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1.5.2: Orden de Operaciones

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de aprendizaje
    • Utilice el orden de las operaciones para simplificar las expresiones, incluidas las que tienen paréntesis.
    • Utilice el orden de las operaciones para simplificar expresiones que contengan exponentes y raíces cuadradas.

    Introducción

    La gente necesita un conjunto común de reglas para realizar cómputos. Hace muchos años, los matemáticos desarrollaron un orden estándar de operaciones que te dice qué cálculos hacer primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener dos respuestas diferentes al mismo problema. Por ejemplo, solo\(\ 3+5 \cdot 2\) tiene una respuesta correcta. ¿Son 13 o 16?

    El orden de las operaciones de suma, resta, multiplicación y división

    Primero, considere expresiones que incluyan una o más de las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. El orden de las operaciones requiere que toda la multiplicación y división se realice primero, yendo de izquierda a derecha en la expresión. El orden en el que computas la multiplicación y división está determinado por cuál viene primero, leyendo de izquierda a derecha.

    Una vez completada la multiplicación y división, sumar o restar en orden de izquierda a derecha. El orden de suma y resta también está determinado por cuál viene primero al leer de izquierda a derecha.

    A continuación hay tres ejemplos que muestran el orden adecuado de las operaciones para expresiones con suma, resta, multiplicación y/o división.

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 3+5 \cdot 2\).

    Solución

    \(\ 3+5 \cdot 2\) El orden de las operaciones le indica realizar la multiplicación antes de la suma.
    3+10 Después agrega.

    \(\ 3+5 \cdot 2=13\)

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 20-16 \div 4\).

    Solución

    \(\ 20-16 \div 4\) El orden de las operaciones te indica que debes realizar la división antes de restar.

    20-4

    16

    		 Después restar.

    \(\ 20-16 \div 4=16\)

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 60-30 \div 3 \cdot 5+7\).

    Solución

    \(\ 60-30 \div 3 \cdot 5+7\) El orden de las operaciones te indica realizar la multiplicación y división primero, trabajando de izquierda a derecha, antes de hacer suma y resta.

    \(\ 60-10 \cdot 5+7\)

    \(\ 60-50+7\)

    		 Continuar realizando multiplicación y división de izquierda a derecha.

    10+7

    17

    		 A continuación, suma y resta de izquierda a derecha. (Tenga en cuenta que la suma no se realiza necesariamente antes de la resta).

    \(\ 60-30 \div 3 \cdot 5+7=17\)

    Agrupación de símbolos y orden de operaciones

    Los símbolos de agrupación como paréntesis (), corchetes [], llaves {} y barras de fracción se pueden usar para controlar aún más el orden de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Las reglas del orden de las operaciones requieren que el cálculo dentro de los símbolos de agrupación se complete primero, incluso si está sumando o restando dentro de los símbolos de agrupación y tiene multiplicación fuera de los símbolos de agrupación. Después de computar dentro de los símbolos de agrupación, dividir o multiplicar de izquierda a derecha y luego restar o sumar de izquierda a derecha.

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 900 \div(6+3 \cdot 8)-10\).

    Solución

    \(\ 900 \div((6+3 \cdot 8))-10\) El orden de las operaciones le indica que debe realizar primero lo que está dentro de los paréntesis.

    \(\ 900 \div(6+(3 \cdot 8))-10\)

    \(\ 900 \div(6+24)-10\)

    		 Simplifica la expresión entre paréntesis. Multiplicar primero.
    \(\ 900 \div 30-10\) Después agrega 6+24.

    \(\ 900 \div 30-10\)

    \(\ 30-10\)

    \(\ 20\)

    		 Ahora realiza división; luego restar.

    \(\ 900 \div(6+3 \cdot 8)-10=20\)

    Cuando hay símbolos de agrupación dentro de los símbolos de agrupación, compute desde el interior hacia el exterior. Es decir, comenzar a simplificar primero los símbolos de agrupación más internos. Se muestran dos ejemplos.

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 4-3[20-3 \cdot 4-(2+4)] \div 2\).

    Solución

    \(\ 4-3 \div 2\) Hay corchetes y paréntesis en este problema. Calcula primero dentro de los símbolos de agrupación más internos.
    \ (\\ begin {array} {r}
    4-3 [20-3\ cdot 4- ((2+4)]]\ div 2\\
    4-3\ div 2
    \ end {array}\)    		 Simplificar entre paréntesis.
    \ (\\ begin {array} {r}
    4-3\ div 2\\
    4-3\ div 2\\
    4-3\ div 2
    \ end {array}\)    		 Después, simplifique entre corchetes multiplicando y luego restando de izquierda a derecha.
    \(\ 4-3(2) \div 2\)
    \ (\\ begin {array} {r}
    4-3 ((2)\ div 2\\
    4-6\ div 2\\
    4-3
    \ end {array}\)    		 Multiplicar y dividir de izquierda a derecha.

    \(\ 4-3\)

    \(\ 1\)

    		 Resta.

    \(\ 4-3[20-3 \cdot 4-(2+4)] \div 2=1\)

    Recuerda que los paréntesis también se pueden usar para mostrar la multiplicación. En el ejemplo que sigue, los paréntesis no son un símbolo de agrupación; son un símbolo de multiplicación. En este caso, dado que el problema sólo tiene multiplicación y división, calculamos de izquierda a derecha. Tenga cuidado de determinar qué significan los paréntesis en cualquier problema dado. ¿Son un símbolo de agrupación o un signo de multiplicación?

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 6 \div(3)(2)\).

    Solución

    \(\ 6 \div 3 \cdot 2\) Esta expresión sólo tiene multiplicación y división. La operación de multiplicación se puede mostrar con un punto.
    \ (\\ begin {array} {r}
    6\ div 3\ cdot 2\\
    2\ cdot 2\\
    4
    \ end {array}\)    		 Dado que esta expresión sólo tiene división y multiplicación, cómpule de izquierda a derecha.

    \(\ 6 \div(3)(2)=4\)

    Considera lo que sucede si se agregan llaves al problema anterior:\(\ 6 \div\{(3)(2)\}\). Los paréntesis todavía significan multiplicación; las llaves adicionales son un símbolo de agrupación. De acuerdo con el orden de las operaciones, compute primero lo que hay dentro de las llaves. Este problema ahora se evalúa como\(\ 6 \div 6=1\). Observe que las llaves provocaron que la respuesta cambiara de 1 a 4.

    Ejercicio

    Simplificar\(\ 40-(4+6) \div 2+3\).

    1. 18
    2. 38
    3. 24
    4. 32
    Responder
    1. Incorrecto. Calcula primero la suma entre paréntesis. \(\ 40-10 \div 2+3\). Después, realizar división. \(\ 40-5+3\). Por último, sumar y restar de izquierda a derecha. La respuesta correcta es 38.
    2. Correcto. Calcula primero la suma entre paréntesis. \(\ 40-10 \div 2+3\). Después, realizar división. \(\ 40-5+3\). Por último, sumar y restar de izquierda a derecha.
    3. Incorrecto. Calcula primero la suma entre paréntesis. \(\ 40-10 \div 2+3\). Después, realizar división. \(\ 40-5+3\). Por último, sumar y restar de izquierda a derecha. La respuesta correcta es 38.
    4. Incorrecto. Calcula primero la suma entre paréntesis. \(\ 40-10 \div 2+3\). Después, realizar división. \(\ 40-5+3\). Finalmente, con solo restar y sumar a la izquierda, sumar y restar de izquierda a derecha. La respuesta correcta es 38.
    El orden de las operaciones
    1. Realice primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis (), llaves {}, corchetes [] y barras de fracción.
    2. Multiplicar y dividir, de izquierda a derecha.
    3. Sumar y restar, de izquierda a derecha.

    Realización del Orden de Operaciones con Exponentes y Raíces Cuadradas

    Hasta el momento, nuestras reglas nos permiten simplificar expresiones que tienen símbolos de multiplicación, división, suma, resta o agrupación en ellas. ¿Qué pasa si un problema tiene exponentes o raíces cuadradas en él? Necesitamos ampliar nuestras reglas de orden de operación para incluir exponentes y raíces cuadradas.

    Si la expresión tiene exponentes o raíces cuadradas, se van a realizar después de que se hayan simplificado los paréntesis y otros símbolos de agrupación y antes de cualquier multiplicación, división, resta y suma que estén fuera de los paréntesis u otros símbolos de agrupación.

    Tenga en cuenta que calcula desde operaciones más complejas hasta operaciones más básicas. La suma y resta son las más básicas de las operaciones. Probablemente aprendiste estos primero. La multiplicación y división, a menudo pensadas como sumas y restas repetidas, son más complejas y vienen antes de la suma y resta en el orden de las operaciones. Los exponentes y las raíces cuadradas son multiplicación y división repetidas, y debido a que son aún más complejas, se realizan antes de la multiplicación y división. A continuación se muestran algunos ejemplos que muestran el orden de las operaciones que involucran exponentes y raíces cuadradas.

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 14+28 \div 2^{2}\).

    Solución

    \(\ 14+28 \div 2^{2}\) Este problema tiene suma, división y exponentes en él. Utilizar el orden de las operaciones.
    \(\ 14+28 \div 4\) Simplificar\(\ 2^{2}\)
    \(\ 14+7\) Realizar división antes de la adición.
    \(\ 21\) Agregar.

    \(\ 14+28 \div 2^{2}=21\)

    Ejemplo

    Simplificar\(\ 3^{2} \cdot 2^{3}\).

    Solución

    \(\ 3^{2} \cdot 2^{3}\) Este problema tiene exponentes y multiplicación en él.
    \(\ 9 \cdot 8\) Simplificar\(\ 3^{2}\) y\(\ 2^{3}\).
    \(\ 72\) Realizar multiplicación.

    \(\ 3^{2} \cdot 2^{3}=72\)

    Ejemplo

    Simplificar\(\ (3+4)^{2}+(8)(4)\).

    Solución

    \(\ (3+4)^{2}+(8)(4)\)

    Este problema tiene paréntesis, exponentes y multiplicación en él. El primer conjunto de paréntesis es un símbolo de agrupación. El segundo conjunto indica multiplicación.

    Los símbolos de agrupación se manejan primero.
    \ (\\ begin {array} {l}
    7^ {2} + (8) (4)\\
    49+ (8) (4)
    \ end {array}\)    		 Agrega los números dentro de los paréntesis que están sirviendo como símbolos de agrupación. Simplificar\(\ 7^{2}\).
    \(\ 49+32\) Realizar multiplicación.
    \(\ 81\) Agregar.

    \(\ (3+4)^{2}+(8)(4)=81\)

    Ejercicio

    Simplificar\(\ 77-(1+4-2)^{2}\).

    1. 68
    2. 28
    3. 71
    4. 156
    Responder
    1. Correcto. \(\ 77-(1+4-2)^{2}=77-(3)^{2}=77-9=68\)
    2. Incorrecto. Simplifique primero la expresión entre paréntesis. \(\ 77-(1+4-2)^{2}=77-(3)^{2}=77-9=68\)
    3. Incorrecto. El exponente de 2 te dice multiplicar el número por sí mismo, no por 2;\(\ 77-(3)^{2}=77-9\), no\(\ 77-6\). La respuesta correcta es\(\ 68\).
    4. Incorrecto. Los paréntesis son un símbolo de agrupación, y los números dentro de ellos deben calcularse primero. El exponente de 2 te dice multiplicar el número por sí mismo, no por\(\ 2.77-(1+4-2)^{2}=77-(3)^{2}=77-9=68\). La respuesta correcta es 68.
    El orden de las operaciones
    1. Realice primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis (), llaves {}, corchetes [] y barras de fracción.
    2. Evaluar exponentes y raíces de números, como raíces cuadradas.
    3. Multiplicar y dividir, de izquierda a derecha.
    4. Sumar y restar, de izquierda a derecha.

    Algunas personas usan un dicho para ayudarles a recordar el orden de las operaciones. Este dicho se llama PEMDAS o “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally”. La primera letra de cada palabra comienza con la misma letra de una operación aritmética.

    La P en Please significa Paréntesis (y otros símbolos de agrupación).

    La E en Excusa significa Exponentes.

    La M y D en Mi Querida representan Multiplicación y División (de izquierda a derecha).

    La A y la S en la tía Sally significan suma y resta (de izquierda a derecha).

    Nota: A pesar de que la multiplicación viene antes de la división en el dicho, la división podría realizarse primero. El cual se realiza primero, entre la multiplicación y la división, está determinado por cuál viene primero al leer de izquierda a derecha. Lo mismo ocurre con la suma y la resta. ¡No dejes que el dicho te confunda de esto!

    Resumen

    El orden de las operaciones nos da una secuencia consistente para usar en cómputos. Sin el orden de las operaciones, podrías llegar a diferentes respuestas al mismo problema de cómputos. (Algunas de las primeras calculadoras, y algunas económicas, NO utilizan el orden de las operaciones. Para poder utilizar estas calculadoras, el usuario tiene que introducir los números en el orden correcto).

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