10.3.1: Desigualdades compuestas
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- Resolver desigualdades compuestas en forma de o y expresar la solución gráficamente.
- Resolver desigualdades compuestas en forma de y expresar la solución gráficamente.
- Resolver desigualdades compuestas en la forma\(\ a<x<b\).
- Identificar casos sin solución.
Introducción
Muchas veces, las soluciones se encuentran entre dos cantidades, en lugar de continuar sin cesar en una dirección. Por ejemplo, la presión arterial sistólica (número superior) que está entre 120 y 139mm Hg se llama presión arterial alta límite. Esto se puede describir usando una desigualdad compuesta,\(\ b<139\) y\(\ b>120\). A otras desigualdades compuestas se les une la palabra “o”.
Cuando dos desigualdades se unen por la palabra y, la solución de la desigualdad compuesta ocurre cuando ambas desigualdades son verdaderas al mismo tiempo. Es la superposición, o intersección, de las soluciones para cada desigualdad. Cuando las dos desigualdades se unen por la palabra o, la solución de la desigualdad compuesta ocurre cuando cualquiera de las desigualdades es verdadera. La solución es la combinación, o unión, de las dos soluciones individuales.
Resolver y Graficar Desigualdades Compuestas en Forma de “o”
Echemos un vistazo más de cerca a una desigualdad compuesta que utiliza o para combinar dos desigualdades. Por ejemplo,\(\ x>6\) o\(\ x<2\). La solución a esta desigualdad compuesta son todos los valores\(\ x\) en los que\(\ x\) es mayor que 6 o\(\ x\) es menor que 2. Esto se puede mostrar gráficamente poniendo las gráficas de cada desigualdad juntas en la misma línea numérica.
El gráfico tiene un círculo abierto en 6 y una flecha azul a la derecha y otro círculo abierto en 2 y una flecha roja a la izquierda. De hecho, las únicas partes que no son una solución a esta desigualdad compuesta son los puntos 2 y 6 y todos los puntos entre estos valores en la recta numérica. Todo lo demás en la gráfica es una solución a esta desigualdad compuesta.
Veamos otro ejemplo de una desigualdad o compuesta,\(\ x>3\) o\(\ x \leq 4\). La gráfica de\(\ x>3\) tiene un círculo abierto en 3 y una flecha azul dibujada a la derecha para contener todos los números mayores que 3.
La gráfica de\(\ x \leq 4\) tiene un círculo cerrado en 4 y una flecha roja a la izquierda para contener todos los números menores que 4.
¿Qué nota de la gráfica que combina estas dos desigualdades?
Dado que esta desigualdad compuesta es una declaración o, incluye todos los números en cada una de las soluciones, que en este caso son todos los números en la recta numérica. (La región de la línea mayor que 3 y menor o igual a 4 se muestra en púrpura porque se encuentra en ambas gráficas originales). ¡La solución a la desigualdad compuesta\(\ x>3\) o\(\ x \leq 4\) es el conjunto de todos los números reales!
Es posible que deba resolver una o más de las desigualdades antes de determinar la solución a la desigualdad compuesta, como en el siguiente ejemplo.
Resolver para\(\ x\).
\(\ 3 x-1<8\)o\(\ x-5>0\)
Solución
|
\ (\\ begin {array} {r} O \ (\\ begin {array} {r} |
Resolver cada desigualdad aislando la variable. |
| \(\ x>5 \text { or } x<3\) | Escribir ambas soluciones de desigualdad como un compuesto usando o. |
\(\ x>5 \text { or } x<3\)
La solución a esta desigualdad compuesta se puede mostrar gráficamente.
Recuerda aplicar las propiedades de la desigualdad cuando estés resolviendo desigualdades compuestas. El siguiente ejemplo implica dividir por un negativo para aislar una variable.
Resolver para\(\ y\).
\(\ 2 y+7<13 \text { or }-3 y-2 \leq 10\)
Solución
|
\ (\\ begin {array} {rr} O |
Resolver cada desigualdad por separado. |
| \ (\\ begin {array} {r} -3 y-2\ leq& 10\\ \\ +2\\\\ &\ +2\ \ hline\ frac {-3 y} {-3}\\\\\\\\ geq &\ frac {12} {-3}\\ y\\\\\\\\\ geq&-4 \ end {array}\) |
El signo de desigualdad se invierte con división por un número negativo. |
| \(\ y<3 \text { or } y \geq-4\) | Ya que\(\ y\) podría ser menor que 3 o mayor o igual a -4, podría ser cualquier número. |
La solución son todos los números reales.
Esta línea numérica muestra el conjunto de soluciones de\(\ y<3\) o\(\ y \geq-4\).
Resolver para\(\ z\).
\(\ 5 z-3>-18 \text { or }-2 z-1>15\)
Solución
|
\ (\\ begin {array} {r} O \ (\\ begin {array} {rr} |
Resolver cada desigualdad por separado. |
| \(\ z>-3 \text { or } z<-8\) | Combine las soluciones. |
\(\ z>-3 \text { or } z<-8\)
Esta línea numérica muestra el conjunto de soluciones de\(\ z>-3\) o\(\ z<-8\).
Resolver para\(\ h\).
\(\ h+3>12 \text { or } 3-2 h>9\)
- \(\ h<3 \text { or } h>-3\)
- \(\ h>9 \text { or } h>-3\)
- \(\ h>-9 \text { or } h<3\)
- \(\ h>9 \text { or } h<-3\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Para resolver la desigualdad\(\ h+3>12\), restar 3 de ambos lados para obtener\(\ h>9\). Cuando divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, invierta el signo de desigualdad\(\ h<-3\) para obtener la solución a la segunda desigualdad. La respuesta correcta es\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
- Incorrecto. Para resolver la desigualdad\(\ 3-2 h>9\), restar 3 de ambos lados y luego dividir por -2. Cuando divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, invierte el signo de desigualdad para obtener\(\ h<-3\). La respuesta correcta es\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
- Incorrecto. Verifique algunos valores para\(\ h\) que sean mayores que -9 pero menores que 3, y vea si hacen que la desigualdad sea cierta. Por ejemplo, si sustitues\(\ h=2\) en cada desigualdad, obtienes declaraciones falsas:\(\ 2+3>9 ; 3-2(2)>9\). La respuesta correcta es\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
- Correcto. Resolviendo cada desigualdad para\(\ h\), encuentras eso\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
Resolver y Graficar Desigualdades Compuestas en Forma de “y”
La solución de una desigualdad compuesta que consiste en dos desigualdades unidas a la palabra y es la intersección de las soluciones de cada desigualdad. Es decir, ambas afirmaciones deben ser ciertas al mismo tiempo. La solución a una desigualdad compuesta son todas las soluciones que las dos desigualdades tienen en común. Gráficamente, se puede pensar en ello como donde se superponen las dos gráficas.
Pensar en el ejemplo de la desigualdad compuesta:\(\ x<5\) y\(\ x \geq-1\). La gráfica de cada desigualdad individual se muestra en color.
Desde la palabra y se une a las dos desigualdades, la solución es la superposición de las dos soluciones. Aquí es donde ambas afirmaciones son ciertas al mismo tiempo.
A continuación se muestra la solución a esta desigualdad compuesta.
Observe que en este caso, se puede reescribir\(\ x \geq-1\) y\(\ x<5\) como\(\ -1 \leq x<5\) ya que la solución está entre -1 y 5, incluyendo -1. Se lee\(\ -1 \leq x<5\) como “\(\ x\)es mayor o igual a -1 y menor que 5”. Se puede reescribir una declaración y de esta manera solo si la respuesta está entre dos números.
Veamos dos ejemplos más.
Resolver para\(\ x\).
\(\ 1-4 x \leq 21 \text { and } 5 x+2 \geq 22\)
Solución
|
\ (\\ comenzar {matriz} {r} O \ (\\ begin {array} {rr} |
|
| \(\ z>-3 \text { or } z<-8\) | Combine las soluciones. |
\(\ z>-3 \text { or } z<-8\)
Esta línea numérica muestra el conjunto de soluciones de\(\ z>-3 \text { or } z<-8\).
Resolver para\(\ h\).
\(\ h+3>12 \text { or } 3-2 h>9\)
- \(\ h<3 \text { or } h>-3\)
- \(\ h>9 \text { or } h>-3\)
- \(\ h>-9 \text { or } h<3\)
- \(\ h>9 \text { or } h<-3\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Para resolver la desigualdad\(\ h+3>12\), restar 3 de ambos lados para obtener\(\ h>9\). Cuando divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, invierta el signo de desigualdad\(\ h<-3\) para obtener la solución a la segunda desigualdad. La respuesta correcta es\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
- Incorrecto. Para resolver la desigualdad\(\ 3-2 h>9\), restar 3 de ambos lados y luego dividir por -2. Cuando divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, invierte el signo de desigualdad para obtener\(\ h<-3\). La respuesta correcta es\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
- Incorrecto. Verifique algunos valores para\(\ h\) que sean mayores que -9 pero menores que 3, y vea si hacen que la desigualdad sea cierta. Por ejemplo, si sustitues\(\ h=2\) en cada desigualdad, obtienes declaraciones falsas:\(\ 2+3>9 ; 3-2(2)>9\) La respuesta correcta es\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
- Correcto. Resolviendo cada desigualdad para\(\ h\), encuentras eso\(\ h>9 \text { or } h<-3\).
Resolver y Graficar Desigualdades Compuestas en Forma de “y”
La solución de una desigualdad compuesta que consiste en dos desigualdades unidas a la palabra y es la intersección de las soluciones de cada desigualdad. Es decir, ambas afirmaciones deben ser ciertas al mismo tiempo. La solución a una desigualdad compuesta son todas las soluciones que las dos desigualdades tienen en común. Gráficamente, se puede pensar en ello como donde se superponen las dos gráficas.
Pensar en el ejemplo de la desigualdad compuesta:\(\ x<5\) y\(\ x \geq-1\). La gráfica de cada desigualdad individual se muestra en color.
Desde la palabra y se une a las dos desigualdades, la solución es la superposición de las dos soluciones. Aquí es donde ambas afirmaciones son ciertas al mismo tiempo.
A continuación se muestra la solución a esta desigualdad compuesta.
Observe que en este caso, se puede reescribir\(\ x \geq-1\) y\(\ x<5\) como\(\ -1 \leq x<5\) ya que la solución está entre -1 y 5, incluyendo -1. Se lee\(\ -1 \leq x<5\) como “\(\ x\)es mayor o igual a -1 y menor que 5”. Se puede reescribir una declaración y de esta manera solo si la respuesta está entre dos números.
Veamos dos ejemplos más.
Resolver para\(\ x\).
\(\ 1-4 x \leq 21 \text { and } 5 x+2 \geq 22\)
Solución
|
\ (\\ comenzar {matriz} {r} Y \ (\\ begin {array} {r} |
Resolver cada desigualdad para\(\ x\). |
| \(\ x \geq-5 \text { and } x \geq 4\) | Determinar la intersección de las soluciones. |
La línea numérica a continuación muestra las gráficas de las dos desigualdades en el problema. La solución a la desigualdad compuesta es\(\ x \geq 4\), ya que aquí es donde se superponen las dos gráficas.
Y la solución se puede representar como:
\(\ x \geq 4\)
Resolver para\(\ x\).
\(\ 5 x-2 \leq 3 \text { and } 4 x+7>3\)
Solución
|
\ (\\ comenzar {matriz} {r} Y \ (\\ begin {array} {r} |
Resolver cada desigualdad por separado. |
| \(\ x \leq 1 \text { and } x>-1\) | Encuentra la superposición entre las soluciones. |
Las dos desigualdades se pueden representar gráficamente como:
Y la solución se puede representar como:
\(\ x \leq 1 \text { and } x>-1\)
En lugar de dividir una desigualdad compuesta en forma de\(\ a<x<b\) dos desigualdades\(\ x<b\) y\(\ x>a\), se puede resolver más rápidamente la desigualdad aplicando las propiedades de la desigualdad a los tres segmentos de la desigualdad compuesta. A continuación se proporcionan dos ejemplos.
Resolver para\(\ x\).
\(\ 3<2 x+3 \leq 7\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} 3<&2 x+3\ leq& 7\\\ \ -3\\\\ &\ -3\\\\ &\ -3\ \ hline\ frac {0} {2} <&\ frac {2 x} {2} {2}\\\\\\ leq&\ frac {4} {2} \ end {array}\) |
Aísle la variable restando 3 de las 3 partes de la desigualdad, y luego dividiendo cada parte por 2. |
| \(\ 0<x \leq 2\) |
\(\ 0<x \leq 2\)
Resolver para\(\ x\).
\(\ -3 \leq 2 x+7<11\)
Solución
| \ (\\ begin {array} {r} -3\ leq& 2 x+7<&11\\ \ -7\\\\ &\ -7\\\\ & -7\\ \ hline\ frac {-10} {2}\ leq&\ frac {2 x} {2} {2}\\\\\ <&\ frac {4} {2} \ end {array}\) |
Aísle la variable restando 7 de las 3 partes de la desigualdad, y luego dividiendo cada parte por 2. |
| \(\ -5 \leq x<2\) |
\(\ -5 \leq x<2\)
Para resolver desigualdades como\(\ a<x<b\), utilizar las propiedades de suma y multiplicación de la desigualdad para resolver la desigualdad para\(\ x\). Cualquiera que sea la operación que realices en la parte media de la desigualdad, también debes realizar a cada una de las secciones externas también. Preste especial atención a la división o multiplicación por un negativo.
¿Cuál de las siguientes desigualdades compuestas representa la gráfica en la recta numérica de abajo?
- \(\ -8 \geq x>-1\)
- \(\ -8 \leq x<-1\)
- \(\ -8 \leq x>-1\)
- \(\ -8 \geq x<-1\)
- Contestar
-
- Incorrecto. Esta desigualdad compuesta dice, “\(\ x\)es menor o igual a -8 y mayor que -1”. La parte sombreada de la gráfica incluye valores que son mayores o iguales a -8 y menores que -1. La respuesta correcta es\(\ -8 \leq x<-1\).
- Correcto. La región seleccionada en la recta numérica se encuentra entre -8 y -1 e incluye -8, por lo que\(\ x\) debe ser mayor o igual a -8 y menor que -1.
- Incorrecto. Esta desigualdad compuesta dice, “\(\ x\)es mayor o igual a -8 y mayor que -1”. Los valores que están sombreados son menores -1, no mayores. La respuesta correcta es\(\ -8 \leq x<-1\).
- Incorrecto. Esta desigualdad compuesta dice, “\(\ x\)es menor o igual a -8 y menor que -1”. La gráfica no incluye valores que sean menores o iguales a -8. Incluye valores que son mayores o iguales a -8 y menores que -1. La respuesta correcta es\(\ -8 \leq x<-1\).
Casos Especiales de Desigualdades Compuestas
La solución a una desigualdad compuesta con y es siempre el solapamiento entre la solución a cada desigualdad. Hay tres posibles resultados para las desigualdades compuestas unidas por la palabra y:
A continuación se muestra un ejemplo.
Resolver para\(\ x\).
\(\ x+2>5 \text { and } x+4<5\)
Solución
|
\ (\\ begin {array} {r} Y \ (\\ begin {array} {r} |
|
| \(\ x>3 \text { and } x<1\) | Encuentra la superposición entre las soluciones. |
No hay solapamiento entre\(\ x>3\) y\(\ x<1\), así que no hay solución.
Resumen
Una desigualdad compuesta es una declaración de dos declaraciones de desigualdad unidas entre sí ya sea por la palabra o bien por la palabra y. En ocasiones, una desigualdad compuesta y se muestra simbólicamente, como\(\ a<x<b\), y ni siquiera necesita la palabra y. Debido a que las desigualdades compuestas representan una unión o intersección de las desigualdades individuales, graficarlas en una recta numérica puede ser una manera útil de ver o verificar una solución. Las desigualdades compuestas pueden manipularse y resolverse de la misma manera que se resuelve cualquier desigualdad, prestando atención a las propiedades de las desigualdades y a las reglas para resolverlas.