17.10: Evaluación de Argumentos Deductivos con Tablas de Verdad
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Los argumentos también se pueden analizar usando tablas de verdad, aunque esto puede ser mucho trabajo.
Para analizar un argumento con una tabla de verdad:
- Representar simbólicamente cada una de las premisas
- Crear una declaración condicional, uniendo todas las premisas para formar el antecedente, y utilizando la conclusión como consecuencia.
- Crear una tabla de verdad para la declaración. Si siempre es cierto, entonces el argumento es válido.
Considerar el argumento
\(\begin{array} {ll} \text{Premise:} & \text{If you bought bread, then you went to the store.} \\ \text{Premise:} & \text{You bought bread.} \\ \text{Conclusion:} & \text{You went to the store.} \end{array}\)
Solución
Si bien este ejemplo es bastante obvio un argumento válido, podemos analizarlo usando una tabla de verdad representando simbólicamente cada una de las premisas. Entonces podemos formar una declaración condicional que demuestre que las premisas en conjunto implican la conclusión. Si la tabla de verdad es una tautología (siempre verdadera), entonces el argumento es válido.
Vamos a dejar\(b\) representar “compraste pan” y s representar “fuiste a la tienda”. Entonces el argumento se convierte en:
\(\begin{array} {ll} \text{Premise:} & b \rightarrow s \\ \text{Premise:} & b \\ \text{Conclusion:} & s \end{array}\)
Para probar la validez, observamos si la combinación de ambas premisas implica la conclusión; ¿es cierto que\([(b \rightarrow s) \wedge b] \rightarrow s ?\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|}
\ hline b & s & b\ fila derecha s\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ hline \ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|}
\ hline b & s & b\ rightarrow s & (b\ rightarrow s)\ cuña b\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\
\ hline
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|c|}
\ hline b & s & b\ rightarrow s & (b\ rightarrow s)\ wedge b & {[(b\ rightarrow s)\ cuña b]\ fila derecha s}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} & rm {T} &\ mathrm {T}
\\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ end { matriz}\)
Dado que la tabla de la verdad para siempre\([(b \rightarrow s) \wedge b] \rightarrow s\) es verdadera, este es un argumento válido.
Determine si el argumento es válido:
\(\begin{array} {ll} \text{Premise:} & \text{If I have a shovel, I can dig a hole.} \\ \text{Premise:} & \text{I dug a hole.} \\ \text{Conclusion:} & \text{Therefore, I had a shovel.} \end{array}\)
- Contestar
-
Dejar\(S=\) tener una pala,\(D=\operatorname{dig}\) un agujero. La primera premisa es equivalente a\(S \rightarrow D\). La segunda premisa es\(D\). La conclusión es\(S\). Estamos probando\([(S \rightarrow D) \wedge D] \rightarrow S\)
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|c|}
\ hline S & D & S\ fila derecha D & (S\ fila derecha D)\ cuña D & {[(S\ fila derecha D)\ cuña D]\ fila derecha S}\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm rm {T} &\ mathrm {T}\
\\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}
\\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline
\ end {array}\)Esto no es una tautología, por lo que este es un argumento inválido.
\(\begin{array} {ll} \text{Premise:} & \text{If I go to the mall, then I’ll buy new jeans.} \\ \text{Premise:} & \text{If I buy new jeans, I’ll buy a shirt to go with it.} \\ \text{Conclusion:} & \text{If I go to the mall, I’ll buy a shirt.} \end{array}\)
Solución
\(m=\)Déjalo ir al centro comercial,\(j=\) compro jeans, y\(s=\) compro una playera.
Las premisas y conclusión pueden ser declaradas como:
\(\begin{array} {ll} \text{Premise:} & m \rightarrow j \\ \text{Premise:} & j \rightarrow s \\ \text{Conclusion:} & m \rightarrow s \end{array}\)
Podemos construir una tabla de verdad para\([(m \rightarrow j) \wedge(j \rightarrow s)] \rightarrow(m \rightarrow s) .\) Tratar de recrear cada paso y ver cómo se construyó la tabla de la verdad.
\ (\ begin {array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\ hline m & j & s & m\ rightarrow j & j\ rightarrow s & (m\ rightarrow j)\ wedge (j\ rightarrow s) & m\ rightarrow s & {[(m\ rightarrow j)\ wedge (j\ rightarrow s))]\ fila derecha (m\ fila derecha s)}\\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ hline
\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F}\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &
\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ mathrm {F} &\ mathrm {T}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {F}\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\
\ hline\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\\ mathrm {T} &\ mathrm {F} &
\ mathrm {F} &\ mathrm {F} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T} &\ mathrm {T}\
\\ hline
\ end { matriz}\)
De la columna final de la tabla de la verdad, podemos ver que este es un argumento válido.