9.1.1: Variables y expresiones

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Objetivos de aprendizaje

Evaluar expresiones con una variable para valores dados para la variable.
Evaluar expresiones con dos variables para valores dados para las variables.

Introducción

El álgebra implica la solución de problemas utilizando variables, expresiones y ecuaciones. Este tema se centra en variables y expresiones y aprenderás sobre los tipos de expresiones utilizadas en álgebra.

Variables y expresiones

Una cosa que separa el álgebra de la aritmética es la variable. Una variable es una letra o símbolo que se utiliza para representar una cantidad que puede cambiar. Se puede usar cualquier letra, pero x e y son comunes. Es posible que hayas visto variables utilizadas en fórmulas, como el área de un rectángulo. Para encontrar el área de un rectángulo, se multiplica longitud por ancho, escrito usando las dos variables\(\ l\) y\(\ w\).

\(\ l \cdot w\)

Aquí, la variable\(\ l\) representa la longitud del rectángulo. La variable\(\ w\) representa el ancho del rectángulo.

Puede estar familiarizado con la fórmula para el área de un triángulo. Lo es\(\ \frac{1}{2} b \cdot h\).

Aquí, la variable\(\ b\) representa la base del triángulo, y la variable\(\ h\) representa la altura del triángulo. El\(\ \frac{1}{2}\) en esta fórmula es una constante. Una constante, a diferencia de una variable, es una cantidad que no cambia. Una constante suele ser un número.

Una expresión es una frase matemática compuesta por una secuencia de símbolos matemáticos. Esos símbolos pueden ser números, variables u operaciones\(\ (+,-, \cdot, \div)\). Ejemplos de expresiones son\(\ l \cdot w\) y\(\ \frac{1}{2} b \cdot h\).

Ejemplo

Identificar la constante y variable en la expresión\(\ 24-x\).

Solución

24 es la constante.

\(\ x\)es la variable.

Dado que 24 no puede cambiar su valor, es una constante. La variable es\(\ x\), porque podría ser 0, o 2, o muchos otros números.

Sustitución y Evaluación

En aritmética, a menudo evaluaste, o simplificaste, expresiones que involucran números.

\ (\\ begin {array} {lllll}
3\ cdot 25+4 & 25\ div 5 & 142-\ frac {12} {4} &\ frac {3} {4} -\ frac {1} {4} & 2.45+13
\ end {array}\)

En álgebra, evaluará muchas expresiones que contienen variables.

\ (\\ begin {array} {llll}
a+10 & 48\ cdot c & 100-x & l\ cdot w &\ frac {1} {2} b\ cdot h
\ end {array}\)

Evaluar una expresión significa encontrar su valor. Si hay variables en la expresión, se le pedirá que evalúe la expresión para un valor especificado para la variable.

El primer paso para evaluar una expresión es sustituir el valor dado de una variable en la expresión. Entonces puedes terminar de evaluar la expresión usando aritmética.

Ejemplo

Evaluar\(\ 24-x\) cuándo\(\ x=3\).

Solución

\(\ 24-x\)

\(\ 24-3\)

Sustituir 3 por el\(\ x\) en la expresión.

\(\ 24-3=21\)

Restar para completar la evaluación.

Cuando se tienen dos variables, se sustituye cada valor dado por cada variable.

Ejemplo

Evaluar\(\ l \cdot w\) cuándo\(\ l=3\) y\(\ w=8\).

Solución

\(\ l \cdot w\)

\(\ 3 \cdot 8\)

Sustituir 3 para\(\ l\) en la expresión y 8 para\(\ w\).

\(\ 3 \cdot 8=24\)

Multiplicar.

Cuando multiplicas una variable por un número constante, no necesitas escribir el signo de multiplicación ni usar paréntesis. Por ejemplo,\(\ 3a\) es lo mismo que\(\ 3 \cdot a\).

Observe que el signo\(\ \cdot\) se utiliza para representar la multiplicación. Esto se debe a que el signo de multiplicación x se parece mucho a la letra\(\ x\), especialmente cuando está escrito a mano. Debido a esto, lo mejor es usar paréntesis o el\(\ \cdot\) signo para indicar multiplicación de números.

Ejemplo

Evaluar\(\ 4 x-4\) cuándo\(\ x=10\).

Solución

\(\ 4 x-4\)

\(\ 4(10)-4\)

Sustituir 10 para\(\ x\) en la expresión.

\(\ 40-4\)

\(\ 36\)

Recuerda que debes multiplicar antes de hacer la resta.

Dado que las variables pueden variar, hay momentos en los que se quiere evaluar la misma expresión para diferentes valores para la variable.

Ejemplo

John está planeando un jardín rectangular de 2 pies de ancho. No ha decidido cuánto tiempo hacerlo, pero está considerando 4 pies, 5 pies y 6 pies. Quiere poner una cerca corta alrededor del jardín. Usando\(\ x\) para representar la longitud del jardín rectangular, necesitará, o\(\ x+x+2+2\)\(\ 2 x+4\), pies de esgrima.

¿Cuánta esgrima necesitará para cada posible longitud de jardín? Evaluar la expresión cuándo\(\ x=4\),\(\ x=5\), y\(\ x=6\) para averiguarlo.

Solución

\ (\\ begin {array} {c}
2 x+4\\
2 (4) +4\\
8+4\\
12
\ end {array}\)

Para\(\ x=4\), sustituya 4 para\(\ x\) en la expresión.

Evaluar multiplicando y sumando.

\ (\\ begin {array} {c}
2 x+4\\
2 (5) +4\\
10+4\\
14
\ end {array}\)

Para\(\ x=5\), sustituya 5 por\(\ x\).

Evaluar multiplicando y sumando.

\ (\\ begin {array} {c}
2 x+4\\
2 (6) +4\\
12+4\\
16
\ end {array}\)

Para\(\ x=6\), sustituir 6 para\(\ x\) y evaluar.

John necesita 12 pies de esgrima cuando\(\ x=4\), 14 pies cuando\(\ x=5\), y 16 pies cuando\(\ x=6\).

Evaluar expresiones para muchos valores diferentes para la variable es uno de los poderes del álgebra. Los programas de computadora se escriben para evaluar la misma expresión (generalmente una expresión muy complicada) para millones de valores diferentes para la (s) variable (s).

Ejercicio

Evaluar\(\ 8 x-1\) cuándo\(\ x=2\).

Responder

Incorrecto. Quizá te hayas olvidado de multiplicar el 8 por el 2. Sustituyendo 2 por\(\ x\) da\(\ 8(2)-1\). Primero multiplicar para obtener\(\ 16-1\), luego restar. La respuesta correcta es 15.
Incorrecto. Puede que te hayas olvidado de sustituir. Sustituyendo 2 por\(\ x\) da\(\ 8(2)-1\). Primero multiplicar para obtener\(\ 16-1\), luego restar. La respuesta correcta es 15.
Incorrecto. Puede que hayas olvidado el orden de las operaciones: multiplicar primero, luego restar. Sustituyendo 2 por\(\ x\) da\(\ 8(2)-1\). Primero multiplicar para obtener\(\ 16-1\). Después restar. La respuesta correcta es 15.
Correcto. Sustituyendo 2 por\(\ x\) da\(\ 8(2)-1\). Primero multiplicar para obtener\(\ 16-1\), luego restar para obtener 15.
Incorrecto. Es posible que hayas olvidado restar 1 después de multiplicar. Sustituyendo 2 por\(\ x\) da\(\ 8(2)-1\). Primero multiplicar para obtener\(\ 16-1\), luego restar. La respuesta correcta es 15.

Resumen

Las variables son una parte importante del álgebra. Las expresiones hechas a partir de variables, constantes y operaciones pueden representar un valor numérico. Puede evaluar una expresión cuando se le proporcionan uno o más valores para las variables: sustituya el valor de cada variable por la variable, luego realice cualquier aritmética necesaria.