3.1: Estimación de poblaciones - ¿Cuántos bebés?
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¿Dónde estará un planeta en órbita dentro de 6 meses? Para predecir su nueva ubicación, no podemos simplemente multiplicar los 6 meses por la velocidad actual del planeta, ya que su velocidad varía constantemente. Tales cálculos son la razón por la que se inventó el cálculo. Su idea fundamental es dividir el tiempo en pequeños intervalos sobre los cuales la velocidad es constante, multiplicar cada tiempo minúsculo por la velocidad correspondiente para calcular una distancia diminuta, y luego sumar las distancias diminutas.
Sorprendentemente, este cálculo a menudo se puede hacer exactamente, incluso cuando los intervalos tienen un ancho infinitesimal y, por lo tanto, son infinitos en número. Sin embargo, las manipulaciones simbólicas pueden ser largas y, lo que es peor, a menudo se vuelven imposibles incluso por pequeños cambios en el problema. Usando métodos de cálculo, por ejemplo, podemos calcular exactamente el área bajo el gaussiano\(e−x^{2}\) entre\(x = 0 \text{ and } \infty\); sin embargo, si cualquiera de los límites es cualquier valor excepto cero o infinito, un cálculo exacto se vuelve imposible.
En contraste, los métodos aproximados son robustos: Casi siempre proporcionan una respuesta razonable. Y el método menos preciso pero más robusto es el agrupamiento. En lugar de dividir un proceso de cambio en muchas piezas diminutas, agruparlo o agruparlo en una o dos piezas. Esta simple aproximación y sus ventajas se ilustran utilizando ejemplos que van desde la demografía (Sección 3.1) hasta las ecuaciones diferenciales no lineales (Sección 3.5).
Estimación de poblaciones: ¿Cuántos bebés?
El primer ejemplo es estimar el número de bebés en Estados Unidos. Por definición, llamar a un niño bebé hasta que cumpla 2 años. Un cálculo exacto requiere las fechas de nacimiento de cada persona en Estados Unidos. Esta información, o muy similar, es recopilada una vez cada década por la Oficina del Censo de Estados Unidos.
Como aproximación a estos voluminosos datos, la Oficina del Censo [47] publica el número de personas a cada edad. Los datos correspondientes a 1991 son un conjunto de puntos tendidos sobre una línea ondulada\(N(t)\), donde\(t\) está la edad. Entonces
\[N_{babies} = \int_{0}^{2yr} N(t)dt. \label{3.1} \]
¿Por qué el eje vertical se etiqueta en unidades de personas por año y no en unidades de personas? Equivalentemente, ¿por qué el eje tiene dimensiones de\(T^{−1}\)?
Este método tiene varios problemas. Primero, depende de los enormes recursos de la Oficina del Censo de Estados Unidos, por lo que no es utilizable en una isla desierta para los cálculos de la parte posterior del sobre. Segundo, requiere integrar una curva sin forma analítica, por lo que la integración debe hacerse numéricamente. Tercero, la integral es de datos específicos de este problema, mientras que las matemáticas deben ser sobre generalidad. Una integración exacta, en definitiva, proporciona poca información y tiene un valor de transferencia mínimo. En lugar de integrar exactamente la curva poblacional, aproximarla agrupa la curva en un rectángulo.
¿Cuáles son la altura y anchura de este rectángulo?
El ancho del rectángulo es un tiempo, y un tiempo plausible relacionado con las poblaciones es la esperanza de vida. Son aproximadamente 80 años, así que haz 80 años el ancho fingiendo que todos mueren abruptamente en su 80 cumpleaños. La altura del rectángulo se puede calcular a partir del área del rectángulo, que es la población estadounidense convenientemente 300 millones en 2008. Por lo tanto,
\[\text{ height } = \frac{\text{area}}{\text{width}} ∼ \frac{3 \times 10^{8}}{75yr}. \label{3.2} \]
¿Por qué bajó la esperanza de vida de 80 a 75 años?
Fudging la esperanza de vida simplifica la división mental: 75 se divide fácilmente en 3 y 300. La inexactitud no es mayor que el error que se produce al agrupar, e incluso podría cancelar el error de agrupamiento. Usando 75 años como el ancho hace que la altura sea aproximadamente\(4 \times 10^{6} yr^{-1}\).
Integrar la curva poblacional sobre el rango\(t = 0 . . . 2\) año se convierte en solo multiplicación:
\[\mathrm{N}_{\text {babies }} \sim \underbrace{4 \times 10^{6} \mathrm{yr}^{-1}}_{\text {height }} \times \underbrace{2 \mathrm{yr}}_{\text {infancy }}=8 \times 10^{6} .\label{3.3} \]
La cifra de la Oficina del Censo es muy cercana:\(7.980 \times 10^{6}\). ¡El error de agrupar canceló el error de fudging la esperanza de vida a 75 años!
Problema 3.2 Volumen de relleno sanitario
Estimar el volumen de relleno sanitario de Estados Unidos que utilizan anualmente los pañales desechables.
Problema 3.3 Ingresos de la industria
Estimar los ingresos anuales de la industria de pañales de Estados Unidos.