2.2: Fracciones, decimales y redondeo (solo una rebanada de pastel, por favor)
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Su periódico local cita a un candidato político diciendo: “La mitad superior de los estudiantes está bien educada, la mitad inferior recibe ayuda extra, pero la mitad media la estamos dejando fuera”. [1] Usted mira fijamente la oración por un momento y luego ríe. Reducirlo a la mitad significa dividirlo en dos. Sin embargo, ¡aquí hay tres mitades! Concluye usted que el orador no estaba pensando con detenimiento.
Al llegar a esta conclusión, estás aplicando tus conocimientos de fracciones. En esta sección, revisarás tipos de fracciones, convertirás fracciones en decimales, realizarás operaciones en fracciones y también abordarás temas de redondeo en matemáticas empresariales.
Tipos de Fracciones
Para comprender las características, reglas y procedimientos para trabajar con fracciones, debe familiarizarse con la terminología de fracciones. En primer lugar, ¿qué es una fracción? Una fracción es parte de un todo. Está escrito en uno de tres formatos:
\[\text{1/2 or ½ or } \dfrac{1}{2}\nonumber \]
Cada uno de estos formatos significa exactamente lo mismo. El número en la parte superior, lateral o a la izquierda de la línea se conoce como numerador. El número en la parte inferior, lateral o a la derecha de la línea se conoce como denominador. La barra o línea en el medio es la línea divisoria. En el ejemplo anterior, el numerador es 1 y el denominador es 2. Existen cinco tipos diferentes de fracciones, como se explica en la siguiente tabla.
| Fracción | Terminología | Características | Resultado de la División* |
|---|---|---|---|
| \(\bf{\dfrac{2}{5}}\) | Propia | El numerador es menor que el denominador. | La respuesta está entre 0 y 1 |
| \(\bf{\dfrac{5}{2}}\) | Incorrecto | El numerador es mayor que el denominador. | La respuesta es mayor que 1 |
| \(\bf{3 \dfrac{2}{5}}\) | Compuesto | Fracción que combina un entero con una fracción propia o impropia. Cuando se realiza la división, se agrega la fracción propia o impropia al entero. | La respuesta es mayor que el entero |
| \(\bf{3 \dfrac{2 / 5}{7}}\) | Complejo | Fracción que tiene fracciones dentro de fracciones, combinando elementos de fracciones compuestas, propias o impropias juntas. Es importante seguir BEDMAS en la resolución de estas fracciones. | La respuesta varía dependiendo de las fracciones involucradas |
| \(\bf{\dfrac{1}{2}}\)y\(\bf{\dfrac{2}{4}}\) | Equivalente | Dos o más fracciones de cualquier tipo que tengan el mismo valor numérico al finalizar la división. Tenga en cuenta que ambos ejemplos funcionan a 0.5. | Las respuestas son iguales |
*Suponiendo que todos los números son positivos.
Cómo funciona
Primero, enfocarse en la correcta identificación de fracciones propias, impropias, compuestas, equivalentes y complejas. En la siguiente sección, trabajarás a través de cómo convertir con precisión estas fracciones en sus equivalentes decimales.
Las fracciones equivalentes requieren que resuelvas por un término desconocido o expreses la fracción en términos mayores o menores.
Resolviendo Por Un Término Desconocido
Estas situaciones involucran dos fracciones donde sólo falta uno de los numeradores o denominadores. Siga este procedimiento de cuatro pasos para resolver por lo desconocido:
Paso 1: Configura las dos fracciones.
Paso 2: Tenga en cuenta que su ecuación contiene dos numeradores y dos denominadores. Elige el par para el que conoces ambos valores.
Paso 3: Determinar la relación de multiplicación o división entre los dos números.
Paso 4: Aplicar la misma relación al par de numeradores o denominadores que contengan lo desconocido.
Asume que estás haciendo una fiesta y uno de tus amigos dice que le gustaría comer un tercio de la pizza. Se nota que la pizza ha sido cortada en nueve rebanadas. ¿Cuántas rebanadas le darías a tu amigo?
Paso 1: Tu amigo quiere una de cada tres piezas. Esto es un tercio. Quieres saber cuántas piezas de nueve para darle. Asigne una variable significativa para representar su desconocido, así que tenga que\(s\) representar el número de rebanadas a dar; necesita darle\(s\) de 9 piezas, o\(s/9\).
\[\dfrac{1}{3}=\dfrac{s}{9}\nonumber \]
Paso 2: Trabajar con los denominadores 3 y 9 ya que conoces a ambos.
Paso 3: Toma el número mayor y divídalo por el número menor. Nosotros tenemos\(9 \div 3 = 3\). Por lo tanto, el denominador de la derecha es tres veces mayor que el denominador de la izquierda.
Paso 4: Toma el 1 y multiplícalo por 3 para obtener el\(s\). Por lo tanto,\(s = 1 \times 3 = 3\).
\[\dfrac{1 \times 3}{3 \times 3}=\dfrac{3}{9}\nonumber \]
Deberías darle a tu amigo tres rebanadas de pizza.
Expresar la fracción en términos más grandes o más pequeños
Cuando necesitas hacer una fracción más fácil de entender o necesitas expresarla en cierto formato, ayuda intentar expresarla en términos mayores o menores. Para expresar una fracción en términos mayores, multiplique tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Para expresar una fracción en términos menores, divida tanto el numerador como el denominador por el mismo número.
- Términos más grandes:\(\dfrac{2}{12}\) expresado con términos el doble de grandes serían\(\dfrac{2 \times 2}{12 \times 2}=\dfrac{4}{24}\)
- Términos más pequeños:\(\dfrac{2}{12}\) expresados con términos la mitad de grandes serían\(\dfrac{2 \div 2}{12 \div 2}=\dfrac{1}{6}\)
Al expresar fracciones en términos superiores o inferiores, no desea introducir decimales en la fracción a menos que haya una razón específica para hacerlo. Por ejemplo, si dividiste 4 tanto en el numerador como en el denominador de, tendrías, que no es un formato típico. Para encontrar números que se dividan uniformemente en el numerador o denominador (llamado factorización), siga estos pasos:
- Escoja el número más pequeño de la fracción.
- Use sus tablas de multiplicación y comience con\(1\times\) antes de proceder a\(2\times\),\(3\times\), y así sucesivamente. Cuando encuentre un número que funcione, verifique para ver si también se divide uniformemente en el otro número.
Por ejemplo, si la fracción es\(\dfrac{12}{18}\), factorial el numerador de 12. Tenga en cuenta que\(1 \times 12 = 12\); sin embargo, 12 no divide de manera uniforme en el denominador. A continuación\(2 \times 6\) intentas descubrir que 6 sí se divide de manera uniforme en el denominador. Por lo tanto, se reduce la fracción a términos más pequeños dividiendo por 6, o\(\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6}=\dfrac{2}{3}\).
Cosas a tener en cuenta
Con fracciones complejas, es fundamental obedecer las reglas de BEDMAS. Como se sugiere en la Sección 2.1, siempre vuelva a insertar los símbolos ocultos antes de resolverlos. Observe en el siguiente ejemplo que un signo de adición y dos juegos de corchetes estaban ocultos: Debe reescribir\(3 \dfrac{2 / 5}{7}\) como\(3+\left[\dfrac{(2 / 5)}{7}\right]\) antes de intentar resolver con BEDMAS.
Caminos hacia el éxito
¿Qué haces cuando hay un signo negativo frente a una fracción, como\(-\dfrac{1}{2}\)? ¿Pones el negativo con el numerador o el denominador? La solución común es multiplicar el numerador por 1 negativo, resultando en\(\dfrac{(-1) \times 1}{2}=\dfrac{-1}{2}\). En el caso especial de una fracción compuesta, multiplique la fracción entera por\(−1\). Por lo tanto,\(-1 \dfrac{1}{2}=(-1) \times\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=-1-\dfrac{1}{2}\).
Identificar el tipo de fracción representada por cada una de las siguientes:
- \(\dfrac{2}{3}\)
- \(6 \dfrac{7}{8}\)
- \(12 \dfrac{4 / 3}{6 \dfrac{4}{5}}\)
- \(\dfrac{15}{11}\)
- \(\dfrac{5}{6}\)
- \(\dfrac{3}{4} \& \dfrac{9}{12}\)
Solución
Para cada una de estas seis fracciones, identificar el tipo de fracción.
Lo que ya sabes
Hay cinco tipos de fracciones, incluyendo apropiada, impropia, compuesta, compleja o equivalente
Cómo Llegarás Allí
Examine cada fracción por sus características y haga coincidir estas características con la definición de la fracción.
Realizar
- El numerador es menor que el denominador. Esto coincide con las características de una fracción propiamente dicha.
- Esta fracción combina un entero con una fracción propia (ya que el numerador es menor que el denominador). Esto coincide con las características de una fracción compuesta.
- Hay muchas fracciones que involucran fracciones anidadas dentro de otras fracciones. La fracción como un todo es una fracción compuesta, que contiene un entero con una fracción propia (ya que el numerador es menor que el denominador). Dentro de la fracción propiamente dicha, el numerador es una fracción impropia\(\left (\dfrac{4}{3} \right )\) y el denominador es una fracción compuesta que contiene un entero y una fracción propia\(\left (6 \dfrac{4}{5} \right)\). Todo esto coincide con la definición de una fracción compleja: fracciones anidadas que combinan elementos de fracciones compuestas, propias e impropias.
- El numerador es mayor que el denominador. Esto coincide con las características de una fracción impropia.
- El numerador es menor que el denominador. Esto coincide con las características de una fracción propiamente dicha.
- Aquí hay dos fracciones propias que son iguales entre sí. Si tuvieras que completar la división, ambas fracciones calculan en 0.75. Estas son fracciones equivalentes.
De las seis fracciones examinadas, hay dos fracciones propias (a y e), una fracción impropia (d), una fracción compuesta (b), una fracción compleja (c) y una fracción equivalente (f).
- Resuelve para el término desconocido\(x\):\(\dfrac{7}{12}=\dfrac{49}{x}\)
- Expresar esta fracción en términos más bajos:\(\dfrac{5}{50}\)
Solución
- Encuentra el valor del término desconocido,\(x\).
- Tomar la fracción adecuada y expresarla en un plazo inferior.
Lo que ya sabes
Se proporcionan las fracciones necesarias en un formato listo para resolver.
Cómo Llegarás Allí
- Aplicar la técnica de cuatro pasos para resolver fracciones equivalentes. El primer paso ya se ha hecho para ti, en que la ecuación ya está establecida.
- Encuentra un divisor común que divida uniformemente tanto en el numerador como en el denominador. Como solo 1 y 5 entran en el número 5, tiene sentido que elijas 5 para dividirlo tanto en el numerador como en el denominador. Tenga en cuenta que 5 factores uniformemente en el denominador, 50, lo que significa que no sobran resto ni decimales.
Realizar
Paso 2: Tienes los dos numeradores, así que trabaja con ese par.
Paso 3: Tome el número mayor y divídalo por el número menor, o\(49 \div 7 = 7\). Por lo tanto, multiplica la fracción de la izquierda por 7 para obtener la fracción de la derecha.
Paso 4: Aplicar la misma relación,\(12 \times 7 = 84\).
- \(\dfrac{5 \div 5}{50 \div 5}=\dfrac{1}{10}\)
Resultado
- El denominador desconocido a la derecha es 84, y por lo tanto\(\dfrac{7}{12}=\dfrac{49}{84}\).
- En términos inferiores,\(\dfrac{5}{50}\) se expresa como\(\dfrac{1}{10}\).
Convertir a decimales
Aunque las fracciones son comunes, muchas personas tienen problemas para interpretarlas. Por ejemplo, en\(\dfrac{27}{37}\) comparación con\(\dfrac{57}{73}\), ¿cuál es el número mayor? La solución no es inmediatamente aparente. También, imagina un mundo minorista donde tu Walmart local estaba teniendo una th fuera de venta! No es tan fácil darse cuenta de que esto equivale a un 15% de descuento. En otras palabras, las fracciones se convierten en decimales realizando la división para que sean más fáciles de entender y comparar.
Cómo funciona
Las reglas para convertir fracciones en decimales se basan en los tipos de fracciones.
Fracciones propias e impropias
Resolver la división. Por ejemplo,\(\dfrac{3}{4}\) es lo mismo que\(3 \div 4 = 0.75\). También,\(5/4=5 \div 4=1.25\).
Fracciones compuestas
El número decimal y la fracción están unidos por un símbolo de suma oculto. Por lo tanto, para convertir a decimal es necesario reinsertar el símbolo de suma y aplicar BEDMAS:
\[3 \dfrac{4}{5}=3+4 \div 5=3+0.8=3.8\nonumber \]
Fracciones Complejas
La habilidad crítica aquí es reinsertar todos los símbolos ocultos y luego aplicar las reglas de BEDMAS:
\[2 \dfrac{11 / 4}{11 / 4}=2+\left[\dfrac{(11 \div 4)}{(1+1 \div 4)}\right]=2+\left[\dfrac{(11 \div 4)}{(1+0.25)}\right]=2+\left[\dfrac{2.75}{1.25}\right]=2+2.2=4.2\nonumber \]
Convierte las siguientes fracciones en decimales:
- \(\dfrac{2}{5}\)
- \(6 \dfrac{7}{8}\)
- \(12 \dfrac{9 / 2}{1 \dfrac{2}{10}}\)
Solución
Toma estas fracciones y conviértalas en números decimales.
Lo que ya sabes
Las tres fracciones están provistas y listas para convertir.
Cómo Llegarás Allí
- Esta es una fracción propiamente dicha que requiere completar la división.
- Esta es una fracción compuesta que requiere que vuelva a insertar el símbolo de adición oculto y luego aplique BEDMAS.
- Esta es una fracción compleja que requiere reinsertar todos los símbolos ocultos y aplicar BEDMAS.
Realizar
- \(\dfrac{2}{5}=2 \div 5=0.4\)
- \(6 \dfrac{7}{8}=6+7 \div 8=6+0.875=6.875\)
- \(12 \dfrac{9 / 2}{10}=12+\left[\dfrac{9 \div 2}{1+2 \div 10}\right]=12+\left[\dfrac{9 \div 2}{1+0.2}\right]=12+\left[\dfrac{4.5}{1.2}\right]=12+3.75=15.75\)
En formato decimal, las fracciones se han convertido a 0.4, 6.875 y 15.75, respectivamente.
Principio de redondeo
Tu empresa necesita sacar un préstamo para cubrir alguna deuda a corto plazo. El banco tiene una tasa publicada de 6.875%. Tu oficial de banco te dice que, por simplicidad, simplemente redondeará tu tasa de interés al 6.9%. ¿Te parece bien? ¡No debería ser!
Lo que este ejemplo ilustra es la importancia del redondeo. Este es un concepto un poco complicado que confunde a la mayoría de los estudiantes hasta cierto punto. En matemáticas de negocios, a veces debes redondear tus cálculos y, a veces, necesitas retener todos los dígitos para mantener la precisión.
Cómo funciona
Para redondear un número, siempre miras el número a la derecha del dígito que se está redondeando. Si ese número es 5 o superior, agrega uno a su dígito; esto se llama redondeo hacia arriba. Si ese número es 4 o menos, dejas tu dígito solo; esto se llama redondeo a la baja.
Por ejemplo, si estás redondeando 8.345 a dos decimales, necesitas examinar el número en el tercer decimal (el de la derecha). Es un 5, por lo que se suma uno al segundo dígito y el número pasa a ser 8.35.
Para un segundo ejemplo, redondeemos 3.6543 al tercer decimal. Por lo tanto, se mira la cuarta posición decimal, que es un 3. Como dice la regla, dejarías solo el dígito y el número se convierte en 3.654.
Decimales no terminantes
¿Qué sucede cuando realizas un cálculo y el decimal no termina?
1. Es necesario evaluar si hay un patrón en los decimales:
- El decimal no terminante sin un patrón: Por ejemplo,\(\dfrac{6}{17}=0.352941176\)... sin decimal final aparente y sin patrón a los decimales.
- El decimal no terminante con un patrón: Por ejemplo,\(\dfrac{2}{11}=0.18181818\)... sin fin. Se puede ver que los números 1 y 8 se repiten. Una forma taquigráfica de expresar esto es colocar una línea horizontal por encima de los dígitos que se repiten. Así, se puede reescribir 0.18181818... as\(0 . \overline{18}\).
2. Necesitas saber si el número representa una solución provisional o definitiva a un problema:
- Solución provisional: Debes llevar adelante todos los decimales en tus cálculos, ya que el número no debe redondearse hasta que llegues a una respuesta final. Si estás completando la pregunta a mano, escribe tantos decimales como sea posible; para ahorrar espacio y tiempo, puedes usar la barra horizontal abreviada para repetir decimales. Si está completando la pregunta por calculadora, almacene el número entero en una celda de memoria.
- Solución Final: Para redondear este número, se debe aplicar un protocolo de la industria u otra instrucción clara. Si estos no existen, entonces harías una elección de redondeo arbitraria, sujeto a la condición de que debes mantener la precisión suficiente para permitir una interpretación razonable de la información.
Notas Importantes
Para ayudar en sus cálculos, particularmente aquellos que implican múltiples pasos para resolver, su calculadora tiene 10 celdas de memoria. Su pantalla está limitada a 10 dígitos, pero cuando almacena un número en una celda de memoria, la calculadora conserva todos los decimales asociados con el número, no solo los que se muestran en la pantalla. Su calculadora puede, de hecho, llevar hasta posiciones de 13 dígitos. Se recomienda encarecidamente que aproveche esta función donde sea necesario a lo largo de este libro de texto.
Digamos que acaba de terminar de ingresar su calculadora, y el número resultante es una solución intermedia que necesita para otro paso.\(\dfrac{6}{17}\) Con 0.352941176 en su pantalla, presione STO seguido de cualquier dígito numérico en el teclado de su calculadora. STO significa tienda. Para almacenar el número en la celda de memoria 1, por ejemplo, presione STO 1. El número con 13 dígitos se encuentra ahora en memoria permanente. Si borra su calculadora (presiona CE/C) y presiona RCL # (donde # es el número de celda de memoria), devolverá el número almacenado. RCL significa recuerdo. Presione RCL 1. El número almacenado 0.352941176 reaparece en la pantalla.
Convierte los siguientes a decimales. Redondee cada uno a cuatro decimales o use la notación decimal repetida.
- \(\dfrac{6}{13}\)
- \(\dfrac{4}{9}\)
- \(\dfrac{4}{11}\)
- \(\dfrac{3}{22}\)
- \(5 \dfrac{1 / 7}{10 / 27}\)
Solución
Convierte cada una de las fracciones en formato decimal, luego redondea cualquier respuesta final a cuatro decimales o usa notación decimal repetida.
Lo que ya sabes
Se han proporcionado las fracciones e instrucciones claras sobre cómo redondearlas.
Cómo Llegarás Allí
Para convertir las fracciones a decimales, es necesario completar la división obedeciendo las reglas de BEDMAS. Esté atento a los símbolos ocultos y adhiérase a las reglas de redondeo.
Realizar
- \(\dfrac{6}{13}=0.461538\). El quinto decimal es un 3, así redondear hacia abajo. La respuesta es 0.4615.
- \(\dfrac{4}{9}=0.444444\). Anote el decimal repetido de 4. Usando la barra horizontal, escriba\(0 . \overline{4}\).
- \(\dfrac{4}{11}=0.363636\). Anote los decimales repetidos de 3 y 6. Usando la barra horizontal, escriba\(0 . \overline{36}\).
- \(\dfrac{3}{22}=0.136363\). Anote los decimales repetidos de 3 y 6 después del 1. Usando la barra horizontal, escriba\(0.1 \overline{36}\).
- \(5 \dfrac{1 / 7}{10 / 27}=5+\dfrac{(1 \div 7)}{(10 \div 27)}=5+\dfrac{0.142857}{0.370}=5+0.385714=5.385714\). Ya que el quinto dígito es un 1, redondear hacia abajo. La respuesta es 5.3857.
De acuerdo con las instrucciones de redondeo, las soluciones son 0.4615\(0 . \overline{4}\),\(0 . \overline{36}\),\(0.1 \overline{36}\),, y 5.3857, respectivamente.
Reglas de redondeo
Una de las fuentes más comunes de dificultades en matemáticas es que diferentes personas a veces usan diferentes estándares para redondear. Esto interfiere seriamente con la consistencia de las soluciones finales y dificulta la evaluación de la precisión. Para que todos lleguen a la misma solución a los ejercicios/ejemplos en este libro de texto, estas reglas de redondeo se aplican a lo largo del libro:
- Nunca redondee una solución provisional a menos que haya una razón lógica o un proceso de negocio que obligue a redondear el número. Aquí hay algunos ejemplos de razones lógicas o procesos de negocio que indican que debe redondear:
- Retira dinero o lo transfiere entre diferentes cuentas bancarias. Al hacerlo, solo se pueden registrar dos decimales y por lo tanto cualquier dinero que se mueva entre las herramientas financieras debe redondearse a dos decimales.
- Es necesario escribir los números en un estado financiero o cobrar un precio por un producto. Como nuestra moneda está en dólares y centavos, sólo pueden aparecer dos decimales.
- Cuando escribes decimales no terminantes, muestra solo los primeros seis (o hasta seis) decimales. Utilice el formato de línea horizontal para repetir decimales. Si el número no es una solución final, entonces supongamos que se están llevando adelante todos los decimales o tantos como sea posible.
- Redondea todos los números finales a seis decimales en formato decimal y cuatro decimales en formato porcentual a menos que las instrucciones indiquen lo contrario.
- Redondear soluciones finales de acuerdo con prácticas comerciales comunes, limitaciones prácticas o instrucciones específicas. Por ejemplo, redondear a dos decimales cualquier respuesta final que involucre la moneda del dólar. Este tipo de prácticas comerciales comunes y cualquier excepción se discuten ya que surgen en diversos puntos de este libro de texto.
- Generalmente evita escribir ceros, que no se requieren al final de los decimales, a menos que sean requeridos para cumplir con un estándar de redondeo o alinear visualmente una secuencia de números. Por ejemplo, escribe 6.340 como 6.34 ya que no hay diferencia en la interpretación al dejar caer el cero.
Caminos hacia el éxito
¿Su solución final varía de la solución real en una pequeña cantidad? ¿La pregunta implicó múltiples pasos o cálculos para obtener la respuesta final? ¿Estuvieron involucrados muchos decimales o fracciones? Si contestas sí a estas preguntas, la fuente de error más común radica en el redondeo. Aquí hay algunas comprobaciones rápidas de errores para obtener respuestas que son “cercanas”:
- ¿Te acordaste de obedecer las reglas de redondeo establecidas anteriormente? Lo más importante, ¿lleva decimales para soluciones provisionales y redondeo solo en soluciones finales?
- ¿Resolviste cada fracción o paso con precisión? Verifique si hay cálculos incorrectos o errores fáciles de hacer, como números transpuestos.
- ¿Rompiste alguna regla de BEDMAS?
Referencias
- Neal, Marcia. Candidato a la Junta de Educación del 3er Distrito del Congreso del Estado de Colorado, como se cita en Pérez, Gayle. 2008. "Maestra de escuela jubilada busca escaño en Junta Estatal”. Cacique de Pueblo.