2.1: Introducción a Matrices

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, aprenderás a:

1. Sumar y restar matrices.
2. Multiplica una matriz por un escalar.
3. Multiplica dos matrices.

Una matriz es una matriz bidimensional de números dispuestos en filas y columnas. Las matrices proporcionan un método para organizar, almacenar y trabajar con información matemática. Las matrices tienen abundancia de aplicaciones y uso en el mundo real. Las matrices proporcionan una herramienta útil para trabajar con modelos basados en sistemas de ecuaciones lineales. Utilizaremos matrices en las secciones 2.2, 2.3 y 2.4 para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias variables en este capítulo.

Las matrices se utilizan en el cifrado, que exploraremos en la sección 2.5 y en la modelización económica, explorada en la sección 2.6. Usamos matrices nuevamente en el capítulo 4, en problemas de optimización como maximizar ganancias o ingresos, o minimizar costos. Las matrices se utilizan en los negocios para programar, enrutar el transporte y los envíos, y administrar el inventario.

Cualquier aplicación que recopile y administre datos puede aplicar matrices. El uso de matrices ha crecido a medida que ha aumentado la disponibilidad de datos en muchas áreas de la vida y los negocios. Son herramientas importantes para organizar datos y resolver problemas en todos los campos de la ciencia, desde la física y la química, hasta la biología y la genética, pasando por la meteorología y la economía. En la informática, las matemáticas matriciales se encuentran detrás de la animación de imágenes en películas y videojuegos.

La informática analiza diagramas de redes para comprender cómo se conectan las cosas entre sí, como las relaciones entre las personas en un sitio web social, y las relaciones entre los resultados en la búsqueda lineal y cómo las personas se vinculan de un sitio web a otro. Las matemáticas para trabajar con diagramas de red comprenden el campo de la “teoría de grafos”; se basa en matrices para organizar la información en las gráficas que diagramas de conexiones y asociaciones en una red. Por ejemplo, si usas Facebook o Linked-In, u otros sitios de redes sociales, estos sitios utilizan gráficos de red y matrices para organizar tus relaciones con otros usuarios.

Introducción a Matrices

Una matriz es una matriz rectangular de números. Las matrices son útiles para organizar y manipular grandes cantidades de datos. Para tener una idea de qué se tratan las matrices, veremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Fine Furniture Company fabrica sillas y mesas en sus fábricas de San José, Hayward y Oakland. La producción total, en cientos, de las tres fábricas para los años 2014 y 2015 se enumera en la siguiente tabla.

	2014		2015
	SILLAS	MESAS	SILLAS	MESAS
SAN JOSE	30	18	36	20
HAYWARD	20	12	24	18
OAKLAND	16	10	20	12

1. Representar la producción para los años 2014 y 2015 como las matrices A y B.
2. Encuentra la diferencia en ventas entre los años 2014 y 2015.
3. La compañía predice que en el año 2020 la producción en estas fábricas será el doble que la del año 2014. ¿Cuál será la producción para el año 2020?

Solución

a) Las matrices son las siguientes:

\ [A=\ left [\ begin {array} {ll}
30 & 18\\
20 & 12\\
16 & 10
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

\ [\ mathrm {B} =\ left [\ begin {array} {ll}
36 & 20\\
24 & 18\\
20 & 12
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

b) Buscamos la matriz\(B - A\). Cuando dos matrices tienen el mismo número de filas y columnas, las matrices se pueden sumar o restar entrada por entrada. Por lo tanto, obtenemos

\ [\ mathrm {B} -\ mathrm {A} =\ left [\ begin {array} {ll}
36-30 & 20-18\\
24-20 & 18-12\\
20-16 & 12-10
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
6 & 2\
4 & 6\\
4 & 2
\ end { array}\ derecha]\ nonumber\]

c) Nos gustaría una matriz que sea el doble de la matriz de 2014, es decir,\(2A\).

Siempre que una matriz se multiplica por un número, cada entrada se multiplica por el número.

\ [2\ mathrm {A} =2\ left [\ begin {array} {ll}
30 & 18\\
20 & 12\\
16 & 10
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
60 & 36\\
40 & 24\\
32 & 20
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Antes de ir más lejos, necesitamos familiarizarnos con algunos términos que están asociados con matrices. Los números en una matriz se llaman las entradas o los elementos de una matriz.

Siempre que hablamos de una matriz, necesitamos conocer el tamaño o la dimensión de la matriz. La dimensión de una matriz es el número de filas y columnas que tiene. Cuando decimos que una matriz es una “matriz de 3 por 4”, estamos diciendo que tiene 3 filas y 4 columnas. Las filas siempre se mencionan primero y las columnas en segundo lugar. Esto significa que una\(3 \times 4\) matriz no tiene la misma dimensión que una\(4 \times 3\) matriz.

\ [A=\ left [\ begin {array} {cccc}
1 & 4 & -2 & 0\\
3 & -1 & 7 & 9\\
6 & 2 & 0 & 5
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

\ [B=\ left [\ begin {array} {ccc}
2 & 9 & 8\\
-3 & 0 & 1\\
6 & 5 & -2\\
-4 & 7 & 8
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

La matriz\(A\) tiene dimensiones\(3 \times 4\) y la matriz\(B\) tiene dimensiones\(4 \times 3\).

Una matriz que tiene el mismo número de filas que columnas se denomina matriz cuadrada. Una matriz con todas las entradas cero se denomina matriz cero. Una matriz cuadrada con 1's a lo largo de la diagonal principal y ceros en todas partes, se llama matriz de identidad. Cuando una matriz cuadrada se multiplica por una matriz de identidad del mismo tamaño, la matriz permanece igual.

\ [I=\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Matrix\(I\) es una matriz\(3 \times 3\) de identidad

Una matriz con una sola fila se llama matriz de fila o vector de fila, y una matriz con una sola columna se llama matriz de columna o vector de columna. Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y las entradas correspondientes son iguales.

Podemos realizar operaciones aritméticas con matrices. A continuación definiremos y daremos ejemplos que ilustran las operaciones de suma y resta de matriz, multiplicación escalar y multiplicación matricial. Tenga en cuenta que la multiplicación matricial es bastante diferente de lo que intuitivamente esperaría, así que preste mucha atención a la explicación. Tenga en cuenta también que la capacidad de realizar operaciones matriciales depende de que las matrices involucradas sean compatibles en tamaño, o dimensiones, para esa operación. La definición de dimensiones compatibles es diferente para diferentes operaciones, así que tenga en cuenta los requisitos cuidadosamente para cada una.

Suma y resta de matriz

Si dos matrices tienen el mismo tamaño, se pueden sumar o restar. Las operaciones se realizan en las entradas correspondientes.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Dadas las matrices\(A\),\(B\),\(C\) y\(D\), a continuación

\ [A=\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 2 & 4\\
2 & 3 & 1\\
5 & 0 & 3
\ end {array}\ right]\ quad B=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & -1 & 3\\
2 & 4 & 2\\
3 & 6 & 1
\ end {array}\ right]\ quad C=\ left [\ begin {array} {l}
4\\
2\
3
\ end {array}\ right]\ quad D=\ left [\ begin {array} {r}
-2\\
-3\
4
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Encuentra, si es posible.

1. \(A + B\)
2. \(C - D\)
3. \(A + D.\)

Solución

Como mencionamos anteriormente, la suma y resta matricial implica realizar estas operaciones entrada por entrada.

a) Agregamos cada elemento de\(A\) a la entrada correspondiente de\(B\).

\ [A+B=\ left [\ begin {array} {lll}
3 & 1 & 7\\
4 & 7 & 3\\
8 & 6 & 4
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

b) Al igual que el problema anterior, realizamos la resta entrada por entrada.

\ [\ mathrm {C} -\ mathrm {D} =\ left [\ begin {array} {c}
6\\
5\
-1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

c) La suma\(A + D\) no se puede encontrar porque las dos matrices tienen diferentes tamaños.

Nota: Dos matrices solo se pueden sumar o restar si tienen la misma dimensión.

Multiplicar una Matriz por un Escalar

Si una matriz se multiplica por un escalar, cada entrada se multiplica por ese escalar. Podemos considerar la multiplicación escalar como multiplicar un número y una matriz para obtener una nueva matriz como producto.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Dada la matriz\(A\) y\(C\) en el ejemplo anterior, encontrar\(2A\) y\(- 3C\).

Solución

Para encontrar\(2A\), multiplicamos cada entrada de matriz\(A\) por 2, y para encontrar\(-3C\), multiplicamos cada entrada de C por -3. Los resultados se dan a continuación.

a) Multiplicamos cada entrada de A por 2.

\ [2\ mathrm {A} =\ left [\ begin {array} {ccc}
2 & 4 & 8\\
4 & 6 & 2\\
10 & 0 & 6
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

b) Multiplicamos cada entrada de C por -3.

\ [-3 C=\ left [\ begin {array} {c}
-12\\
-6\\
-9
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Multiplicación de Dos Matrices

Multiplicar una matriz por otra no es tan fácil como la suma, resta o multiplicación escalar de matrices. Debido a su amplio uso en problemas de aplicación, es importante que lo aprendamos bien. Por lo tanto, trataremos de aprender el proceso de manera paso a paso. Primero comenzamos por encontrar un producto de una matriz de filas y una matriz de columnas.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el producto\(AB\), dado

\ [A=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

y

\ [B=\ left [\ begin {array} {l}
a\\
b\\
c
\ end {array}\ right]. \ nonumber\]

Solución

El producto es una\(1 \times 1\) matriz cuya entrada se obtiene multiplicando las entradas correspondientes y luego formando la suma.

\ [\ begin {align*}
\ mathrm {AB} &=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
\ mathrm {a}\
\ mathrm {b}\
\ mathrm {c}
\ end {array}\ right]\\ [4pt] &= [2 (\ mathrm {a} +3\ mathrm {b} +4\ mathrm {c})]
\ end {align*}\ nonumber\]

Tenga en cuenta que\(AB\) es una\(1 \times 1\) matriz, y su única entrada es\(2a + 3b + 4c\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el producto\(AB\), dado

\ [A=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

y

\ [B=\ left [\ begin {array} {l}
5\\
6\\
7
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Solución

Nuevamente, multiplicamos las entradas correspondientes y sumamos.

\ [\ begin {align*}\ mathrm {AB} &=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
5\\
6\
7
\ end {array}\ derecha]\\[4pt] &=[2 \cdot 5+3 \cdot 6+4 \cdot 7]\\[4pt] &=[10+18+28]\\[4pt] &=[56] \end{align*} \nonumber \]

Nota: Para que exista un producto de una matriz de filas y una matriz de columnas, el número de entradas en la matriz de filas debe ser el mismo que el número de entradas en la matriz de columnas.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encuentra el producto AB, dado

\ [A=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

y

\ [B=\ left [\ begin {array} {ll}
5 & 3\\
6 & 4\\
7 & 5
\ end {array}\ right]. \ nonumber\]

Solución

Sabemos multiplicar una matriz de filas por una matriz de columnas. Para encontrar el producto\(AB\), en este ejemplo, multiplicaremos la matriz de filas tanto\(A\) a la primera como a la segunda columna de matriz\(B\), dando como resultado una\(1 \times 2\) matriz.

\ [\ mathrm {AB} =\ left [\ begin {array} {lll}
2\ cdot 5+3\ cdot 6+4\ cdot 7 & 2\ cdot 3+3\ cdot 4+4\ cdot 5
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
56 & 38
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Multiplicamos una\(1 \times 3\) matriz por una matriz cuyo tamaño es\(3 \times 2\). Entonces, a diferencia de suma y resta, es posible multiplicar dos matrices con diferentes dimensiones, si el número de entradas en las filas de la primera matriz es el mismo que el número de entradas en las columnas de la segunda matriz.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encuentra el producto\(AB\), dado:

\ [A=\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

y

\ [\ mathrm {B} =\ left [\ begin {array} {ll}
5 & 3\\
6 & 4\\
7 & 5
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Solución

Esta vez estamos multiplicando dos filas de la matriz\(A\) por dos columnas de la matriz\(B\). Dado que el número de entradas en cada fila de\(A\) es el mismo que el número de entradas en cada columna de\(B\), el producto es posible. Hacemos exactamente lo que hicimos en el último ejemplo. La única diferencia es que la matriz\(A\) tiene una fila más.

Multiplicamos la primera fila de la matriz\(A\) con las dos columnas de\(B\), una a la vez, y luego repetimos el proceso con la segunda fila de A. Obtenemos

\ [\ mathrm {AB} =\ left [\ begin {array} {lll}
2 & 3 & 4\\
1 & 2 & 3
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
5 & 3\\
6 & 4\\
7 & 5
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
2\ cdot 5+3\ cdot 6+4\ cdot 7 & 2\ cdot 3+3\ cdot 4+4\ cdot 5\\
1\ cdot 5+2\ cdot 6+3\ cdot 7 & 1\ cdot 3+2\ cdot 4+3\ cdot 5
\ end {array}\ derecho]\ nonumber\]

\ [\ mathrm {AB} =\ left [\ begin {array} {ll}
56 & 38\\
38 & 26
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentre, si es posible:

1. \(EF\)
2. \(FE\)
3. \(FH\)
4. \(GH\)
5. \(HG\)

\ [\ mathrm {E} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2\\
4 & 2\\
3 & 1
\ end {array}\ right]\ quad\ mathrm {F} =\ left [\ begin {array} {ll}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {array}\ right]\ quad\ mathrm {G} =\ left [\ begin { array} {lll}
4 & 1
\ end {array}\ right]\ quad\ mathrm {H} =\ left [\ begin {array} {l}
-3\\
-1
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Solución

a) Para encontrar\(EF\), multiplicamos la primera fila\ (\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2
\ end {array}\ right]\)

de E con las columnas\ (\ left [\ begin {array} {l}
2\\
3
\ end {array}\ right]\ text {and}\ left [\ begin {array} {l}
1\
\
-2\ end {array}\ right]\) de la matriz F, y luego repetir el proceso multiplicando las otras dos filas de E con estas columnas de F. El resultado es el siguiente:

\ [\ mathrm {EF} =\ left [\ begin {array} {ll}
1 & 2\\
4 & 2\\
3 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
1\ cdot 2+2 \ cdot 3 & 1\ cdot-1+2\ cdot 2\\
4\ cdot 2+2\ cdot 3 & 4\ cdot-1+2\ cdot 2\\
3\ cdot 2+1\ cdot 3 & 3\ cdot-1+1\ cdot 2
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
8 & 3\\
14 & 0\
9 y -1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

b) El producto no\(FE\) es posible porque la matriz F tiene dos entradas en cada fila, mientras que la matriz E tiene tres entradas en cada columna. Es decir, la matriz F tiene dos columnas, mientras que la matriz E tiene tres filas.

c)\ [\ mathrm {FH} =\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
-3\\
-1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
2\ cdot-3+-1\ cdot-1\\
3\ cdot-3 +2\ cdot-1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
-5\\
-11
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

d)\ [\ mathrm {GH} =\ left [\ begin {array} {ll}
4 & 1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
-3\
-1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
4\ cdot-3+1\ cdot-1\\
-1
\ end {array}\ right] = [-13] \ nonumber\]

e)\ [\ mathrm {HG} =\ left [\ begin {array} {l}
-3\\
-1
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {ll}
4 & 1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
-3\ cdot 4 & -3\ cdot 1\\
-1\ cdot 4 & -1\ cdot 1
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
-12 & -3\\
-4 & -1
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Resumimos algunas propiedades importantes de la multiplicación matricial que observamos en los ejemplos anteriores.

Para que el producto\(\bf{AB}\) exista:

• el número de columnas de\(\bf{A}\) debe ser igual al número de filas de\(\bf{B}\)
• si la matriz\(\bf{A}\) tiene dimensión\(\bf{m \times n}\) y la matriz\(\bf{B}\) tiene dimensión\(\bf{n \times p}\), entonces el producto\(\bf{AB}\) será una matriz con dimensión\(\bf{m \times p}\).

La multiplicación matricial no es conmutativa: si ambos productos matriciales\(\bf{AB}\) y\(\bf{BA}\) existen, la mayor parte del tiempo no\(\bf{AB}\) será igual\(\bf{BA}\).

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Dadas las matrices\(R\)\(S\),, y\(T\) a continuación, encontrar\(2RS - 3ST\).

\ [R=\ left [\ begin {array} {lll}
1 & 0 & 2\\
2 & 1 & 5\\
2 & 3 & 1
\ end {array}\ right]\ quad S=\ left [\ begin {array} {lll}
0 & -1 & 2\
3 & 1 & 0\\ 4 & 2 & 1 & 0\
4 & 2 & 1
\ end {array}\ derecha]\ quad T=\ left [\ begin {array} {lll}
-2 & 3 & 0\\
-3 & 2 & 2\\
-1 & 1 & 0
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Solución

Multiplicamos las matrices R y S.

\ begin {alineado}
&\ mathrm {RS} =\ left [\ begin {array} {ccc}
8 & 3 & 4\\
23 & 9 & 9\\
13 & 3 & 5
\ end {array}\ right]\\
&\ begin {array} {l}
2\ mathrm {RS} =2\ left [\ begin {array} {ccc}
8 & 3 & 4\\
23 & 9 & 9\\
13 & 3 & 5
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ccc}
16 & 6 & 8\\
46 & 18 & 18\
26 & 6 & 10
\ end {array}\ derecha]\\
\ mathrm {ST} =\ left [\ begin {array} {ccc}
1 & 0 & -2\\
-9 & 11 & 2\\
-15 & 17 & 4
\ end {array}\ derecha]\\
3\ mathrm {ST} =3\ left [\ begin {array} {ccc}
1 & 0 & -2\\
-9 & 11 & 2\\
-15 & 17 & 4
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ccc}
3 & 0 & -6\\
-27 & 33 & 6\\
-45 & 51 & 12
\ end {array}\ right]
\ end {array }
\ end {alineado}

Así

\ [2\ mathrm {RS} -3\ mathrm {ST} =\ left [\ begin {array} {ccc}
16 & 6 & 8\\
46 & 18 & 18 & 18\\
26 & 6 & 10
\ end {array}\ right] -\ left [\ begin {array} {ccc}
3 & 0 & -6\\
-27 & 33 & 6\\
-45 & 51 & 12
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ccc}
13 & 6 & 14\\
73 & -15 & 12\\
71 & -45 & -2
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Encontrar matriz\(F^2\) dada

\ [\ mathrm {F} =\ left [\ begin {array} {ll}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Solución

\(F^2\)se encuentra multiplicando la matriz\(F\) por sí misma, usando la multiplicación matricial.

\ [\ mathrm {F} ^ {2} =\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {cc}
2 & -1\\
3 & 2
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
2\ cdot 2+ (-1)\ cdot 3 & 2\ cdot (-1) + (-1)\ cdot 2\\
3\ cdot 2+2\ cdot 3 & 3\ cdot (-1) +2\ cdot 2
\ end {array}\ derecha] =\ izquierda [\ begin {array} {cc}
1 & -4\
12 & 1
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Tenga en cuenta que no\(F^2\) se encuentra al cuadrar cada entrada de matriz\(F\). El proceso de elevar una matriz a una potencia, como encontrar\(F^2\), sólo es posible si la matriz es una matriz cuadrada.

USAR MATRICES PARA REPRESENTAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En este capítulo, utilizaremos matrices para resolver sistemas lineales. En la sección 2.4, se nos pedirá que expresemos los sistemas lineales como la ecuación matricial\(\bf{AX = B}\), donde\(A\),\(X\), y\(B\) son matrices.

• Matriz\(A\) se llama la matriz de coeficientes.
• Matriz\(X\) es una matriz con 1 columna que contiene las variables.
• Matriz\(B\) es una matriz con 1 columna que contiene las constantes.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Verificar que el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

\ begin {array} {l}
a x+b y=h\\
c x+d y=k
\ end {array}

se puede escribir como\(AX = B\), donde

\ [A=\ left [\ begin {array} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {array}\ right]\ quad X=\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y
\ end {array}\ right]\ text {y} B=\ left [\ begin {array} {l}
h\\
k
\ end { array}\ derecha]\ nonumber\]

Solución

Si multiplicamos las matrices\(A\) y\(X\), obtenemos

\ [A X=\ left [\ begin {array} {ll}
a & b\\
c & d
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
a x+b y\\
c x+d y
\ end {array}\ right ]\ nonumber\]

Si\(AX = B\) entonces

\ [\ left [\ begin {array} {l}
a x+b y\\
c x+d y
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
h\\
k
\ end {array}\ right]\ nonumber\]

Si dos matrices son iguales, entonces sus entradas correspondientes son iguales. De ello se deduce que

\ begin {array} {l}
a x+b y=h\\
c x+d y=k
\ end {array}

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Expresar el siguiente sistema como una ecuación matricial en la forma\(AX = B\).

\ begin {array} {l}
2 x+3 y-4 z=5\\
3 x+4 y-5 z=6\\
5 x\ quad-6 z=7
\ end {array}

Solución

Este sistema de ecuaciones se puede expresar en la forma que\(AX = B\) se muestra a continuación.

\ [\ left [\ begin {array} {ccc}
2 & 3 & -4\\
3 & 4 & -5\\
5 & 0 & -6
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\
z
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
5\\
6\\
7
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]