cuatro barras son iguales a un punto en el siguiente lugar más alto.

Siempre que tengamos cuatro barras en un solo lugar lo convertiremos automáticamente en un punto en el siguiente lugar hacia arriba. Dibujamos un círculo alrededor de cuatro de las barras y una flecha hacia arriba hasta la sección de puntos del lugar superior. Al final de esa flecha, dibuja un nuevo punto. Ese punto representa 20 igual que los otros puntos en ese lugar. Sin contar las barras rodeadas en el lugar inferior, queda una barra. Una barra está por debajo del límite de tres barras; ponla debajo del punto en el conjunto de lugares vacíos a la derecha.

$De los cinco compases en el lugar unos, cuatro se agrupan y una flecha los muestra convirtiéndose en un nuevo punto en el lugar de los veinte. La barra restante se mueve al nuevo lugar número uno a la derecha, que ahora tiene una barra y un punto.$

Ahora sólo hay tres puntos en el siguiente lugar más alto, así que dibujarlos en la casilla vacía correspondiente.

$Los ahora tres puntos en el lugar de los veinte se trasladan a la nueva casilla número veinte. El nuevo número ahora tiene una barra y un punto en el lugar inferior, y tres puntos en el lugar superior de los veinte.$

Podemos ver aquí que tenemos 3 veinteañeros (60), y 6 unos, para un total de 66. Comprobamos y notamos eso$37 + 29 = 66$, por lo que hemos hecho esta adición correctamente. ¿Es más fácil simplemente hacerlo en base diez? Probablemente, pero eso es sólo porque te resulta más familiar. Tu tarea aquí es tratar de aprender un nuevo sistema base y cómo se puede hacer la adición de formas ligeramente diferentes a las que has visto en el pasado. Tenga en cuenta, sin embargo, que todavía se usa el concepto de acarreo, tal como lo está en nuestro propio algoritmo de adición.

Pruébalo ahora 13

Intenta sumar 174 y 78 en maya convirtiendo primero a números mayas y luego trabajando completamente dentro de ese sistema. No agregue en base diez (decimal) hasta el final cuando revise su trabajo.

Contestar

Se muestra una solución de muestra.

$Una imagen que muestra 174 más 78 en maya. Primero los números están escritos en maya: 174 son dos barras horizontales y cuatro puntos en el lugar inferior, y una barra y tres puntos en el lugar superior de los veinte. 78 son tres barras y tres puntos en el lugar unos, y tres puntos en el lugar de los veinte. Agregando esos obtenemos 5 barras y 7 puntos en el lugar de unos, y una barra y seis puntos en el lugar de los años veinte. En el lugar unos, 5 puntos se convierten en una línea, dejando 6 barras y 2 puntos. Cuatro barras se agrupan y se convierten en un punto en el lugar de los años veinte. Eso deja 2 barras y 2 puntos en el lugar de unos. En el lugar de los veinte, ahora hay 1 barra y 7 puntos. 5 puntos se convierten en una línea, dejando 2 barras y 2 puntos en el lugar de los veinte. El número maya final tiene dos líneas y dos puntos en el lugar uno, y dos líneas y dos puntos en el lugar de los años veinte.$

Conclusión

En este capítulo, hemos esbozado brevemente el desarrollo de los números y nuestro sistema de conteo, con énfasis en la parte “breve”. Existen numerosas fuentes de información e investigación que llenan muchos volúmenes de libros sobre este tema. Desafortunadamente, no podemos comenzar a acercarnos a cubrir toda la información que hay por ahí.

Solo hemos arañado la superficie de la riqueza de investigación e información que existe sobre el desarrollo de los números y el conteo a lo largo de la historia humana. Lo que es importante destacar es que el sistema que usamos todos los días es producto de miles de años de progreso y desarrollo. Representa contribuciones de muchas civilizaciones y culturas. No nos baja del cielo, un regalo de los dioses. No es la creación de un editor de libros de texto. En efecto, es tan humano como nosotros, como lo es el resto de las matemáticas. Detrás de cada símbolo, fórmula y regla hay un rostro humano por encontrar, o al menos buscado.

Además, esperamos que ahora tenga una apreciación básica de lo interesantes y diversos que pueden llegar a ser los sistemas numéricos. Además, estamos bastante seguros de que también has empezado a reconocer que damos por sentado nuestro propio sistema numérico tanto que cuando tratamos de adaptarnos a otros sistemas o bases, realmente nos encontramos teniendo que concentrarnos y pensar en lo que está pasando.

[i] www.gorp.com/gorp/ubicación/latamer/map_maya.htm

[ii] Bidwell, James; Maestra de Aritmética Maya en Matemáticas, Número 74 (Nov., 1967), p. 762-68.

[iii] www.ukans.edu/~lctls/Mayan/Numbers.html

[iv] www.ukans.edu/~lctls/Mayan/Numbers.html

[v] Bidwell

[vi] www.vpds.wsu.edu/fair_95/gym/UM001.html

[vii] forum.swarthmore.edu/k12/mayan.math/mayan2.html

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Ejemplo 12

Solución

Ejemplo 13

Solución

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Ejemplo 14

Solución

Escribir números con bases mayores a 10

Pruébalo ahora 11

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Ejemplo 15

Solución

Pruébalo ahora 13