6.1: Interés simple y descuento
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En esta sección, aprenderás a:
- Encuentra interés simple.
- Encuentra el valor actual.
- Encuentra descuentos y ganancias.
Interés Simple
Cuesta pedir dinero prestado. El alquiler que uno paga por el uso del dinero se llama el interés. La cantidad de dinero que está siendo prestada o prestada se denomina principal o valor presente. Los intereses simples se pagan solo sobre el monto original prestado. Cuando se presta el dinero, la persona que toma prestado el dinero generalmente paga una tasa de interés fija sobre el principal por el periodo de tiempo que guarda el dinero. Aunque la tasa de interés suele especificarse para un año, puede especificarse para una semana, un mes, o un trimestre, etc. Las compañías de tarjetas de crédito suelen enumerar sus cargos como tasas mensuales, a veces es tan alta como 1.5% al mes.
Si una cantidad\(P\) es prestada por un tiempo\(t\) a una tasa de interés de\(r\) por período de tiempo, entonces el interés simple es dado por
\[ I = P \cdot r \cdot t \nonumber \]
El monto total\(A\), también llamado el valor acumulado o el valor futuro, viene dado por
\[ \begin{align*} A &= P + I \\[4pt] &= P + Prt \end{align*} \nonumber \]
o
\[ A = P(1+rt) \label{simple3} \]
donde la tasa de interés\(r\) se expresa en decimales.
Úrsula toma prestada 600 dólares por 5 meses a una tasa de interés simple del 15% anual. Encuentra los intereses, y el monto total que está obligada a pagar?
Solución
El interés se calcula multiplicando el principal por la tasa de interés y el tiempo.
\[\begin{align*} \mathrm{I} &=\operatorname{Prt} \\[4pt] &=\$ 600(0.15) \frac{5}{12} \\[4pt] &=\$ 37.50 \end{align*} \nonumber \]
El monto total es
\[\begin{align*} \mathrm{A} &=\mathrm{P}+\mathrm{I} \\[4pt] &=\$ 600+\$ 37.50 \\[4pt] &=\$ 637.50 \end{align*} \nonumber \]
Por cierto, la cantidad total se puede calcular directamente a través de la ecuación\ ref {simple3} como
\[\begin{align*} A &=P(1+r t) \\[4pt] &=\$ 600[1+(0.15)(5 / 12)] \\[4pt] &=\$ 600(1+0.0625) \\[4pt] &=\$ 637.50 \end{align*} \nonumber \]
José depositó $2500 en una cuenta que paga 6% de interés simple. ¿Cuánto dinero va a tener al final de 3 años?
Solución
El monto total o el valor futuro viene dado por la Ecuación\ ref {simple3}.
\[\begin{align*} A &= P(1 + rt) \\[4pt] &=\$ 2500[1+(.06)(3)] \\[4pt] \mathrm{A} &=\$ 2950 \end{align*} \nonumber \]
Darnel debe un total de 3060 dólares que incluye 12% de interés por los tres años que tomó prestado el dinero. ¿Cuánto pidió prestado originalmente?
Solución
Esta vez se nos pide calcular el principal\(P\) vía Ecuación\ ref {simple3}.
\[\begin{align*} \$ 3060 &=\mathrm{P}[1+(0.12)(3)] \\[4pt] \$ 3060 &=\mathrm{P}(1.36) \\[4pt] \dfrac{\$ 3060}{1.36}&=\mathrm{P} \\[4pt] \$ 2250 &=\mathrm{P} \quad \text { Darnel originally borrowed \$2250. } \end{align*} \nonumber \]
Una compañía de tarjetas de crédito Visa cobra un cargo financiero de 1.5% cada mes sobre el saldo impago. Si Martha debía 2350 dólares y no ha pagado su factura desde hace tres meses, ¿cuánto le debe ahora?
Solución
Antes de intentar el problema, el lector debe señalar que en este problema la tasa de cargo financiero se da por mes y no por año.
El monto total que Martha debe es el saldo anterior impago más el cargo financiero.
\[ A=\$ 2350+\$ 2350(.015)(3)=\$ 2350+\$ 105.75=\$ 2455.75 \nonumber \]
Alternativamente, nuevamente, podemos calcular la cantidad directamente usando la fórmula\(A = P(1 + rt)\)
\[A=\$ 2350[1+(.015)(3)]=\$ 2350(1.045)=\$ 2455.75 \nonumber \]
Descuento y ganancias
Los bancos suelen deducir los intereses simples del monto del préstamo en el momento en que se realiza el préstamo. Cuando esto sucede, decimos que el préstamo ha sido descontado. El interés que se deduce se llama descuento, y el monto real que se le da al prestatario se llama producto. El monto que el prestatario está obligado a reembolsar se denomina valor de vencimiento.
Si una cantidad\(M\) es prestada por un tiempo\(t\) a una tasa de descuento de\(r\) por año, entonces el descuento\(D\) es
\[ D = M \cdot r \cdot t \nonumber \]
El producto\(P\), el monto real que obtiene el prestatario, viene dado por
\[\begin{align*} P &=M-D \\[4pt] &=M-M r t \end{align*} \nonumber \]
o
\[P = M(1-rt) \nonumber \]
donde la tasa de interés\(r\) se expresa en decimales.
Francisco toma prestados 1200 dólares por 10 meses a una tasa de interés simple del 15% anual. Determinar el descuento y los ingresos.
Solución
El descuento\(D\) es el interés del préstamo que el banco deduce del monto del préstamo.
\ [\ begin {array} {l}
\ mathrm {D} =\ mathrm {Mrt}\
\ mathrm {D} =\ $1200 (0.15)\ left (\ frac {10} {12}\ right) =\ $150
\ end {array}\ nonumber\]
Por lo tanto, el banco deduce $150 del valor de vencimiento de 1200 dólares, y da a Francisco 1050 dólares. Francisco está obligado a reembolsar al banco 1200 dólares.
En este caso, el descuento\(D\) = $150, y el producto
\[P = \$1200 - \$150 = \$1050. \nonumber \]
Si Francisco quiere recibir $1200 por 10 meses a una tasa de interés simple del 15% anual, ¿qué cantidad de préstamo debe solicitar?
Solución
En este problema, se nos da el producto\(P\) y se nos pide encontrar el valor de vencimiento\(M\).
Tenemos\(P\) = $1200,\(r = 0.15\),\(t\) = 10/12. Tenemos que encontrar\(M\).
Sabemos\(P = M - D\)
sino también\(D = Mrt\)
por lo tanto
\[\begin{align*} \mathrm{P} &=\mathrm{M}-\mathrm{Mrt} \\[4pt] &=\mathrm{M}(1-\mathrm{rt}) \\[4pt] \$ 1200 &=\mathrm{M}\left[1-(0.15)\left(\dfrac{10}{12}\right)\right] \end{align*} \nonumber \]
Tenemos que resolver para\(M\).
\ [\ begin {align*}
\ $1200 &=\ mathrm {M} (1-0.125)\\ [4pt]
\ $1200 &=\ mathrm {M} (0.875)\\ [4pt]
\ dfrac {\ $1200} {0.875} &=\ mathrm {M}\\ [4pt]
\ $1371.43 &=\ mathrm {M}
\ end alinear*}\ nonumber\]
Por lo tanto, Francisco debería pedir un préstamo por $1371.43.
El banco tendrá un descuento de 171.43 dólares y Francisco recibirá 1200 dólares.
Resumen
A continuación se muestra un resumen de las fórmulas que desarrollamos para cálculos que involucran interés simple:
Si una cantidad\(P\) es prestada por un tiempo\(t\) a una tasa de interés de\(r\) por período de tiempo, entonces el interés simple es dado por
\[ I = P \cdot r \cdot t \nonumber \]
El monto total\(A\), también llamado el valor acumulado o el valor futuro, viene dado por
\[ A = P + I = P + Prt \nonumber \]
o
\[ A = P(1+rt) \nonumber \]
donde la tasa de interés\(r\) se expresa en decimales.
Si una cantidad\(M\) es prestada por un tiempo\(t\) a una tasa de descuento de\(r\) por año, entonces el descuento\(D\) es
\[ D = M \cdot r \cdot t \nonumber \]
El producto\(P\), el monto real que obtiene el prestatario, viene dado por
\ [\ begin {array} {l}
P=M-D\\
P=M-M r t
\ end {array}\ nonumber\]
o\[P = M(1-rt) \nonumber \]
donde la tasa de interés\(r\) se expresa en decimales.
Al término del plazo del préstamo, el prestatario reembolsa la totalidad del monto de vencimiento\(M\).