9.7: Determinar el número de compuestos

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¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar una meta financiera? En una reunión informal en su casa, un amigo cercano habla de ahorrar para unas vacaciones de 14 días en el Blue Bay Grand Esmeralda Resort en la Riviera Maya de México al graduarse. El costo estimado de Travelocity.ca es de $1,998.94 incluyendo tarifas e impuestos. Ya ha ahorrado 1.775 dólares en un fondo que gana 8% compuesto trimestralmente. Asumiendo que los costos siguen siendo los mismos y no hace más contribuciones, ¿puedes decirle qué tan pronto estará tomando el sol en las playas de México?

En esta sección se muestra cómo calcular el marco de tiempo para las transacciones de interés compuesto de pago único. Puedes aplicar estos conocimientos a cualquier objetivo financiero personal. O en tu carrera, si trabajas en una empresa de tamaño mediano a grande, es posible que necesites invertir dinero con el objetivo de usar los fondos al vencimiento para perseguir proyectos de capital o incluso oportunidades de desarrollo de productos. Por lo tanto, conocer el marco de tiempo para que la inversión crezca lo suficientemente grande le permitirá programar los proyectos objetivo.

Los escenarios introductorios examinan situaciones en las que el número de períodos compuestos resulta ser un número entero. Luego abordará escenarios más desafiantes que involucran cálculos de marcos de tiempo con períodos de composición no enteros.

Períodos compuestos enteros

Algunas aplicaciones de resolución para el número de períodos compuestos incluyen las siguientes:

Determinar el marco de tiempo para alcanzar una meta financiera
Calcular el periodo de tiempo que transcurre entre un valor presente y futuro
Evaluar el desempeño de las inversiones financieras

La Fórmula

Para resolver el número de compuestos necesitas Fórmula 9.3 una vez más. La única diferencia con sus usos anteriores de esta fórmula es que la variable desconocida cambia de$FV$ a$N$, lo que requiere que sustituya y reorganice la fórmula algebraicamente.

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Cómo funciona

Siga estos pasos para calcular el número de períodos compuestos (y, en última instancia, el marco de tiempo):

Paso 1: Dibuja una línea de tiempo para visualizar la pregunta. Lo más importante en este paso es identificar$PV$,$FV$, y la tasa de interés nominal (ambos$IY$ y$CY$).

Paso 2: Resolver para la tasa de interés periódica ($i$) usando la Fórmula 9.1.

Paso 3: Sustituya a la Fórmula 9.3, reorganice y resuelva para$N$. Tenga en cuenta que el valor de$N$ representa el número de períodos compuestos. Por ejemplo, si la capitalización es trimestral, un valor de$N = 9$ es nueve trimestres.

Paso 4: Tomar el valor de$N$ y convertirlo de nuevo a un formato más comúnmente expresado como años y meses. Cuando el número de períodos de composición calculados en el paso 3 se convierte en un número entero, manejar el paso 4 implica aplicar la Fórmula 9.2 reorganizada y resolver para$\text { Years }=\dfrac{N}{CY}$.

Si los Años es un número entero, ya terminaste.
Si el Years es un no entero, la porción de número entero (la parte delante del decimal) representa el número de años. Según sea necesario, toma la parte del número decimal (la parte posterior al punto decimal) y multiplícala por 12 para convertirla a meses. Por ejemplo, si tienes$\text{Years }= 8.25$ entonces tienes 8 años más$0.25 \times 12 = 3$ meses, o 8 años y 3 meses.

Revisando el escenario de apertura, tu amigo ha ahorrado $1,775 y necesita que se convierta en 1.998.94 dólares al 8% compuesto trimestralmente. ¿Cuánto tiempo tardará?

Paso 1: La línea de tiempo ilustra este escenario. Tenga en cuenta que$IY=8 \%$ y$CY=\text { quarterly }=4$.

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Paso 2: La tasa de interés periódica es$i=8 \% / 4=2 \%$.

Paso 3: Aplicando la Fórmula 9.3, tienes$\$ 1,998.94=\$ 1,775(1+0.02)^{N}$ o$N = 6$ (los detalles del álgebra se pueden encontrar en ejemplos posteriores).

Paso 4: Aplicando la Fórmula rearreglada 9.2,$\text { Years }=\dfrac{6}{4}=1.5$. Tu amigo se dirigirá a la Riviera Maya en$1\frac{1}{2}$ años. Si prefieres expresarlo en meses, es de 1 año más$0.5 \times 12=6$ meses, o de 1 año y 6 meses.

Notas Importantes

Puedes usar tu calculadora financiera exactamente de la misma manera que en la Sección 9.2 excepto que tu variable desconocida será$N$ en lugar de$FV$. Como siempre, debes cargar las otras seis variables y obedecer la convención de señales de flujo de caja. Una vez que computes$N$, tendrás que completar el paso 4 manualmente para expresar la solución en su formato más común de años y meses.

Cosas a tener en cuenta

$N$rara vez funciona a un entero, y eso causa mucho dolor. Cuando se$FV$ conocen los valores tanto del$PV$ y, por lo general, uno de estos números es redondeado. Debido a este redondeo, el cálculo de$N$ casi siempre produce decimales, aunque esos decimales sean muy pequeños. Por ejemplo, en el cálculo$N = 6$ es posible llegar a un valor de 5.999963 o 6.000018. ¿Cómo se puede saber si esos decimales resultan de un valor redondeado (lo que significa que realmente$N$ es un entero) o si esos decimales son significativos y necesitan ser tratados tal como están (como verá discutido más adelante cuando consideramos períodos compuestos no enteros)?

Determinas qué camino tomar redondeando mentalmente tu calculado$N$ al tercer decimal. Si esto da como resultado un entero, entonces los decimales se deben al redondeo de$FV$ y a partir de entonces se puede tratar el$N$ como un entero. Si un no entero todavía está presente, entonces los decimales son significativos y tendrá que abordar un período de composición no entero (como se discutirá más adelante en esta sección). Por ejemplo, 5.999963 cuando se redondea mentalmente a tres decimales es de 6.000. Por lo tanto, considera$N$ que el es 6 y no 5.999963. En contraste, 5.985996 cuando se redondea mentalmente a tres decimales es 5.986, que es un no entero. Esto significa que los decimales son significativos, por lo que no podrás redondear al entero más cercano.

Caminos hacia el éxito

En la Sección 9.6, la Regla del 72 permitió estimar el tiempo que tarda en años para que el dinero se duplique cuando conoce la tasa efectiva. Cuando trabajas con cualquier marco de tiempo que implique la duplicación del dinero, esta regla puede permitirte verificar rápidamente si tu valor calculado de$N$ es razonable.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Give It Some Thought

Se enumeran algunos valores de$N$. Determina si debes tratar$N$ como un entero o un no entero.
1. 9.000345
2. 5.993129
3. 6.010102
4. 11.999643
5. 10.000987
6. 3.999999
De $1,000 creciendo a $2,000 o $2,000 creciendo a $3,000, ¿qué tardará más a la misma tasa de interés?

Contestar

1. 9.000 entero
2. 5.993 no entero
3. 6.010 no entero
4. 12.000 entero
5. 10.001 no entero
6. 4.000 entero
$1,000 creciendo a $2,000 llevará más tiempo ya que implica una duplicación de dinero, mientras que $2,000 creciendo a $3,000 aumenta la cantidad en menos de una duplicación.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Integer Compounding Period Investment

Jenning Holdings invirtió 43,000 dólares a 6.65% compuesto trimestralmente. Un reporte del departamento de finanzas muestra que actualmente la inversión está valorada en 67,113.46 dólares. ¿Cuánto tiempo se ha invertido el dinero?

Solución

Determinar la cantidad de tiempo que se ha invertido el principal. Esto requiere calcular el número de periodos compuestos ($N$).

Lo que ya sabes

Paso 1:

Se conocen el principal, el valor futuro y la tasa de interés, como se ilustra en la línea de tiempo.

$clipboard_eff532633e29b06a7b4616887ab6f5688.png$

$IY$= 6.65%;$CY$ =4

Cómo Llegarás

Paso 2:

Aplicar Fórmula 9.1.

Paso 3:

Sustituya a la Fórmula 9.3, reorganice y resuelva para$N$. Recordemos de la Sección 2.6 que para resolver una ecuación para un exponente desconocido se toma el logaritmo de ambos lados. También necesitarás aplicar la regla general para logaritmo de una potencia$\ln \left(x^{y}\right)=y(\ln x)$.

Paso 4:

Aplique la Fórmula 9.2, reorganice y resuelva por Años.

Realizar

Paso 2:

\[i=\dfrac{6.65 \%}{4}=1.6625 \% \nonumber \]

Paso 3:

\[\begin{aligned} \$ 67,113.46 &=\$ 43,000(1+0.016625)^{N} \\ 1.560778 &=1.016625^{N} \\ \ln (1.560778) &=\ln \left(1.016625^{N}\right)=N \times \ln (1.016625) \\ 0.445184 &=N \times 0.016488 \\ N &=26.999996 \text { or } 27 \text { quarterly compounds } \end{aligned} \nonumber \]

Paso 4:

$\begin{align*} 27 &= 4\times \text {Years}\\ \text {Years} &= 6.75 \end{align*} $

que es 6 años más 0.75 × 12 = 9 meses

Instrucciones de la calculadora

N	YO/Y	PV	PMT	FV	P/Y	C/Y
Respuesta: 26,999996	6.65	-43000	0	67113.46	4	4

Jenning Holdings ha tenido el dinero invertido desde hace seis años y nueve meses.

Períodos compuestos no enteros

Cuando el número de períodos compuestos no funciona a un entero, el método de cálculo$N$ no cambia. No obstante, lo que cambia es el método mediante el cual se convierte$N$ y lo expresa en términos más comunes (paso 4 del proceso). Por lo general, el no entero implica un número de años, meses y días.

Como se resume en la siguiente tabla, para convertir el periodo compuesto en el número correcto de días se pueden hacer los siguientes supuestos:

Periodo de composición	Número de Días en el Periodo
Anual	365
Semestral	182*
Trimestre	91*
Mes	30*
Semana	7
Diariamente	1

Cómo funciona

Todavía usas los mismos cuatro pasos para resolver el número de períodos compuestos cuando se$N$ calcula en un no entero como lo hiciste para los enteros. No obstante, en el paso 4 hay que alterar la forma en que conviertes el$N$ a una expresión común. Aquí está cómo convertir el valor:

Separe el entero del decimal para su valor de$N$.
Con la porción entera, aplique la misma técnica utilizada con un entero$N$ para calcular el número de años y meses.
Con la porción decimal, multiplique por el número de días en el periodo para determinar el número de días y redondear la respuesta al día más cercano (tratando los decimales como resultado de un monto de interés redondeado incluido en el valor futuro).

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La figura de la derecha ilustra este proceso para una$N = 11.63$ con composición trimestral, o$CY = 4$. Así, un compuesto$N = 11.63$ trimestral se convierte en un marco de tiempo de 2 años, 9 meses y 57 días. Tenga en cuenta que sin más información, es imposible simplificar los 57 días en meses y días ya que no está claro si los meses involucrados tienen 28, 29, 30 o 31 días.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Saving for Postsecondary Education

Tabitha estima que necesitará 20 mil dólares para la educación postsecundaria de su hija cuando cumpla 18 años. Si Tabitha es capaz de ahorrar hasta $8,500, ¿con qué anticipación del 18 cumpleaños de su hija necesitaría invertir el dinero al 7.75% compuesto semestralmente?

Solución

Determinar la cantidad de tiempo antes del cumpleaños número 18 de la hija en el que se necesita invertir el dinero. Se debe calcular el número de periodos compuestos ($N$).

Lo que ya sabes

Paso 1:

Se conocen el principal, el valor futuro y la tasa de interés, como se ilustra en la línea de tiempo.

$clipboard_ea06dba8f2ca8bf3811d956c1174d2621.png$

$IY$= 7.75%;$CY$ =2

Cómo Llegarás

Paso 2:

Aplicar Fórmula 9.1.

Paso 3:

Sustituya a la Fórmula 9.3, reorganice y use la regla para el logaritmo de un poder para resolver$N$.

Paso 4:

Aplique la Fórmula 9.2, reorganice y resuelva por Años.

Paso 2:

\[i=\dfrac{7.75 \%}{2}=3.875 \% \nonumber \]

Paso 3:

\[\begin{aligned} & \$ 20,000=\$8,500(1+0.03875)^{N} \\ 2.352941 &=1.03875^{N} \\ \ln (2.352941) &=N \times \ln (1.03875) \\ 0.855666 &=N \times 0.038018 \\ N &=22.506828 \; \text {semi-annual compounds } \end{aligned} \nonumber \]

Paso 4:

Toma el número entero:

$\begin{align*} 22 &= 2\times \text {Years}\\ \text {Years} &= 11 \end{align*} \nonumber $

Toma el decimal: la capitalización semestral de acuerdo es de 182 días, por lo que 0.506828 × 182 días = 92 días

Instrucciones de la calculadora

N	YO/Y	PV	PMT	FV	P/Y	C/Y
Respuesta: 22.506828	7.75	-8500	0	20000	2	2

Si Tabitha invierte los $8,500 11 años y 92 días antes del 18 cumpleaños de su hija, crecerá a 20,000 dólares.

Colaboradores y Atribuciones

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Integer Compounding Period Investment

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Saving for Postsecondary Education