2.6: Aplicaciones — Leontief Models
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En esta sección examinaremos una aplicación de matrices para modelar sistemas económicos.
En la década de 1930, Wassily Leontief utilizó matrices para modelar sistemas económicos. Sus modelos, a menudo referidos como los modelos insumo-producto, dividen a la economía en sectores donde cada sector produce bienes y servicios no sólo para sí mismo sino también para otros sectores. Estos sectores dependen unos de otros y la entrada total siempre es igual a la salida total. En 1973, ganó el Premio Nobel de Economía por su trabajo en este campo. En esta sección observamos tanto los modelos cerrados como los abiertos que desarrolló.
El modelo cerrado
Como ejemplo del modelo cerrado, nos fijamos en una economía muy sencilla, donde sólo hay tres sectores: alimentación, refugio y vestimenta.
Suponemos que en un pueblo hay un agricultor, un carpintero y un sastre, que proporcionan los tres bienes esenciales: comida, refugio y ropa. Supongamos que el propio agricultor consume el 40% de los alimentos que produce, y le da el 40% al carpintero, y el 20% al sastre. El treinta por ciento de la producción del carpintero es consumido por él mismo, 40% por el agricultor y 30% por el carpintero. El cincuenta por ciento de la producción del sastre es utilizada por él mismo, 30% por el agricultor y 20% por el sastre. Escribe la matriz que describe este modelo cerrado.
Solución
La siguiente tabla describe la información anterior.
| Proporción producida por el agricultor | Proporción producida por el carpintero | Proporción producida por el sastre | |
| La proporción utilizada por el agricultor | .40 | .40 | .30 |
| La proporción utilizada por el carpintero | .40 | .30 | .20 |
| La proporción utilizada por el sastre | .20 | .30 | .50 |
En forma de matriz se puede escribir de la siguiente manera.
\ [A=\ left [\ begin {array} {lll}
.40 & .40 & .30\\
.40 & .30 & .20\\
.20 & .30 & .50
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Esta matriz se llama la matriz de entrada-salida. Es importante que leamos la matriz correctamente. Por ejemplo la entrada\(A_{23}\), la entrada en la fila 2 y la columna 3, representa lo siguiente.
\(A_{23}\)= 20% de la producción del sastre es utilizada por el carpintero.
\(A_{33}\)= 50% de la producción del sastre es utilizada por el sastre.
En Ejemplo\(\PageIndex{1}\) anterior, ¿cuánto debe obtener cada persona por sus esfuerzos?
Solución
Elegimos las siguientes variables.
\(x\)= Pago del granjero\(y\) = Pago de carpintero\(z\) = Pago de sastre
Como dijimos anteriormente, en este modelo la entrada debe ser igual a la salida. Es decir, el monto pagado por cada uno equivale al monto recibido por cada uno.
Digamos que al agricultor le pagan\(x\) dólares. Veamos ahora los gastos del agricultor. El agricultor utiliza hasta 40% de su propia producción, es decir, de los x dólares que le pagan, se paga a sí mismo .40x dólares, paga .40y dólares al carpintero, y .30z al sastre. Dado que los gastos son iguales a los salarios, obtenemos la siguiente ecuación.
\[x=.40 x+.40 y+.30 z \nonumber \]
De la misma manera, obtenemos
\ begin {alineado}
y=&.40 x+.30 y+.20 z\\
z=&.20 x+.30 y+.50 z
\ end {alineado}
El sistema anterior se puede escribir como
\ [\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\\
z
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
.40 & .40 & 30\\
.40 & .30 & .20\\
.20 & .30 & .50
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array } {l}
x\\
y\\
z
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Este sistema a menudo se conoce como\(X = AX\)
Resultados de simplificación en el sistema de ecuaciones\((I - A) X = 0\)
\ begin {alineado}
.60 x-.40 y-.30 z &=0\\
-.40 x+.70 y-.20 z &=0\\
-.20 x-.30 y+.50 z &=0
\ end {alineado}
Resolviendo para\(x\)\(y\), y\(z\) usando el método Gauss-Jordan, obtenemos
\[x =\frac{29}{26}t \quad y = \frac{12}{13}t \quad \text{ and } z = t \nonumber \]
Ya que solo estamos tratando de determinar las proporciones de la paga, podemos elegir t para que sea cualquier valor. Supongamos que dejamos\ (t\ (= $2600, luego obtenemos
\[x =\$2900 \quad y = \$2400 \quad \text{ and } z = \$2600 \nonumber \]
Nota: Se recomienda encarecidamente el uso de una calculadora gráfica o aplicación informática para resolver los sistemas de ecuaciones matriciales lineales en estos problemas.
El modelo abierto
El modelo abierto es más realista, ya que trata de la economía donde sectores de la economía no sólo satisfacen las necesidades de los demás, sino que también satisfacen algunas demandas externas. En este caso, las demandas externas son puestas por el consumidor. Pero la suposición básica sigue siendo la misma; es decir, se consume lo que se produce.
Volvamos a mirar un escenario muy sencillo. Supongamos que la economía consta de tres personas, el agricultor F, el carpintero C y el sastre T. Una parte de la producción del agricultor es utilizada por los tres, y el resto es utilizada por el consumidor. De la misma manera, una parte de la producción del carpintero y del sastre es utilizada por los tres, y el resto es utilizado por el consumidor.
Supongamos que sea lo que sea que produzca el agricultor, el 20% es utilizado por él, el 15% por el carpintero, el 10% por el sastre, y el consumidor usa los otros 40 mil millones de dólares de los alimentos. El diez por ciento de la producción del carpintero es utilizado por él, 25% por el agricultor, 5% por el sastre y 50 mil millones de dólares por el consumidor. Quince por ciento de la ropa es utilizada por el sastre, 10% por el agricultor, 5% por el carpintero, y los 60 mil millones de dólares restantes valen por el consumidor. Escribimos el consumo interno en la siguiente tabla, y expresamos la demanda como la matriz D.
| F produce | C produce | T produce | |
| F utiliza | .20 | .25 | .10 |
| C utiliza | .15 | .10 | .05 |
| T usos | .10 | .05 | .15 |
A continuación se da la demanda de los consumidores por cada industria en miles de millones de dólares.
\ [\ mathrm {D} =\ left [\ begin {array} {c}
40\\
50\
60
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
En el ejemplo anterior, ¿cuál debería ser, en miles de millones de dólares, la producción requerida por cada industria para satisfacer la demanda que da la matriz\(D\)?
Solución
Elegimos las siguientes variables.
x = Producción del agricultor
y = Salida de carpintero
z = Salida de sastre
En el modelo cerrado, nuestra ecuación era\(X = AX\), es decir, la entrada total es igual a la salida total. Esta vez nuestra ecuación es similar con la excepción de la demanda por parte del consumidor.
Entonces nuestra ecuación para el modelo abierto debería ser\(X = AX + D\), donde\(D\) representa la matriz de demanda.
Lo expresamos de la siguiente manera:
\[X = AX + D \nonumber \]
\ [\ left [\ begin {array} {l}
x\\
y\\
z
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {lll}
.20 & .25 & .10\\
.15 & .10 & .05\
.10 & .05 & .15
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin { array} {l}
x\\
y\\
z
\ end {array}\ derecha] +\ izquierda [\ begin {array} {l}
40\\
50\
60
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Para resolver este sistema, lo escribimos como
\ [\ begin {array} {l}
X=A X+D\\
(I-A) X=D\ quad\ text {donde I es una matriz de identidad de 3 por 3}\\
X =( I-A) ^ {-1} D
\ end {array}\ nonumber\]
\ [\ mathrm {I} -\ mathrm {A} =\ left [\ begin {array} {ccc}
.80 & -.25 & -.10\\
-.15 & .90 & -.05\
-.10 & -.05 & .85
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
\ [(\ mathrm {I} -\ mathrm {A}) ^ {-1} =\ left [\ begin {array} {ccc}
1.3445 & .3835 & .1807\\
.2336 & 1.1814 & .097\\
.1719 & .1146 & 1.2034
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
\ [{X} =\ left [\ begin {array} {ccc}
1.3445 & .3835 & .1807\\
.2336 & 1.1814 & .097\\
.1719 & .1146 & 1.2034
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
40\\
50\
60
\ end { array}\ derecha]\ nonumber\]
\ [X=\ left [\ begin {array} {l}
83.7999\\
74.2341\\
84.8138
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Las tres industrias deben producir la siguiente cantidad de bienes en miles de millones de dólares.
Agricultor = $83.7999 Carpintero = $74.2341 Sastre = $84.813
Haremos un problema más como el anterior, excepto que esta vez damos la cantidad de consumo interno y externo en dólares y pedimos la proporción de las cantidades consumidas por cada una de las industrias. Es decir, pedimos la matriz\(A\).
Supongamos que una economía consta de tres industrias F, C y T. Cada una de las industrias produce para el consumo interno entre ellas, así como para la demanda externa del consumidor. En la tabla se muestra el uso de la producción de cada industria, en dólares.
| F | C | T | Demanda | Total | |
| F | 40 | 50 | 60 | 100 | 250 |
| C | 30 | 40 | 40 | 110 | 220 |
| T | 20 | 30 | 30 | 120 | 200 |
La primera fila dice que de los $250 dólares de producción por parte de la industria F, $40 es utilizado por F, $50 es usado por C, $60 es usado por T, y el resto de $100 es utilizado por el consumidor. Las otras filas se describen de manera similar.
Una vez más, la entrada total es igual a la salida total. Encuentra la proporción de las cantidades consumidas por cada una de las industrias. En otras palabras, encuentra la matriz\(A\).
Solución
Se nos pide que determinemos lo siguiente:
¿Cuánto de la producción de cada una de las tres industrias, F, C y T se requiere para producir una unidad de F? De la misma manera, ¿cuánto de la producción de cada una de las tres industrias, F, C y T se requiere para producir una unidad de C? Y finalmente, ¿cuánto de la producción de cada una de las tres industrias, F, C y T se requiere para producir una unidad de T?
Ya que estamos buscando proporciones, necesitamos dividir la producción de cada industria por la producción total para cada industria.
Analizamos de la siguiente manera:
Para producir 250 unidades de F, necesitamos usar 40 unidades de F, 30 unidades de C y 20 unidades de T.
Por lo tanto, para producir 1 unidad de F, necesitamos usar 40/250 unidades de F, 30/250 unidades de C y 20/250 unidades de T.
Para producir 220 unidades de C, necesitamos usar 50 unidades de F, 40 unidades de C y 30 unidades de T.
Por lo tanto, para producir 1 unidad de C, necesitamos usar 50/220 unidades de F, 40/220 unidades de C y 30/220 unidades de T.
Para producir 200 unidades de T, necesitamos usar 60 unidades de F, 40 unidades de C y 30 unidades de T.
Por lo tanto, para producir 1 unidad de T, necesitamos usar 60/200 unidades de F, 40/200 unidades de C y 30/200 unidades de T.
Obtenemos la siguiente matriz.
\ [\ mathrm {A} =\ left [\ begin {array} {lll}
40/250 & 50/220 & 60/200\\
30/250 & 40/220 & 40/200\\
20/250 & 30/220 & 30/200
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ccc}
.1600 & .2273 & .3000\\
.1200 & .1818 & .2000\\
.0800 & .1364 & .1500
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]
Claramente\(AX + D = X\)
\ [\ left [\ begin {array} {lll}
40/250 & 50/220 & 60/200\\
30/250 & 40/220 & 40/200\\
20/250 & 30/220 & 30/200
\ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
250\\
220\
200
\ end {array}\ right] +\ left [\ begin {array} {l}
100\\
110\\
120
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
250\\
220\
200
\ end {array}\ right]\ nonumber\]
Resumimos de la siguiente manera:
MODELO CERRADO DE LEONTIEF
- Todo el consumo está dentro de las industrias. No hay demanda externa.
- Entrada = Salida
- \(X = AX\)o\((I - A)X = 0\)
MODELO ABIERTO DE LEONTIEF
- Además del consumo interno, existe una demanda externa por parte del consumidor.
- Entrada = Salida
- \(X = AX + D\)o\(X = (I - A)^{-1} D\)