2.1: Orden de Operaciones (Proceder de manera ordenada)
- Page ID
- 110665
Acabas de ganar 50.000 dólares en un concurso. ¡Felicidades! Pero antes de que puedas reclamarlo, debes responder a una pregunta matemática de pruebas de habilidades, y no se permiten calculadoras. Después de entregar su boleto ganador al agente de canje, ella le entrega su pregunta de prueba de habilidades por tiempo limitado:\(2 \times 5 + 30 ÷ 5\). A medida que el reloj cuenta regresiva, piensas en las diversas posibilidades. ¿La respuesta es 8, 14, 16, o algo más del todo? ¡No sería terrible perder 50 mil dólares porque no se puede resolver la pregunta! Si te diste cuenta de que la solución es 16, estás en el camino correcto. Si pensabas que era otra cosa, este es un buen momento para revisar el orden de las operaciones.
Los Símbolos
Si bien algunas operaciones matemáticas como la suma utilizan un símbolo singular (+), existen otras operaciones, como la multiplicación, para las cuales son aceptables múltiples representaciones. Con la llegada de las computadoras, aún más símbolos nuevos se han deslizado en la simbología matemática. La siguiente tabla enumera las diversas operaciones matemáticas y los símbolos matemáticos correspondientes que puede utilizar para ellas.
| Operación Matemática | Símbolo o Apariencia | Comentarios |
|---|---|---|
| Brackets | () o [] o {} | En orden, estos se conocen como corchetes redondos, cuadrados y rizados. |
| Exponentes | \(2^3\)o 2^3 |
|
| Multiplicación | \(\times\)o * o\(\cdot\) o 2 (2) o (2) (2) | En orden, estos se conocen como tiempos, estrella o bala. Los dos últimos implican multiplicación implícita, que es cuando se escriben dos términos uno al lado del otro unidos sólo por corchetes. |
| División | /o\(\div\) o\(\dfrac{4}{2}\) | En orden, estos se conocen como la barra, divisor y línea divisoria. Obsérvese en el último ejemplo que la división está representada por la línea horizontal. |
| Adición | + | No hay otros símbolos. |
| Resta | - | No hay otros símbolos. |
Quizás te preguntes si los diferentes tipos de corchetes significan cosas diferentes. Aunque los campos matemáticos como el cálculo utilizan interpretaciones especializadas para los diferentes corchetes, las matemáticas de negocios utilizan todos los corchetes para ayudar al lector a emparejar visualmente los corchetes. Considera los siguientes dos ejemplos:
\[\text { Example } 1 : 3 \times(4 /(6-(2+2))+2)\nonumber \]
\[\text { Example } 2 : 3 \times[4 /\{6-(2+2)\}+2]\nonumber \]
Observe que en el segundo ejemplo puede emparejar los corchetes mucho más fácilmente, pero cambiar la forma de los corchetes no cambió la expresión matemática. Esto es importante de entender cuando se usa una calculadora, que generalmente tiene solo corchetes redondos. Dado que la forma del corchete no tiene impacto matemático, resolver el ejemplo 1 o el ejemplo 2 implicaría el uso repetido de los corchetes redondos.
BEDMAS
En el abridor de la sección, tu pregunta de prueba de habilidades era\(2 \times 5+30 \div 5\). ¿Simplemente resuelves esta expresión de izquierda a derecha, o deberías comenzar en otro lugar? Para evitar cualquier confusión sobre cómo resolver estas operaciones matemáticas, existe una secuencia acordada de pasos matemáticos comúnmente conocidos como BEDMAS. BEDMAS es un acrónimo de raquetas B, E xponents, D ivision, M ultiplication, A ddition y S ubaction.
Cómo funciona
Paso 1: Los soportes deben resolverse primero. Como los corchetes pueden anidarse uno dentro del otro, primero debe resolver el conjunto de corchetes más interno antes de continuar hacia el siguiente conjunto de corchetes. Al resolver un conjunto de corchetes, debe realizar las operaciones matemáticas dentro de los paréntesis siguiendo los pasos restantes en este modelo (EDMAS). Si hay más de un conjunto de corchetes pero los conjuntos no están anidados, trabaje de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
Paso 2: Si la expresión tiene algún exponente, debes resolver estos a continuación. Recuerda que un exponente indica cuántas veces necesitas multiplicar la base contra sí misma. Por ejemplo,\(2^{3}=2 \times 2 \times 2\). Más revisión de exponentes se encuentra en la Sección 2.4.
Paso 3: El orden de aparición para multiplicación y división no importa. No obstante, debes resolver estas operaciones en orden de izquierda a derecha y de arriba a abajo tal como aparecen en la expresión.
Paso 4: Las últimas operaciones a completar son suma y resta. El orden de aparición no importa; sin embargo, se deben completar las operaciones trabajando de izquierda a derecha a través de la expresión.
Notas Importantes
Antes de continuar con la calculadora BAII Plus de Texas Instruments, debe cambiar algunos de los valores predeterminados de fábrica, como se explica en la tabla a continuación. Para cambiar los valores predeterminados, abra la ventana Formato en su calculadora. Si por alguna razón se restablece tu calculadora (ya sea quitando la batería o presionando el botón de reinicio), debes realizar esta secuencia nuevamente.
| Botones pulsados | Pantalla de la calculadora | Lo que significa |
|---|---|---|
| 2do Formato | DEC=2.00 | Ha abierto la ventana Formato a su primer ajuste. DEC le dice a su calculadora cómo redondear los cálculos. En matemáticas de negocios, es importante ser precisos. Por lo tanto, configuraremos la calculadora a lo que se llama una pantalla flotante, lo que significa que su calculadora llevará todos los decimales y mostrará tantos como sea posible en la pantalla. |
| 9 Entrar | DEC=9 | La configuración decimal flotante ya está en su lugar. Procedamos. |
| \(\downarrow\) | DEG | Este entorno no tiene nada que ver con las matemáticas de negocios y simplemente se deja solo. Si no lee DEG, presione 2nd Set para alternarlo. |
| \(\downarrow\) | NOSOTROS 12-31-1990 | Las fechas se pueden ingresar en la calculadora. Los norteamericanos y los europeos utilizan formatos ligeramente diferentes para las fechas. Su pantalla indica formato norteamericano y es aceptable para nuestros propósitos. Si no lee US, presione 2nd Set para alternarlo. |
| \(\downarrow\) | NOSOTROS 1,000 | En Norteamérica es común separar números en bloques de 3 usando una coma. Los europeos lo hacen de manera ligeramente diferente. Esta configuración es aceptable para nuestros propósitos. Si su pantalla no lee US, presione 2nd Set para alternarlo. |
| \(\downarrow\) | Chn | Hay dos formas en que las calculadoras pueden resolver ecuaciones. Esto se conoce como el método Chain, lo que significa que tu calculadora simplemente resolverá ecuaciones a medida que la golpees sin tener en cuenta las reglas de BEDMAS. Esto no es aceptable y hay que cambiarlo. |
| 2do Set | AOS | AOS significa Sistema Operativo Algebraico. Esto significa que la calculadora ahora está programada para usar BEDMAS en la resolución de ecuaciones. |
| 2do Salir | 0 | Volver al uso regular de la calculadora. |
También tenga en cuenta que en la calculadora BAII Plus tiene dos formas de clavar un exponente:
- Si el exponente está cuadrando la base (e.g.,\(3^2\)), presione\(3x^2\). Calcula la solución de 9.
- Si el exponente es otra cosa que no sea un 2, debes usar el\(y^x\) botón. Para\(2^3\), presionas\(2 y^x 3\) =. Calcula la solución de 8.
Cosas a tener en cuenta
Signos Negativos. Recuerde que las matemáticas utilizan tanto números positivos (como\(+3\)) como números negativos (como\(−3\)). Los números positivos no necesitan tener el signo + colocado frente a ellos ya que está implícito. Así\(+3\) se escribe como apenas 3. Los números negativos, sin embargo, deben tener el signo negativo colocado frente a ellos. Tenga cuidado de no confundir la terminología de un número negativo con una resta o signo menos. Por ejemplo,\(4 + (−3)\) se lee como “cuatro más tres negativos” y no “cuatro más menos tres”. Para teclear un número negativo en una calculadora, ingresa primero el número seguido del botón ±, que cambia el signo del número.
La Línea Divisor Horizontal. Una de las áreas en las que la gente comete más errores involucra los “corchetes ocultos”. Este problema casi siempre ocurre cuando se usa la línea horizontal para representar la división. Considere la siguiente expresión matemática:
\[(4+6) \div(2+3)\nonumber \]
Si reescribe esta expresión usando la línea horizontal para representar el divisor, se ve así:
\[\dfrac{4+6}{2+3}\nonumber \]
Observe que los corchetes desaparecen de la expresión cuando la escribe con la línea divisor horizontal porque están implícitos por la manera en que aparece la expresión. Su mejor enfoque cuando se trabaja con una línea divisoria horizontal es reinsertar los corchetes alrededor de los términos tanto en la parte superior como en la inferior. Así, la expresión se ve así:
\[\dfrac{(4+6)}{(2+3)}\nonumber \]
Emplear esta técnica te asegurará que llegues a la solución correcta, especialmente al usar calculadoras.
Caminos hacia el éxito
Símbolos ocultos e implícitos. Si hay símbolos ocultos o implícitos en las expresiones, su primer paso es reinsertar esos símbolos ocultos en sus ubicaciones correctas. En el siguiente ejemplo, observe cómo se reinsertan la multiplicación oculta y los corchetes en la expresión:
\[4\left[\dfrac{3+2^{2} \times 3}{(2+8) \div 2}\right] \text { transforms into } 4 \times\left[\dfrac{\left\{3+2^{2} \times 3\right\}}{\{(2+8) \div 2\}}\right]\nonumber \]
Una vez que haya reinsertado los símbolos, estará listo para seguir el modelo BEDMAS.
Las calculadoras no están programadas para ser capaces de reconocer símbolos implícitos. Si tecleas “\(3(4 + 2)\)” en tu calculadora, al no introducir el signo de multiplicación entre el “3” y el “\((4 + 2)\), “obtienes una solución de 6. Tu calculadora ignora el “3” ya que no sabe qué operación matemática realizar en ella. Para que tu calculadora resuelva la expresión correctamente, debes perforar la ecuación como “\(3 \times (4 + 2)\)=”. Esto produce la respuesta correcta de 18.
Simplificando lo Negativo. Si tu pregunta involucra números positivos y negativos, a veces resulta confuso saber qué símbolo poner a la hora de simplificar o resolver. Recuerda estas dos reglas:
Regla #1: Un par de los mismos símbolos siempre es positivo. Así "\(4 + (+3)\)"” y "\(4 − (−3)\)" ambos se convierten "”\(4 + 3\).”
Regla #2: Un par de los símbolos opuestos siempre es negativo. Así "\(4 + (−3)\)"” y "\(4 − (+3)\)" ambos se convierten "”\(4 – 3\).”
Una forma sencilla de recordar estas reglas es contar el total de palos involucrados, donde un letrero “+” tiene dos palos y un letrero de “−” tiene un palo. Si tienes un número impar de palos totales, el resultado es un signo negativo. Si tienes un número par de palos totales, el resultado es una señal positiva. Tenga en cuenta los siguientes ejemplos:
\[4+(-3)= \rightarrow 3 \text { total sticks is odd and therefore simplifies to negative } \rightarrow 4-3=1\nonumber \]
\[(-2) \times(-2)=\rightarrow 2 \text { total sticks is even and therefore simplifies to positive } \rightarrow(-2) \times(-2)=+4\nonumber \]
Evalúe cada una de las siguientes expresiones.
- \(2 \times 5+30 \div 5\)
- \((6+3)^{2}+18 \div 2\)
- \(4 \times\left[\dfrac{\left\{3+2^{2} \times 3\right\}}{\{(2+8) \div 2\}}\right]\)
Solución
Es necesario evaluar cada una de las expresiones. Esto significa que debes resolver cada expresión.
Lo que ya sabes
Se le proporcionan las expresiones matemáticas en formato de fórmula. Estas expresiones están listas para que las resuelvas.
Cómo Llegarás
Emplear los conocimientos de BEDMAS para resolver cada operación en su orden correcto.
Realizar
| \(2 \times 5+30 \div 5\) |
Paso 1: Sin soportes Paso 2: Sin exponentes Paso 3: Trabajando de izquierda a derecha, resolver primero la multiplicación. |
| \(\mathbf{10}+30 \div 5\) | Paso 3: Ahora resuelve la división. |
| \(10+\mathbf{6}\) | Paso 4: Realizar la suma restante |
| \(\mathbf{16}\) | Solución final |
| \((6+3)^{2}+18 \div 2\) | Paso 1: Comienza con los brackets y realiza EDMAS; solo tienes una adición para realizar |
| \({\mathbf{9}}^2+18 \div 2\) | Paso 2: Resolver el exponente. |
| \(\mathbf{81}+18 \div 2\) | Paso 3: Realizar la división. |
| \(81+\mathbf{9}\) | Paso 4: Realizar la adición. |
| \(\mathbf{90}\) | Solución final |
| \(4 \times\left[\dfrac{\left\{3+2^{2} \times 3\right\}}{\{(2+8) \div 2\}}\right]\) | Paso 1: Comienza con el conjunto más interno de brackets $ (2+8) $ y realiza EDMAS. En este paréntesis, solo tienes una adición que resolver. |
| \(4 \times\left[\dfrac{\left\{3+2^{2} \times 3\right\}}{\{\mathbf{10} \div 2\}}\right]\) |
Los soportes más internos están completos, así que ahora los sueltas. Paso 1: Aún tienes dos juegos de soportes {} internos. Comienza con el top y realiza EDMAS |
| \(4 \times\left[\dfrac{\{3+\mathbf{4} \times 3\}}{\{10 \div 2\}}\right]\) | Exponente resuelto. |
| \(4 \times\left[\dfrac{\{3+\mathbf{12}\}}{\{10 \div 2\}}\right]\) | Multiplicación realizada. |
| \(4 \times\left[\dfrac{\mathbf{15}}{\{10 \div 2\}}\right]\) | Adición realizada. Ya no necesitas los brackets, así que los sueltas. Paso 1: Ahora haz los soportes inferiores, realizando EDMAS. Sólo tienes una división que resolver. |
| \(4 \times\left[\dfrac{15}{\mathbf{5}}\right]\) |
División concluida. Ya no necesitas los brackets, así que los sueltas. Paso 1: ¡Un último juego de corchetes para llevar! Sólo queda una división. |
| \(4 \times \mathbf{3}\) |
División realizada. Ya no necesitas los brackets, así que los sueltas. Paso 2: Sin exponentes. Paso 3: Realizar la multiplicación. |
| \(12\) | Paso 4: No es necesario Solución final. |
Instrucciones de la calculadora
- \(2 \times 5+30 \div 5=\)
- \((6+3) y^{x} 2+18 \div 2=\)
- \(4 \times\left((3+2) y^{x} 2 \times 3\right) \div((2+8) \div 2) )=\)
Las soluciones finales para las expresiones son:
- 16
- 90
- 12
Instrucciones de Excel En cualquier celda, ingrese una fórmula:
- \(=2 * 5+30 / 5\)
- \(=(6+3)^{\wedge} 2+18 / 3\)
- \(=4 *\left(\left(3+2^{\wedge} 2 * 3\right) /((2+8) / 2)\right)\)