2.3: Porcentajes (¿Cómo se relaciona todo?)

Tu clase acaba de escribir su primer cuestionario de matemáticas. Tienes 13 de 19 preguntas correctas, o\(\dfrac{13}{19}\). Al hablar con tus amigos Sandhu e Illija, que están en otras clases, descubres que también escribieron cuestionarios de matemáticas; sin embargo, los suyos eran diferentes. Sandhu anotó 16 de 23, o\(\dfrac{16}{23}\), mientras que Illija consiguió 11 de 16, o\(\dfrac{11}{16}\). ¿Quién logró la calificación más alta? ¿Quién tuvo el más bajo? Las respuestas no son fácilmente aparentes, porque las fracciones son difíciles de comparar.

Ahora exprese sus calificaciones en porcentajes en lugar de fracciones. Usted anotó 68%, Sandhu anotó 70%, e Illija anotó 69%. Observe que ahora puede responder fácilmente a las preguntas. La ventaja de los porcentajes es que facilitan la comparación y la comprensión.

Conversión de decimales a porcentajes

Un porcentaje es una parte de un todo expresado en centésimas. En otras palabras, es un valor sobre 100. Por ejemplo, 93% significa 93 de cada 100, o\(\dfrac{93}{100}\).

La Fórmula

Fórmula 2.1

Cómo funciona

Supongamos que desea convertir el número decimal 0.0875 en un porcentaje. Este número representa la\(\boldsymbol{dec}\) variable en la fórmula. Sustituir a la Fórmula 2.1:

\[\%=0.0875 \times 100=8.75 \%\nonumber \]

Notas Importantes

También puedes resolver esta fórmula para el número decimal. Para volver a convertir cualquier porcentaje a su forma decimal, es necesario realizar un opuesto matemático. Dado que un porcentaje es resultado de multiplicar por 100, se logra lo contrario matemático dividiendo por 100. Por lo tanto, para convertir 81% de nuevo en forma decimal, se toma\(81 \% \div 100=0.81\).

Cosas a tener en cuenta

Tu calculadora BAII Plus de Texas Instruments tiene una clave% que puede ser utilizada para convertir cualquier número porcentual a su formato decimal. Por ejemplo, si presionas 81 y luego%, tu calculadora muestra 0.81.

Si bien esta función funciona bien cuando se trata de un solo porcentaje, causa problemas cuando tu problema matemático involucra múltiples porcentajes. Por ejemplo, intente introducir 4% + 3% = en la calculadora usando la clave%. Esto debería ser lo mismo que\(0.04 + 0.03 = 0.07\). Observe, sin embargo, que su calculadora tiene 0.0412 en la pantalla.

¿Por qué es esto? Como calculadora de negocios, tu BAII Plus está programado para tomar porciones de un todo. Cuando ingresas 3% en la calculadora, toma 3% del primer número ingresado, que fue 4%. Como fórmula, la calculadora ve\(4 \%+(3 \% \times 4\%)\). Esto funciona para\(0.04 + 0.0012 = 0.0412\).

Para evitar que esto suceda, tu mejor curso de acción es no usar la clave% en tu calculadora. Lo mejor es teclear todos los porcentajes como números decimales siempre que sea posible, eliminando así cualquier posibilidad de que la clave% tome una porción de su totalidad. A lo largo de este libro de texto, todos los porcentajes se convierten a decimales antes de que se realicen los cálculos

Caminos hacia el éxito

Al trabajar con porcentajes, puedes usar algunos trucos para recordar la fórmula y mover el punto decimal.

Recordando la Fórmula. Cuando una ecuación implica solo la multiplicación de todos los términos por un lado con una solución aislada en el otro lado, use una técnica mnemotécnica llamada triángulo. En esta técnica, dibuja un triángulo con una línea horizontal a través de su centro. Por encima de la línea va la solución, y por debajo de la línea, separada por líneas verticales, va cada uno de los términos involucrados en la multiplicación. La figura de la derecha muestra cómo se dibujaría la Fórmula 2.1 usando la técnica del triángulo.

Para usar este triángulo, identifica la variable desconocida, que luego calculas a partir de las otras variables del triángulo:

1. Cualquier cosa en la misma línea se multiplica. Si se resuelve para%, entonces las otras variables están en la misma línea y se multiplican como\(\boldsymbol{dec} \times 100\).
2. Cualquier par de artículos con uno encima del otro se trata como una fracción y se divide. Si resuelve para\(\boldsymbol{dec}\), entonces las otras variables están por encima/ debajo una de la otra y se dividen como\(\dfrac{\%}{100}\).

Mover el Decimal. Otra manera fácil de trabajar con porcentajes es recordar que multiplicar o dividir por 100 mueve el decimal sobre dos lugares.

1. Si estás multiplicando por 100, la posición decimal mueve dos posiciones hacia la derecha. \[0.73 \times 100=0.\underbrace{\overrightarrow{7}}_{\text {2 positions}}\underbrace{\overrightarrow{3}}_{\text { to the right}}=73 \% \nonumber \]
2. Si estás dividiendo por 100, la posición decimal mueve dos posiciones hacia la izquierda. \[73\% \div 100=\underbrace{\overleftarrow{7}}_{\text {2 positions}}\underbrace{\overleftarrow{3}}_{\text { to the left}}\cdot = 0.73 \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Working with Percentages

Convertir (a) y (b) en porcentajes. Convertir (c) de nuevo en formato decimal.

1. \(\dfrac{3}{8}\)
2. 1.3187
3. 12.399%

Solución

Para las preguntas (a) y (b), es necesario convertirlas en formato porcentual. Para la pregunta (c), es necesario convertirla de nuevo a formato decimal.

Lo que ya sabes

1. Esta es una fracción a convertir en decimal, o\(\boldsymbol{dec}\).
2. Esto es\(\boldsymbol{dec}\).
3. Esto es%.

Cómo Llegarás Allí

1. Convertir la fracción en un decimal para tener\(\boldsymbol{dec}\). Después aplica la Fórmula 2.1:\(\% = \boldsymbol{dec} \times 100\) para obtener el porcentaje.
2. Como este término ya está en formato decimal, aplique la Fórmula 2.1:\(\% = \boldsymbol{dec} \times 100\) para obtener el porcentaje.
3. Este término ya está en formato porcentual. Usando la técnica del triángulo, calcule el número decimal a través\(\boldsymbol{dec}=\dfrac{\%}{100}\).

Realizar

1. \(\dfrac{3}{8}=3 \div 8=0.375\)\(\%=0.375 \times 100\)\(\% = 37.5\%\)
2. \(\%=1.3187 \times 100\)\(\% = 131.87\%\)
3. \(\boldsymbol{dec}=\dfrac{12.399 \%}{100}=0.12399\)

En formato porcentual, los dos primeros números son 37.5% y 131.87%. En formato decimal, el último número es 0.12399.

Tasa, Porción, Base

En tu vida personal y carrera, a menudo necesitarás calcular o comparar varias cantidades que involucran fracciones. Por ejemplo, si tu ingreso es de $3,000 mensuales y no puedes gastar más del 30% en vivienda, ¿cuál es tu monto máximo en dólares de vivienda? O tal vez tu gerente te diga que las ventas de este año por $1,487.003 son el 102% de las ventas del año pasado. ¿Cuáles fueron tus ventas el año pasado?

La Fórmula

Fórmula 2.2

Cómo funciona

Supongamos que su empresa ha establecido un presupuesto de $1,000,000. Este es el monto total del presupuesto y representa tu base. Su departamento obtiene $430,000 del presupuesto, esta es la parte del conjunto de su departamento y representa la porción. Quieres conocer la relación entre tu presupuesto y el presupuesto de la empresa. En otras palabras, estás buscando la tarifa.

• Aplicar Fórmula 2.2, donde tasa\(=\dfrac{\$ 430,000}{\$ 1,000,000}\).
• Tu presupuesto es 0.43, o 43%, del presupuesto de la empresa.

Notas Importantes

Hay tres partes en esta fórmula. Los errores suelen ocurrir a través de la asignación incorrecta de una cantidad a su variable asociada. La siguiente tabla proporciona algunos consejos y palabras clave para ayudarte a hacer la tarea correcta.

Variable	Palabras clave	Ejemplo
Base	de	Si su departamento puede gastar 43% del presupuesto total de la compañía de $1,000,000, ¿cuál es su gasto departamental máximo?
Porción	es, son	Si su departamento puede gastar 43% del presupuesto total de la compañía de $1,000,000, ¿cuál es su gasto departamental máximo?
Tarifa	%, porcentaje, tasa	Si su departamento puede gastar 43% del presupuesto total de la compañía de $1,000,000, ¿cuál es su gasto departamental máximo?

Cosas a tener en cuenta

Al resolver la tasa, debes expresar todos los números en las mismas unidades; no puedes tener manzanas y naranjas en la misma secuencia de cálculos. En el ejemplo anterior, tanto el presupuesto de la empresa como el presupuesto departamental están en las unidades de dólares. Alternativamente, no podrás calcular la tarifa si tuvieras una base expresada en kilómetros y una porción expresada en metros. Antes de realizar el cálculo de tarifas, exprese ambos en kilómetros o ambos en metros.

Caminos hacia el éxito

La Fórmula 2.2 es otra fórmula para la que puedes usar la técnica del triángulo. No es necesario memorizar múltiples versiones de la fórmula para cada una de las variables. El triángulo aparece a la derecha.

Tenga mucho cuidado al realizar operaciones que involucren tarifas, particularmente al sumar o promediar tasas.

Sumando Tarifas

La suma de tarifas requiere que cada tarifa sea parte del mismo conjunto o base. Si Bob tiene el 5% de los kilómetros recorridos y Sheila tiene el 6% de las naranjas, estas no son parte del mismo conjunto y no se pueden agregar. Si lo hiciste, ¿qué representa el 11%? El resultado no tiene interpretación. No obstante, si hay 100 naranjas de las cuales Bob tiene 5% y Sheila tiene 6%, se pueden sumar las tarifas y se puede decir que en total tienen 11% de las naranjas.

Promedio de tasas

El promedio simple de tarifas requiere que cada tasa sea una medida de la misma variable con la misma base. Si 36% de tus clientes son mujeres y 54% tienen ingresos altos, el promedio de 45% no tiene sentido ya que cada tasa mide una variable diferente. Recordemos que antes en este capítulo lograste 68% en tu prueba y Sandhu obtuvo 70%. Sin embargo, su prueba involucró 19 preguntas y Sandhu involucró 23 preguntas. Estas tasas tampoco pueden promediarse simplemente al 69% sobre el razonamiento de que (68% + 70%)/2 = 69%, ya que las bases no son las mismas. Cuando dos variables miden la misma característica pero tienen bases diferentes (como los cuestionarios matemáticos), se debe utilizar una técnica de promedio ponderado, que se discutirá en la Sección 3.1.

¿Cuándo puedes promediar las tarifas? Hipotéticamente, supongamos que Sandhu logró su 70% al escribir la misma prueba con 19 preguntas. Dado que ambas tasas miden la misma variable y tienen la misma base, ahora es calculable el promedio simple del 69%.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Considera las siguientes situaciones y selecciona la mejor respuesta sin realizar ningún cálculo.

1. Si la tasa es de 0.25%, en comparación con la base la porción es
   1. sólo un poco más pequeño que la base.
   2. mucho más pequeño que la base.
   3. sólo un poco más grande que la base.
   4. mucho más grande que la base.
2. Si la porción es de $44,931 y la base es de $30.000, la tasa es
   1. menor al 100%.
   2. igual al 100%.
   3. mayor al 100% pero menor al 200%.
   4. mayores al 200%.
3. Si la tasa es del 75% y la porción es de $50.000, la base es
   1. menores a 50,000 dólares.
   2. mayores a 50.000 dólares.
   3. lo mismo que la porción e igual a 50.000 dólares.

Contestar

1. b (0.25% es 0.0025, resultando en una porción muy pequeña)
2. c (la porción es más grande que la base, pero no el doble de grande)
3. b (la porción representa el 75% de la base, lo que significa que la base debe ser mayor)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Rate, Portion, Base

Resuelve por lo desconocido en los siguientes tres escenarios.

1. Si tu ingreso total es de $3,000 mensuales y no puedes gastar más del 30% en vivienda, ¿cuál es el monto máximo de tu ingreso total que se puede gastar en vivienda?
2. Tu gerente te dice que las ventas de 2014 son 102% de las ventas de 2013. Las ventas para 2014 son de $1,487,003. ¿Cuáles fueron las ventas en 2013?
3. En Calgary, las ventas totales de bienes raíces comerciales en el primer trimestre de 2008 fueron de 1.280 millones de dólares. El sector de tierras industriales, comerciales e institucionales (ICI) en Calgary tuvo ventas de 409.6 millones de dólares. ¿Qué porcentaje de ventas de bienes raíces comerciales es contabilizado por el sector de tierras ICI?

Solución

1. Estás buscando el monto máximo de tus ingresos que se puede gastar en vivienda.
2. Necesitas averiguar las ventas para 2013.
3. Debe determinar el porcentaje de ventas de bienes raíces comerciales contabilizados por el sector de tierras ICI en Calgary.

Lo que ya sabes

1. Busque palabras clave en la pregunta: “cuál es la cantidad máxima” y “de su ingreso total”. El ingreso total es la base, y el monto máximo es la porción.
   • Base = $3,000 Tasa = 30% Porción = monto máximo
2. Busque palabras clave en la pregunta: “las ventas para 2014 son de $1,487,003" y “de ventas de 2013”. Las ventas de 2014 son la porción, y las ventas de 2013 es la base.
   • Porción = $1,487,003 Tasa = 102% Base = ventas 2013
3. Busque palabras clave en la pregunta: “de las ventas de bienes raíces comerciales” y “son contabilizadas por el sector terrestre de ICI”. Las ventas de bienes raíces comerciales son la base, y las ventas del sector terrestre de ICI son la porción.
   • Base=$1.28 mil millones Porción=$409.6 millones=Porcentaje

Cómo Llegarás Allí

1. Aplica la Fórmula 2.2, pero reorganízalo usando la técnica del triángulo para tener Porción = Tasa\(\times\) Base.
2. Aplica la Fórmula 2.2, pero reorganízalo usando la técnica del triángulo para tener Base=Porción/Rate.
3. Aplicar Fórmula 2.2, Tasa = Porción/Base.

Realizar

1. \(\text { Portion }=30 \% \times \$ 3,000=0.3 \times \$ 3,000=\$ 900\)
2. \(\text { Base }=\dfrac{\$ 1,487,003}{102 \%}=\dfrac{\$ 1,487,003}{1.02}=\$ 1,457,846.08\)
3. \(\text { Rate }=\dfrac{\$ 409.6 \text { million }}{\$ 1.28 \text { billion }}=\dfrac{\$ 409,600,000}{\$ 1,280,000,000}=0.32 \text { or } 32 \%\)

Resultado

1. El máximo que puedes gastar en vivienda es de $900 mensuales.
2. Las ventas de 2013 fueron de $1,457,846.08.
3. El sector de tierras ICI representó 32% de las ventas de bienes raíces comerciales en Calgary durante el primer trimestre de 2008.

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