17.2: Lógica booleana
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La lógica booleana combina múltiples declaraciones que son verdaderas o falsas en una expresión que es verdadera o falsa.
En relación con los conjuntos, una búsqueda es verdadera si el elemento es parte del conjunto.
Supongamos que\(M\) es el conjunto de todos los libros de misterio, y\(C\) es el conjunto de todos los libros de comedia. Si buscamos “misterio”, estamos buscando todos los libros que son un elemento del conjunto\(M\); la búsqueda es cierta para los libros que están en el set.
Cuando buscamos “misterio y comedia”, buscamos un libro que sea un elemento de ambos conjuntos, en la intersección. Si tuviéramos que buscar “misterio o comedia”, estamos buscando un libro que sea un misterio, una comedia, o ambos, que sea la unión de los sets. Si buscamos “no comedia”, estamos buscando cualquier libro en la biblioteca que no sea una comedia, el complemento del set\(C\).
\(A\)y\(B\) elementos en la intersección\(A \cap B\)
\(A\)o\(B\) elementos en la unión\(A \cup B\)
no\(A\) elementos en el complemento\(A^{c}\)
Observe aquí que o no es exclusivo. Esta es una diferencia entre el uso lógico booleano de la palabra y el uso cotidiano común. Cuando tu pareja pregunta “¿quieres ir al parque o al cine?” suelen proponer una opción exclusiva —una opción u otra, pero no ambas. En la lógica booleana, el o no es exclusivo —más como que te pregunten en un restaurante “¿te gustaría papas fritas o un trago con eso?” Responder “ambos, por favor” es una respuesta aceptable.
Supongamos que estamos buscando una base de datos bibliotecaria para universidades mexicanas. Expresar una búsqueda razonable usando la lógica booleana. Solución
Podríamos comenzar con la búsqueda “México y universidad”, pero probablemente encontraríamos resultados para el estado estadunidense Nuevo México. Para dar cuenta de esto, podríamos revisar nuestra búsqueda para leer:
México y universidad no “Nuevo México”
En la mayoría de los buscadores de internet, no es necesario incluir la palabra y; el motor de búsqueda asume que si proporcionas dos palabras clave estás buscando ambas. En la búsqueda de Google, la palabra clave o ha sido mayúscula como OR, y se usa un signo negativo frente a una palabra para indicar que no. Las citas alrededor de una frase indican que se debe buscar la frase completa. La búsqueda del ejemplo anterior en Google podría escribirse:
Universidad de México - “Nuevo México”
Describa los números que cumplen con la condición:
incluso y menos de 10 y mayores de 0
Solución
Los números que satisfacen los tres requisitos son\(\{2,4,6,8\}\)
A veces las declaraciones hechas en inglés pueden ser ambiguas. Por esta razón, la lógica booleana utiliza paréntesis para mostrar precedentes, al igual que en el orden algebraico de operaciones.
Describa los números que cumplen con la condición:
número impar y menor que 20 y mayor que 0 y (múltiplo de 3 o múltiplo de 5)
Solución
Las tres primeras condiciones nos limitan al conjunto\(\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19\}\)
Las últimas condiciones agrupadas nos indican encontrar elementos de este conjunto que también son un múltiplo de 3 o un múltiplo de\(5 .\) Esto nos deja con el conjunto\(\{3,5,9,15\}\)
Observe que habríamos obtenido un resultado muy diferente si hubiéramos escrito
(número impar y menor que 20 y mayor que 0 y múltiplo de 3) o múltiplo de 5
El primer conjunto agrupado de condiciones daría {3, 9, 15}. Sin embargo, cuando se combina con la última condición, este conjunto se expande sin límites:
\(\{3,5,9,15,20,25,30,35,40,45, \dots\}\)
La frase en inglés “Ve a la tienda y cómprame huevos y bagels o cereal” es ambigua; no está claro si los solicitantes están pidiendo huevos siempre junto con bagels o cereal, o si están pidiendo ya sea la combinación de huevos y bagels, o simplemente cereal.
Por esta razón, el uso de paréntesis aclara la intención:
Huevos y (bagels o cereal) significa Opción 1: Huevos y bagels, Opción 2: Huevos y cereales
(Huevos y bagels) o cereal significa Opción 1: Huevos y bagels, Opción 2: Cereal
Tenga en cuenta que cuando se escribe una cadena de condiciones sin agrupar símbolos, a menudo se interpreta de izquierda a derecha, resultando en esta última interpretación.